第六章-微分方程课件.ppt

1、第八章第八章 无穷级数无穷级数无穷无穷级数级数无穷级无穷级数概念数概念和性质和性质正项正项级数级数任意项任意项级数级数幂级数幂级数函数的函数的幂级数幂级数展开展开傅立叶傅立叶级数级数正弦与正弦与余弦级数余弦级数周期延拓周期延拓周期为周期为2L的函数的的函数的幂级数幂级数的展开的展开傅立叶傅立叶级数的级数的复数形式复数形式第一节第一节 无穷级数概念与性质无穷级数概念与性质重点：重点：（1）级数及其收敛与发散级数及其收敛与发散 （2）级数的基本性质级数的基本性质 （3）级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件难点：难点：用定义判断级数的敛散性用定义判断级数的敛散性 一、无穷级数的基本概念一、无穷级数的

2、基本概念二、数项级数的收敛和发散二、数项级数的收敛和发散3333.010310310310332nnS 当当n时，有时，有 313.03333.0limnnS 它反映了级数它反映了级数1103nn的无穷多项累加的结果为的无穷多项累加的结果为 31，我们，我们 把极限值把极限值31叫作级数叫作级数1103nn的“和”。的“和”。一般的，对级数一般的，对级数1nnu，分别取它的前，分别取它的前 1 项，项，2 项，项，n项，项，的和的和1S，2S，3S，nS，即即 11uS 212uuS 12nnSuuu 设数列设数列1S，2S，3S，nS，为级数为级数1nnu的的部分和部分和 数列数列（简称（简

3、称部分和部分和），这样，就可以把无穷多项求和的问题归，这样，就可以把无穷多项求和的问题归 结为求相应的部分和数列的极限问题。结为求相应的部分和数列的极限问题。定义定义 如果如果SSnnlim，则称级数，则称级数1nnu收敛收敛，称极限值，称极限值S为级为级 数的数的和和，记作，记作 nnnnuuuuS211 此时称此时称21nnnnSSSSr为级数的为级数的余项余项。如果。如果nnSlim 不存在，则称级数不存在，则称级数1nnu发散发散，发散的级数没发散的级数没有和。有和。（1）当1q 时，0limnnq，所以qaSnn1lim，故此时级数收敛，其和为qaS1（2）当1q 时，nnqlim

4、所以nnSlim不存在，此时级数发散。（3）当1q时，大家可自行证明，等比级数发散。归纳起来，当1q 时，等比级数收敛，其和为qaS1；当1q时，等比级数发散。性质性质 1 若若1nnuS，C 为常数，则为常数，则1nnCuCS。性质性质 2 若若1nnuS，1nnv，则有，则有 Svuvunnnnnnn111)(性质性质 3 一个级数增加或去掉有限项，不改变级数的敛散一个级数增加或去掉有限项，不改变级数的敛散 性（但收敛级数的和要变）。性（但收敛级数的和要变）。性质性质 4 收敛级数任意加括号后所形成的新级数仍收敛，收敛级数任意加括号后所形成的新级数仍收敛，其和不变。其和不变。注注意：意：性

5、质性质 4 的逆命题是错误的。的逆命题是错误的。三、无穷级数的性质三、无穷级数的性质例例4 判别级数判别级数11)3)1(2(nnn是否收敛，如果收敛，并求其和。是否收敛，如果收敛，并求其和。解：解：131nn是是31q的等比级数，收敛并且和为的等比级数，收敛并且和为2131131。同理同理 41311313)1(11nnn 根据级数的性质根据级数的性质 1，2 可知，可知，11)3)1(2(nnn也收敛也收敛，其和为其和为 4541212413123)1(32)3)1(2(111111nnnnnnnnnn 四、级数收敛的必要条件四、级数收敛的必要条件第二节第二节 正项级数正项级数重点：重点：

6、正项级数收敛性的两个判别法正项级数收敛性的两个判别法难点：难点：比较判别法中尺度的选择比较判别法中尺度的选择 1.如果级数如果级数1nnu的每一项的每一项0nu，则称，则称1nnu为为正项级数正项级数 2.设正项级数设正项级数1nnu和和1nnv满足：满足：nnvu )3,2,1(n 则则 （1）若级数若级数1nnv收敛收敛，1nnu也收敛，也收敛，（2）若级数若级数1nnu收敛，收敛，1nnv也收敛。也收敛。这个判别法称为正项级数的这个判别法称为正项级数的比较判别法比较判别法。一、比较审敛法一、比较审敛法例例1 级数级数11312111nnn叫作调和级数，试判别其叫作调和级数，试判别其 敛散

7、性。敛散性。解：解：当当0 x 时，有时，有ln(1)xx（此不等式可用函数的（此不等式可用函数的 单调性来证明）单调性来证明）所以所以 111123111ln(1 1)ln(1)ln(1)ln(1)23341ln2lnlnln23nnnn 例例2 讨论讨论p级数级数11npn(0)p 的敛散性。的敛散性。解：（解：（1）当当1p时，时，p级数为调和函数，故发散。级数为调和函数，故发散。（2）当当1p 时，时，pnn，因此，因此11pnn，由比较判别法知由比较判别法知11npn发散。发散。（3）当）当1p 时，将级数改写成：时，将级数改写成：122331111111111()()()23456

8、7891524812481111222ppppppppppppppp 例例3 用比较判别法判别下列级数的敛散性：用比较判别法判别下列级数的敛散性：（1）1221nnn （2）1)1ln(1nn（3）1354nnnn （4）121nnn（3）因为）因为 25)54()531(54)53(1(54354nnnnnnnnn 而级数而级数125)54(nn是公比为是公比为 54的等比级数，且收敛的。的等比级数，且收敛的。故级数故级数1354nnnn收敛。收敛。（4）因为因为11122nnnnnn，而级数而级数111nn是发散的是发散的 故级数故级数121nnn发散。发散。二、比值审敛法二、比值审敛法例

9、例5 判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性（1）1nnna(0a)(2)1!nnnn(3)12nnn 解：解：（1）annananauunnnnnnn1lim1limlim11 因为因为0a，所以当，所以当10 a时级数收敛，当时级数收敛，当1a时时 级数发散。级数发散。（2）1)1(lim!)!1()1(limlim11ennnnnnuunnnnnnnn 所以级数是发散的。所以级数是发散的。（3）12121lim221limlim11nnnnnnnnnnnuu 所以级数是发散的。所以级数是发散的。第三节第三节 任意项级数任意项级数重点：重点：（1）交错级数审敛法交错级数审敛法 （2）绝对

10、收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛难点：难点：绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛设设0nu，（3,2,1n），下列级数：），下列级数：1154321)1(nnnuuuuuu 154321)1(nnnuuuuuu 称为交错级数，称为交错级数，交错级数审敛法：交错级数审敛法：若（若（1）1nnuu，,3,2,1n （2）0limnnu 则交错级数收敛，且和则交错级数收敛，且和1uS；余项；余项nr的绝对值的绝对值1nnur。一、交错级数一、交错级数例例 1 判断下列级数的敛散性。判断下列级数的敛散性。（1）11)1(nnn （2）111)1(nnn 解：（解：（1）nun1，111nun 显然有显

11、然有 1nnuu，且，且 0limnnu 故级数收敛。故级数收敛。（2）nun1，111nun 显然有显然有 1nnuu，且，且 01limnn，故级数收敛。故级数收敛。如果级数如果级数1nnu中各项可取中各项可取任意任意实数实数，则称级数，则称级数1nnu为任意项为任意项 级数。级数。有有如下如下结论：结论：（1）若级数若级数1nnu收敛，则级数收敛，则级数1nnu一定收敛。此时称级数一定收敛。此时称级数 1nnu绝对收敛绝对收敛。（2）若级数若级数1nnu收敛，而级数收敛，而级数1nnu发散，则称发散，则称1nnu条件收敛条件收敛。（3）若级数若级数1nnu发散，则级数发散，则级数1nnu

12、可能收敛，也可能发散。可能收敛，也可能发散。二、绝对收敛与条件收敛二、绝对收敛与条件收敛例例 2 证明级数证明级数121sin)1(nnnn收敛。收敛。证明：证明：因为因为2211sin)1(nnnn，而级数，而级数121nn是是2p时时 的的p级数，它是收敛的，所以由比较判别法，级数级数，它是收敛的，所以由比较判别法，级数 121sin)1(nnnn 收敛，从而级数收敛，从而级数121sin)1(nnnn是绝对收敛的。是绝对收敛的。故级数故级数121sin)1(nnnn收敛。收敛。例例 3 指出下列级数是绝对收敛还是条件收敛：指出下列级数是绝对收敛还是条件收敛：（1）111)1(nnn （2

13、）111)1(nnnn 解：（解：（1）级数）级数111)1(nnn是交错级数，由交错级数审敛法可知是交错级数，由交错级数审敛法可知 它收敛。而它收敛。而 11111)1(nnnnn是是1p的的p级数，是发散的，级数，是发散的，故级数故级数111)1(nnn条件收敛。条件收敛。（2）级数）级数111)1(nnnn的每项取绝对值得级数的每项取绝对值得级数11nnn，它是，它是23p 的的p级数，是收敛的，因此级数级数，是收敛的，因此级数111)1(nnnn绝对收敛。它本身一绝对收敛。它本身一 定收敛。定收敛。第四节第四节 幂级数幂级数重点：重点：（1）幂级数概念及收敛半径）幂级数概念及收敛半径、

14、收敛、收敛 区间区间 （2）幂级数的运算性质）幂级数的运算性质难点：难点：利用幂级数的运算性质求幂级利用幂级数的运算性质求幂级 数的和数的和形形如如 nnnnnxxaxxaaxxa)()()(001000 （1）的的级级数数叫叫做做幂幂级级数数。此此处处0 x为为常常数数，,210naaaa，叫叫做做 幂幂级级数数的的系系数数。特特别别地地，0 x 时时，幂幂级级数数（1）就就变变为为：nnnnnxaxaxaaxa22100 （2）幂幂级级数数（1）做做变变量量代代换换txx0就就可可以以化化为为幂幂级级数数（2），因因此此 我我们们重重点点研研究究幂幂级级数数（2）。一、幂级数的概念一、幂级

15、数的概念例例 1 求幂级数求幂级数 nxxxx321 的收敛域及和函数的收敛域及和函数)(xS.解：这是一个公比为解：这是一个公比为x的等比级数，因此当的等比级数，因此当1x，即即11x时收敛，当时收敛，当1x时发散，所以级数时发散，所以级数 nxxxx321 的收敛域为的收敛域为)1,1(，发散域为，发散域为(,11,)。由等比级数的求和公式知由等比级数的求和公式知,它的和函数为它的和函数为xxS11)(，即，即 nxxxxx32111 )1,1(x 定理：定理：设幂级数设幂级数1nnnxa的系数满足的系数满足1limnnnaRa（1）如果如果 R0，则当，则当Rx 时，幂级数绝对收敛；时，

16、幂级数绝对收敛；当当Rx 时，幂级数发散；当时，幂级数发散；当Rx时，时，须须另行判定另行判定。（2）如果如果R，则幂级，则幂级数在数在),(内绝对收敛。内绝对收敛。（3）如果如果0R，则幂级数仅在，则幂级数仅在0 x点收敛。点收敛。这个定理告诉我们，幂级数这个定理告诉我们，幂级数1nnnxa的收敛域是以原点为中心，的收敛域是以原点为中心，长度为长度为R2的区间，共有四种可能：（的区间，共有四种可能：（1）),(RR，（，（2）,RR，（3）),RR，（4）,(RR，称称 R 为幂级数为幂级数1nnnxa的的收敛半径收敛半径。可见，求幂级数可见，求幂级数1nnnxa的收敛域的收敛域，关键是求它

17、的收关键是求它的收敛半径敛半径 1limnnnaaR，再判定，再判定在在Rx时时的敛散性，从而确定其收敛的敛散性，从而确定其收敛区间。区间。例例1 求下列幂级数的收敛区间求下列幂级数的收敛区间（1）0!nnnx （2）11)(nnnx （3）1)1(nnnnx （4）0212nnnxn 解：收敛半径为解：收敛半径为)1(lim)!1(1!1limlim1nnnaaRnnnnn 故幂级数故幂级数0!nnnx的收敛区间为的收敛区间为),(。（2）收敛半径为收敛半径为 0011)11(1lim1)1(lim)1(limlim11ennnnnnnaaRnnnnnnnnnn 故幂级数仅在故幂级数仅在0

18、x处收敛。处收敛。（3）收敛半径为收敛半径为 11lim11)1(1)1(limlim11nnnnaaRnnnnnnn 当当1x时，代入幂级数得时，代入幂级数得11)1(nnn，它是一个收敛的交错，它是一个收敛的交错级数。级数。当当1x时，代入幂级数得时，代入幂级数得11nn，它是调和级数，是发散的。，它是调和级数，是发散的。故幂级数的收敛区间为故幂级数的收敛区间为 1,1(。（4）所给幂级数缺奇次项，不能用上面的方法求收敛所给幂级数缺奇次项，不能用上面的方法求收敛 半径半径 R。由比值审敛法，得：。由比值审敛法，得：222)1(2112222lim121)1(2limlimxxnnxnxnu

19、unnnnnnnnn 根据比值审敛法，当根据比值审敛法，当122x，即，即21x时，级数收敛；时，级数收敛；当当21x时，级数发散；当时，级数发散；当21x时，级数成为发散的数项时，级数成为发散的数项 级数级数011nn。所以级数的收敛区间为。所以级数的收敛区间为)21,21(。性质性质 1：设幂级数设幂级数0nnnxa和和0nnnxb的收敛半径分别为的收敛半径分别为1R和和2R，和函数分别为和函数分别为)(1xS和和)(2xS，),min(21RRR，则幂级数，则幂级数 1)(nnnnxba的收敛半径为的收敛半径为 R，且，且)()()(21000 xSxSxbaxbxannnnnnnnnn

20、，RxR 性质性质 2：若幂级数若幂级数1nnnxa的收敛半径为的收敛半径为0R，和函数为，和函数为)(xS，则在区间则在区间),(RR内和函数可导，且有内和函数可导，且有 0010)()()(nnnnnnnnnxnaxaxaxS 即幂级数在其收敛区间内可以逐项求导。即幂级数在其收敛区间内可以逐项求导。三、幂级数的运算性质三、幂级数的运算性质例例3 求幂级数求幂级数11nnnx的收敛区间及和函数，并求数项级数的收敛区间及和函数，并求数项级数 12nnn的和。的和。解：解：因为因为 11limlim1nnaaRnnnn 把把1x代入幂级数后都不收敛，所以原级数的收敛区间为代入幂级数后都不收敛，所

21、以原级数的收敛区间为)1,1(。设和函数为设和函数为)(xS，因为因为nxnxdtnt01，所以，所以，xxxdtntdtntdttSnnnxnxnnx 1)()(11010110 两边求导得：两边求导得：2)1(1)1()(xxxxS )1,1(x 即即 112)1(1nnnxx，)1,1(x 将将21x代入得：代入得：2)211(121)21(2122111nnnnnn 例例4 对幂级数对幂级数 nnxxxx)1(1112 （11x）进行逐项求导和逐项积分。进行逐项求导和逐项积分。解：由于解：由于2)1(1)11(xx，对幂级数逐项求导得：，对幂级数逐项求导得：nnnxxxx122)1(3

22、21)1(1 （11x）对幂级数逐项积分得：对幂级数逐项积分得：xnnxxxxdttdtttdtt ddtt002000)1(11（11x）即即 nnxnxxxxx1)1(413121)1ln(1432 （11x）例例5 求幂级数求幂级数1!nnnx的和函数。的和函数。解：例解：例 2 中已经求出它的收敛区间为中已经求出它的收敛区间为),(，设和函数为设和函数为)(xS，即：即：!21)(2nxxxxSn ),(x 逐项求导得：逐项求导得：)(!21)(2xSnxxxxSn 即即 )()(xSxS 解这个微分方程得：解这个微分方程得：xCexS)(由于由于1)0(S，所以，所以1C，于是，于是

23、xexS)(即即 !212nxxxenx 综合例综合例 3，例，例 4，例，例 5，有如下几个等式：，有如下几个等式：(1)1321124321)1(1nnnnxxxxnxx(2)nnnxxxx122)1(321)1(1 （11x）(3)nnxnxxxxx1)1(413121)1ln(1432（11x）(4)!212nxxxenx （x）第五节第五节 函数的幂级数的展开函数的幂级数的展开重点重点 （1）把函数展开为幂级数）把函数展开为幂级数 （2）求函数的收敛区间）求函数的收敛区间难点难点 （1）幂级数的展开技巧）幂级数的展开技巧 （2）幂级数的简单应用）幂级数的简单应用对于一个给定的函数对于

24、一个给定的函数)(xf，如果能找到一个幂级数，如果能找到一个幂级数0nnnxa,使使 2012()nnf xaa xa xa x（RxR）（1）成立，那么就说函数成立，那么就说函数)(xf可以展开为可以展开为x的幂级数，（的幂级数，（1）式称为）式称为)(xf 的的x的幂级数展开式。的幂级数展开式。在这里，有在这里，有两个问题需要解决：两个问题需要解决：（1）在（在（1）式中，系数）式中，系数0a，1a，2a，na如何确定？如何确定？（2）)(xf满足什么条件才能展开为满足什么条件才能展开为x的幂级数？的幂级数？我们来解决问题（我们来解决问题（1），不妨设展开式（），不妨设展开式（1）成立，那

25、么根据幂）成立，那么根据幂 级数的逐项求导法，对式（级数的逐项求导法，对式（1）依次求出各阶导数：）依次求出各阶导数：一、函数的幂级数展开一、函数的幂级数展开1232132)(nnxnaxaxaaxf 232)1(232)(nxnnxaaxf 221)(2)!2()!1(!)(xanxananxfnnnn 把把0 x代入（代入（1）式及上述各式中得：）式及上述各式中得：0)0(af，1)0(af，2!2)0(af，nnanf!)0()(，于是于是 )0(0fa，!1)0(1fa，!2)0(2fa，!)0()(nfann，代入到（代入到（1）式中得）式中得 nnxnfxfxffxf!)0(!2)

26、0(!1)0()0()()(2（RxR）（2）称式（称式（2）为）为)(xf的的麦克劳林展开式麦克劳林展开式，（或称，（或称)(xf在在0 x 处的处的泰勒展开式泰勒展开式）。式（）。式（2）右端的级数称为）右端的级数称为)(xf的的麦克劳林级数麦克劳林级数（或称（或称)(xf在在0 x处的处的泰勒级数泰勒级数）。）。并且我们可以得到：如果并且我们可以得到：如果)(xf在包含点在包含点0 x在内的某一在内的某一 区间区间),(RR内有任意阶导数，且内有任意阶导数，且 (1)1()lim()lim0(1)!nnnnnfR xxn（在在 0 和和x之间，之间，RxR）那么，那么，)(xf在在),(

27、RR区间内就可以展开为麦克劳林级数。用上述区间内就可以展开为麦克劳林级数。用上述 方法把已知函数展开成方法把已知函数展开成x的幂级数的幂级数叫做叫做直接展开法直接展开法。因因为为xee，故故对对任任意意给给定定的的x，e有有界界，而而)!1(1nxn 是是收收敛敛级级数数的的一一般般项项，所所以以根根据据级级数数收收敛敛的的必必要要条条件件，对对任任意意 的的x，都都有有 0)!1(lim1nxnn 从从而而，0)(limxRnn，Rx 这这样样，我我们们得得到到xe的的麦麦克克劳劳林林级级数数为为!2!112nxxxenx （x）例例2 求正弦函数的麦克劳林级数。求正弦函数的麦克劳林级数。解

28、：解：xysin的各阶导数为的各阶导数为)2sin()()(nxxfn （0,1,2,3n）)0()(nf（n=0，1，2，3，）依次循环地取）依次循环地取 0，1，0，-1，于是得于是得xsin的展开式为的展开式为 )!12()1(!5!31253nxxxxnn （0,1,2,3n）容易求得此级数的收敛区间为容易求得此级数的收敛区间为),(。而。而 11)()!1(2)1(sin)!1()()(nnnnxnnxnfxR（在在 0 和和 x之间）之间）例例4 求函数求函数xxxf11ln)(的麦克劳林级数。的麦克劳林级数。解：解：)1ln()1ln(11ln)(xxxxxf 可先求可先求)1l

29、n(x和和)1ln(x的展开式：的展开式：1)1(32)1ln(132nxxxxxnn （11x）把上式中的把上式中的x换为换为x，得：，得：132)1ln(132nxxxxxn （11x）两式相减便得：两式相减便得：)1253(211ln123nxxxxxxn （11x）例例5 把把x1展开成展开成2x的幂级数。的幂级数。解：解：)22(1121221121)2(211xxxx 把把x11的展开式中的的展开式中的x换为换为22x得：得：)2)2(2)3(2)2(221(211443322xxxxx （1221x）整理得：整理得：)2)2()1(2)3(2)2(22211143322nnnxx

30、xxx （40 x）二、幂级数的应用举例二、幂级数的应用举例例例8 利用幂级数证明欧拉公式利用幂级数证明欧拉公式 xixeixsincos （*）证明：在证明：在xe的展开式中，将的展开式中，将x换为换为ix得：得：!)(!3)(!2)(132nixixixixenix 由于由于12i，ii3，14i，ii 5，所以所以 xixxxxixxxixxixixeixsincos)!5!3()!4!21(!5!4!3!2153425432 证毕。证毕。同理得：同理得：xixeixsincos （*）将（将（*）式与（）式与（*）式相加相减得：）式相加相减得：)(21cosixixeex （）)(21

31、sinixixeex （）（*）、（）、（*）、（）、（）、（）、（）四式实质上是一样的，都称为）四式实质上是一样的，都称为 欧拉公式欧拉公式。它们揭示了三角函数与指数函数之间的关系，其应。它们揭示了三角函数与指数函数之间的关系，其应 用很广泛。用很广泛。第六节第六节 傅立叶级数傅立叶级数重点：重点：（1）三角函数系的正交性）三角函数系的正交性 （2）把周期为的函数展开为傅立叶）把周期为的函数展开为傅立叶 技术，并求出收敛于的范围技术，并求出收敛于的范围难点：难点：（1）收敛定理的理解）收敛定理的理解 （2）傅立叶系数的计算）傅立叶系数的计算一、问题的提出一、问题的提出在在自自然然现现象象和和

32、科科学学技技术术中中，常常会会遇遇到到各各种种周周期期现现象象，这这类类周周期期 现现象象中中的的有有关关量量在在经经过过一一定定的的时时间间T以以后后，又又回回到到原原来来的的初初值值。这这 样样的的周周期期一一般般是是可可由由周周期期为为T的的函函数数 )()(tfTtf 来来描描述述。例例如如弹弹簧簧的的振振动动可可用用函函数数 )sin(tAS 来来表表示示；正正弦弦交交流流电电的的电电流流强强度度可可用用函函数数 )sin(0tII 来来表表示示。其其中中A和和0I叫叫做做振振幅幅，是是角角频频率率，叫叫做做初初位位相相。它它们们 都都是是以以2T为为周周期期的的函函数数，它它们们所

33、所描描述述的的周周期期现现象象称称为为简简谐谐振振动动。由正弦、余弦函数组成的形如由正弦、余弦函数组成的形如 10)sincos(nnnnxbnxaA 的级数，称为的级数，称为三角级数三角级数，又称，又称傅立叶级数傅立叶级数。其中其中 0,(1,2,3,)nnA a b n 都是常数。如果级数（都是常数。如果级数（1）在某种条件下能）在某种条件下能收敛于收敛于 一个函数一个函数)(xf，（，（Dx），则称函数），则称函数)(xf能展开成傅立叶级数，或者能展开成傅立叶级数，或者说三角级说三角级 数（数（1）在这种条件下收敛于函数）在这种条件下收敛于函数)(xf，即，即 10)sincos()(n

34、nnnxbnxaAxf，Dx 三角级数（三角级数（1）中出现的函数综合）中出现的函数综合 1,cos,sin,cos2,sin2,cos,sin,xxxxnxnx 称为称为三角函数系三角函数系 二、三角函数系的正交性二、三角函数系的正交性三角函数系中任何两个不同的函数间的乘积在区间三角函数系中任何两个不同的函数间的乘积在区间,上的积分为上的积分为 0，即，即 0cos1nxdx (1,2,3,)n 0sin1nxdx (1,2,3,)n 0cossinnxdxkx (,1,2,3,)n k 0coscoskxdxnx (,1,2,3,)n kkn 0sinsinkxdxnx (,1,2,3,)

35、n kkn 这一性质称为三角函数的这一性质称为三角函数的正交性正交性。这些积分大家可以自己动手计算，这里。这些积分大家可以自己动手计算，这里计算从略。计算从略。另外，在三角函数系中，任意两个相同的函数的乘积在另外，在三角函数系中，任意两个相同的函数的乘积在,上的积分不等于上的积分不等于 0，即，即 212dx，nxdx2sin，nxdx2cos (1,2,3,)n 设设)(xf以以2为周期，并且可以展开成傅立叶级数（为周期，并且可以展开成傅立叶级数（1），即），即 10)sincos()(nnnnxbnxaAxf （2）首先就要解决如下的两个问题：首先就要解决如下的两个问题：（1）展开式中的系

36、数展开式中的系数0A，na，nb，如何确定？，如何确定？（2）)(xf满足什么样的条件，展开式才收敛于满足什么样的条件，展开式才收敛于)(xf呢？呢？下面先来解决问题（下面先来解决问题（1）。假定函数）。假定函数)(xf在在,上可积，并且上可积，并且它的展开它的展开 式可以逐项积分，则有式可以逐项积分，则有 10)sincos()(nnnnxdxbnxdxadxAdxxf 三三、周周期期为为 2的的函函数数展展开开为为傅傅立立叶叶级级数数 由三角函系的正交性可得：由三角函系的正交性可得：002)(AdxAdxxf 令令200aA，则，则dxxfa)(10 再用再用kxcos乘以（乘以（2）式右

37、端，并在）式右端，并在,上积分，有上积分，有 10)cossincoscos(coscos)(nnnkxdxnxbkxdxnxadxkxAkxdxxf 由三角函数的正交性，得：由三角函数的正交性，得：nanxdxxfcos)(，从而求出，从而求出na：nxdxxfancos)(1 （n=1，2，3，）同理用同理用kxsin乘以（乘以（2）式两端，并在）式两端，并在,上积分，可得：上积分，可得：nxdxxfbnsin)(1 （n=1，2，3，）综上所述，综上所述，)(xf的展开式的系数可以表示如下：的展开式的系数可以表示如下：nxdxxfancos)(1 （n=1，2，3，）（3）nxdxxfb

38、nsin)(1 （n=1，2，3，）（4）由（由（3）式所确定的系数）式所确定的系数na，nb称为称为)(xf的的傅立叶系数傅立叶系数，把它们代入，把它们代入（2）式即得）式即得)(xf的傅立叶级数展开式的傅立叶级数展开式 10)sincos(2)(nnnnxbnxaaxf （5）狄狄里里克克莱莱定定理理：设设)(xf以以2为为周周期期，如如果果它它在在一一个个周周期期内内满满足足：（1）)(xf连连续续或或者者只只有有有有限限个个第第一一类类间间断断点点；（2）)(xf至至多多只只有有有有限限个个极极值值点点（即即)(xf在在一一个个周周期期内内不不能能无无限限次次 的的振振荡荡），则则)(

39、xf的的傅傅立立叶叶级级数数收收敛敛，并并且且（1）当当x是是)(xf的的连连续续点点时时，级级数数收收敛敛于于)(xf；（2）当当x是是)(xf的的间间断断点点时时，级级数数收收敛敛于于)0()0(21xfxf 收收敛敛定定理理告告诉诉我我们们，只只要要)(xf在在,上上至至多多有有有有限限个个第第一一类类间间断断点点，并并 且且不不作作无无限限次次的的振振荡荡，函函数数的的傅傅立立叶叶级级数数在在连连续续点点处处就就收收敛敛于于该该点点的的函函数数值值，在在 间间断断点点处处收收敛敛于于该该点点左左、右右极极限限的的算算术术平平均均值值。例例1 设设)(xf以以2为周期，它在为周期，它在,

40、上的表达式为上的表达式为,1,1)(xf xx00 将将)(xf展开成傅立叶级数。展开成傅立叶级数。解：解：计算傅立叶系数计算傅立叶系数 0cos11cos)1(1cos)(100nxdxnxdxnxdxxfan,6,4,2,0,5,3,1,4)1(1 2 1coscos1 10cos10cos1sin11sin)1(1sin)(100nnnnnnnnnxnnxnxdxnxdxnxdxxfbnn （2）写出傅立叶级数写出傅立叶级数)12sin(1215sin513sin31sin4xnnxxx（1）讨论收敛性：讨论收敛性：由于由于)(xf满足收敛定理的条件，它在满足收敛定理的条件，它在kx（,

41、2,1,0k）处不连处不连续，其它地方都连续，由收敛定理知道，在续，其它地方都连续，由收敛定理知道，在kx 时，时，级数收敛于级数收敛于0211，在在kx 时，级数收敛于时，级数收敛于)(xf，即，即)12sin(1215sin513sin31sin4)(xnnxxxxf （x，kx，,2,1,0k）其和函数的图形如图。其和函数的图形如图。xy432234O11(2)写出傅立叶级数写出傅立叶级数)5sin515cos52(4sin41)3sin313cos32(2sin21)sincos2(422xxxxxxxx(3)讨论敛散性讨论敛散性)(xf满足收敛定理的条件，在满足收敛定理的条件，在)1

42、2(kx（,2,1,0k）不连续，）不连续，因此在这些点级数收敛于因此在这些点级数收敛于22)(02)0()0(ff在其它点处在其它点处都都 收敛于收敛于)(xf，因此，因此)3sin312sin21(sin)5cos513cos31(cos24)(22xxxxxxxf（x，kx，,2,1,0k）)(xf及及其其展展开开式式的的图图形形如如下下 xx32234OO23423xy第七节第七节 正弦与余弦级数正弦与余弦级数 周期延拓周期延拓重点：重点：（1）奇函数与偶函数分别展开为正）奇函数与偶函数分别展开为正 弦级数和余弦级数弦级数和余弦级数 （2）把已知函数进行奇延拓和偶延）把已知函数进行奇延

43、拓和偶延 拓拓难点难点：函数的周期性延拓函数的周期性延拓一、奇函数和偶函数的傅立叶级数一、奇函数和偶函数的傅立叶级数xy32234OOxy22E二、函数的周期性延拓二、函数的周期性延拓Oxy11Oxy11Oxy11第八节第八节 周期为周期为2的函数的傅立叶级数的函数的傅立叶级数重点：重点：把周期为把周期为2的函数展开为傅立叶级的函数展开为傅立叶级数求出收敛于数求出收敛于 的范围的范围难点：难点：把函数展开为正弦级数和余弦级数把函数展开为正弦级数和余弦级数（）f xO22xyIO2llx2lly11O2Tt2T（）f tEEOTTt（）f t2T2Th第九节第九节 傅立叶级数的复数形式傅立叶级数的复数形式重点：重点：把函数展开为复数形式的傅立叶级数把函数展开为复数形式的傅立叶级数难点：难点：傅立叶级数（复数形式）的计算傅立叶级数（复数形式）的计算