第四章微分方程课件1.ppt

1、第四章微分方程 yxfy求已知,)(积分问题积分问题 yy求及其若干阶导数的方程已知含,微分方程问题微分方程问题 推广 4.1 微分方程的基本概念 引例引例 案例案例1.一曲线通过点一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的在该曲线上任意点处的解解:设所求曲线方程为设所求曲线方程为 y=y(x),则有如下关系式则有如下关系式:xxy2ddxxyd2Cx 2(C为任意常数为任意常数)由由 得得 C=1,.12 xy因此所求曲线方程为因此所求曲线方程为21xy由由 得得切线斜率为切线斜率为 2x,求该曲线的方程求该曲线的方程.一、一、引出微分方程的两个实例引出微分方程的两个实例引例引例2.列车在

2、平直路上以列车在平直路上以sm20的速度行驶的速度行驶,制动时制动时获得加速度获得加速度,sm4.02a求制动后列车的运动规律求制动后列车的运动规律.解解:设列车在制动后设列车在制动后 t 秒行驶了秒行驶了s 米米,已知已知4.0dd22ts,00ts200ddtts由前一式两次积分由前一式两次积分,可得可得2122.0CtCts利用后两式可得利用后两式可得0,2021CC因此所求运动规律为因此所求运动规律为tts202.02说明说明:利用这一规律可求出制动后多少时间列车才利用这一规律可求出制动后多少时间列车才能停住能停住,以及制动后行驶了多少路程以及制动后行驶了多少路程.即求即求 s=s(t

3、).常微分方程常微分方程偏微分方程偏微分方程定义定义1 含未知函数及其导数的方程叫做含未知函数及其导数的方程叫做微分方程微分方程.定义定义2 方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶。微分方程的阶。(本章内容本章内容)二、微分方程的基本概念二、微分方程的基本概念分类分类;0)1(xydxdyxyxdxdysin)2(212)3(22sdtdsdtsd02)4(2xdxdyydxdy例例1 1 如如 (一阶一阶)(一阶一阶)(二阶二阶)(一阶一阶),00ts200ddtts引例引例24.022ddxy 使方程成为恒等式的函数使方程成为恒等式的函数.通解

4、通解 解中所含独立的任意常数的个数与方程解中所含独立的任意常数的个数与方程)1(00)1(0000)(,)(,)(nnyxyyxyyxy 确定通解中任意常数的条件确定通解中任意常数的条件.n 阶方程的阶方程的初始条件初始条件(或初值条件或初值条件):的阶数相同的阶数相同.特解特解xxy2dd21xy引例引例1 Cxy22122.0CtCts通解通解:tts202.0212 xy特解特解:定义定义3 3 微分方程的解微分方程的解 不含任意常数的解不含任意常数的解,初始条件初始条件 其图形称为其图形称为积分曲线积分曲线.例例1.验证函数验证函数是微分方程是微分方程tkCtkCxsincos2122

5、ddtx的解的解,0Axt00ddttx的特解的特解.解解:22ddtxt kkCsin22)cossin(212t kCt kCkxk2这说明这说明tkCtkCxsincos21是方程的解是方程的解.是两个独立的任意常数是两个独立的任意常数,21,CC为常数)C,(C21t kkCcos2102xk利用初始条件易得利用初始条件易得:,1AC 故所求特解为故所求特解为tkAxcos,02C故它是方程的通解故它是方程的通解.并求满足初始条件并求满足初始条件 内容小结内容小结 微分方程的概念微分方程的概念微分方程微分方程;定解条件定解条件;说明说明:通解不一定是方程的全部解通解不一定是方程的全部解

6、.0)(yyx有解有解后者是通解后者是通解,但不包含前一个解但不包含前一个解.例如例如,方程方程解解;阶阶;通解通解;特解特解 y=x 及及 y=C 一、可分离变量微分方程一、可分离变量微分方程 4.2 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程 与齐次微分方程与齐次微分方程dxxfygdy)()(一般一般形式形式 )()(ygxfdxdy解法解法:dxxfygdy)()(.)F()G(Cxx)F(),G(xy)(,g(y)1xf得得 （其中（其中 分别是分别是 的一个原函数）的一个原函数）以上这种求解过程叫做以上这种求解过程叫做分离变量法分离变量法。例例1.求微分方程求微分方程22ddxyxy

7、的通解的通解.解解:分离变量，得分离变量，得;d2d2xxyy两边积分，得两边积分，得得得(C 为任意常数为任意常数)xdxdyy212Cxy21.12Cxy0y故原方程的通解为故原方程的通解为 注意：注意：这说明微分方程的通解并不是微分方程的所有解。这说明微分方程的通解并不是微分方程的所有解。也是该微分方程的解，但不是通解。也是该微分方程的解，但不是通解。一、型方程由初始条件得 C=1,求鸭子游动的轨迹方程.若 Q(x)0,解 特征方程为而k按不是特征方程的根,是特征方程的单根或者提示:如图所示建立坐标系.解中所含独立的任意常数的个数与方程2 可分离变量的微分方程 与齐次微分方程解 特征方程

8、 具有两个不同的实根因此方程 的通解为设时刻t 鸭子位于点P(x,y),(此式含分离变量时丢失的解 y=0)而2不是特征方程的根，从而可设(1)先求出对应的齐次线性方程的通解；通 解例例2.求微分方程求微分方程yxxy23dd的通解的通解.解解:分离变量得分离变量得xxyyd3d2两边积分两边积分xxyyd3d2得得13lnCxyCxylnln3即即13Cxey31xCee3xeCy 1CeC令(C 为任意常数为任意常数)或说明说明:在求解过程中在求解过程中每一步不一定是同解每一步不一定是同解变形变形,因此可能增、减解.(此式含分离变量时丢失的解此式含分离变量时丢失的解 y=0)例例3.解初值

9、问题解初值问题解解:分离变量得分离变量得xxxyyd1d2两边积分得两边积分得Cxyln11lnln2即即Cxy12由初始条件得由初始条件得 C=1,.112xy(C 为任意常数为任意常数)故所求特解为故所求特解为0d)1(d2yxxyx 1)0(y练习练习:.dd的通解求方程yxexy解解:分离变量分离变量xeyexyddCeexy即即01)(yxeCe(C 0 )二、齐次微分方程二、齐次微分方程 一般一般形式形式 )(xyy,xyu.uxy xuuy)(uxuu,)(xdxuudu.1)(1dxxduuuxy要解该方程，可作变量代换：要解该方程，可作变量代换：即即 将将代入方程，得代入方程

10、，得 分离变量，得分离变量，得 两边积分，得两边积分，得 求出积分后，再用求出积分后，再用代替代替u u，便得齐次方程的解，便得齐次方程的解 例例4 4 求微分方程求微分方程 的通解。的通解。,xyu.uxy 令令 即即 将其代入方程，得将其代入方程，得 分离变量，得分离变量，得 两边积分，得两边积分，得 代入，便得原方程的通解：代入，便得原方程的通解：22xxyydxdy解：原方程可变形为解：原方程可变形为 ,12xyxydxdy它是齐次方程。它是齐次方程。12uuxuu,1xdxduuu,lnln1Cxuu.uCexu 即即 ,xyu 将将 .xyCey 例例5 5 求方程求方程 的通解。

11、的通解。,xyu.uxy 令令 即即将其代入方程，得将其代入方程，得 分离变量，得分离变量，得 两边积分，得两边积分，得 解：原方程可变形为解：原方程可变形为 它是齐次方程。它是齐次方程。即即 ,xyu 将将 代入得原方程的通解：代入得原方程的通解：)0(022xxdydxyxy,12xyxydxdy,12uudxduxu,12xdxudu,ln)1ln(12Cxuu222Cxyxy.12Cxuu从而 是 的解的充要条件（其中 分别是 的一个原函数）(3)将所设解代入非齐次线性方程，求出 ，解中所含独立的任意常数的个数与方程且当 y1,y2 线性无关时，以及制动后行驶了多少路程.称为一阶线性齐

12、次方程;2 可分离变量的微分方程 与齐次微分方程说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,(3)将所设解代入非齐次线性方程，求出 ，例1求方程 的通解。的方程的一个特点是不显含未知函数y.（非齐次线性微分方程解的结构）由定理已知二阶常系数非齐次线性方程如果此微分方程是可解的，设其通解为(2)根据所求出的齐次方程的通解设出非齐次线性设时刻t 鸭子位于点P(x,y),可以再求一个与之线性无关的解,例2 求微分方程 的通解4.3 4.3 一阶线性微分方程一阶线性微分方程一般形式一般形式:)()(ddxQyxPxy若若 Q(x)0,若若 Q(x)0,称为称为一阶线性一阶线性非齐次方程非齐次方程.称为称

13、为一阶线性一阶线性齐次方程齐次方程;,cos)1(sin xexyy,112)3(22xxxydxdy,0)2(xyy如如 方程方程 都是一阶线性微分方程，其中都是一阶线性微分方程，其中(2)是齐次的，是齐次的，(1)(3)是非齐次的。是非齐次的。4.3 4.3 一阶线性微分方程一阶线性微分方程0)(ddyxPxy1.解齐次方程解齐次方程解法：分离变量解法：分离变量xxPyyd)(d两边积分得两边积分得CxxPylnd)(ln故通解为故通解为xxPeCyd)(下面来研究这类方程的解法：下面来研究这类方程的解法：该方程的本质是该方程的本质是可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程。齐次方程通解齐

14、次方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解xxPCed)(2.解非齐次方程解非齐次方程)()(ddxQyxPxy用用常数变易法常数变易法:,)()(d)(xxPexcxy则则xxPeCd)()(xPxxPeCd)()(xQ故原方程的通解故原方程的通解xexQexxPxxPd)(d)(d)(CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(y即即即即作变换作变换xxPeCxPd)()(CxexQxCxxPd)()(d)(求得求得Q(x)exCdxxp)()(一阶线性方程一阶线性方程)()(ddxQyxPxy解法：解法：方法方法1 用常数变易法用常数变易法.方法方法2 用通解公式用通解公式CxexQeyxx

15、PxxPd)(d)(d)(C)(xC)(xC (1)(1)先求出对应的齐次线性方程的通解；先求出对应的齐次线性方程的通解；(2)(2)根据所求出的齐次方程的通解设出非齐次线性根据所求出的齐次方程的通解设出非齐次线性方程的解（将齐次方程的通解中的任意常数方程的解（将齐次方程的通解中的任意常数 设为设为待定函数待定函数 即可）即可）(3)(3)将所设解代入非齐次线性方程，求出将所设解代入非齐次线性方程，求出 ，即可写出即可写出非齐次线性方程的通解。非齐次线性方程的通解。例例1 1求方程求方程 的通解。的通解。分离变量，得分离变量，得 两边积分，得两边积分，得 解法解法1 1 原方程可变为原方程可变

16、为 即即 xxyy3,2xxydxdy它是一阶线性非齐次方程它是一阶线性非齐次方程,它对应的齐次方程为它对应的齐次方程为 0 xydxdy,xydxdy,11dxxdyy1lnlnCxyCxeCyx22Cxy 即即 所以齐次方程的通解为所以齐次方程的通解为 .(C 为任意常数为任意常数).xxCy)(,)(2xxxC,)(xxC.21)(2CxxdxxCxCxy)2(2C2)(,1)(PxxQxxCdxxeeydxxdxx211则设则设 为非齐次方程的解为非齐次方程的解,将其代入方程得将其代入方程得 于是于是 即即 所以原方程的通解为所以原方程的通解为 （为任意常数为任意常数).将其代入通解公

17、式将其代入通解公式 解法解法2 2 原方程中原方程中xCx)2(2yeyxydxdy2,1yyexydydxyx01xydydx.Cyx yyCx)(yyeyyC)(,)(yeyCCedyeyCyy)(yCexy)(例例2 2 求方程求方程 的通解。的通解。解：原方程可化为以解：原方程可化为以 为自变量，为自变量，为因变量的为因变量的 一阶线性非齐次微分方程一阶线性非齐次微分方程先求它对应的齐次方程先求它对应的齐次方程 的通解为的通解为 再设再设 为非齐次方程的解，将其带入得为非齐次方程的解，将其带入得 于是于是 则则 所以原方程的通解为所以原方程的通解为 （C C 为任意常数为任意常数 ）例

18、例3.设河边点设河边点 O 的正对岸为点的正对岸为点 A,河宽河宽 OA=h,一鸭子从点一鸭子从点 A 游向点游向点为平行直线为平行直线,游动方向始终朝着点游动方向始终朝着点O,h提示提示:如图所示建立坐标系如图所示建立坐标系.设时刻设时刻t 鸭子位于点鸭子位于点P(x,y),设鸭子设鸭子(在静水中在静水中)的游速大小为的游速大小为bP求鸭子游动的轨迹方程求鸭子游动的轨迹方程.O,水流速度大小为水流速度大小为 a,两岸两岸),(ab)0,(aa abyxAo则则则鸭子游速则鸭子游速 b 为为且鸭子且鸭子若存在不全为 0 的常数可设 ，把p当作新的未知函数，把y当作自变量代入原方程并比较同次幂的

19、系数可得也是该微分方程的解，但不是通解。它对应的二阶线性齐次微分方程例3 求方程 的通解。一阶线性非齐次微分方程定义2 方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做解:设所求曲线方程为 y=y(x),则有如下关系式:解：此方程不显含自变量x,令 ，则的方程的一个特点是不显含未知函数y.故所求齐次方程的通解为的方程的一个特点是不显含未知函数y.确定通解中任意常数的条件.(C 为任意常数)因此方程 的通解为的方程的一个特点是不显含未知函数y.方程一鸭子从点 A 游向点求制动后列车的运动规律.由上述讨论，求方程定解条件定解条件 a由此得微分方程由此得微分方程yxvvyxddyxybyxa22即即v鸭子的实际

20、运动速度为鸭子的实际运动速度为(只要求出此初值问题即可只要求出此初值问题即可).0hyxyxddyxyxba12(齐次方程齐次方程)b0PObb,dd,ddtytxv bavhPabyxAo2222,yxybyxxb2222,yxyyxx一、一、型方程型方程)(xfy 这种方程只须逐次积分这种方程只须逐次积分2次即可求得其通解次即可求得其通解.例例1 求求 的通解的通解.xxycossin解解 逐次积分得逐次积分得1sincosCxxy 21cossinCxCxxy 322121sincosCxCxCxxy 这就是所求的通解这就是所求的通解二、不显含未知函数的方程二、不显含未知函数的方程形如形

21、如),(yxfy 的方程的一个特点是不显含未知函数的方程的一个特点是不显含未知函数y.若作变换若作变换py 则原方程可化为一个关于变量则原方程可化为一个关于变量x,p的一阶微分方程的一阶微分方程),(ddpxfxp 若上式可解若上式可解,设通解为设通解为 ,则有则有),(1Cxp ),(1Cxdxdy 积分便得通解积分便得通解21d),(CxCxy.3|,1|2)1(1002的的特特解解满满足足初初始始条条件件求求方方程程例例 xxyyyxyx解解 令令py 代入方程并分离变量得代入方程并分离变量得xxxppd12d2积分，得积分，得)1(21xCyp 3,3|10Cyx得由条件)1(32xy

22、 故故1,1|20 Cyx得得由由条条件件再积分再积分,得得233Cxxy 所求特解为所求特解为133 xxy三、不显含自变量的方程三、不显含自变量的方程形如形如),(yyfy 的方程的一个特点是不显含自变量的方程的一个特点是不显含自变量x),(ddpyfxpp 可设可设 ，把，把p当作新的未知函数，把当作新的未知函数，把y当作自变量当作自变量py yppxyypxpydddddddd 代入方程有代入方程有如果此微分方程是可解的，设其通解为如果此微分方程是可解的，设其通解为),(dd1Cyxyp 分离变量后再积分，便得方程的通解分离变量后再积分，便得方程的通解 21d),(1CyCyx 解：此

23、方程不显含自变量解：此方程不显含自变量x,令令 ，则，则代入原方程得代入原方程得例例3 求方程求方程 的通解。的通解。02yyypy.ddyppy 02pdydppy),0(0ppdydpy0p,Cy.2Cy 得得与与由由 得得 得原方程的通解为得原方程的通解为故由故由 得到的解得到的解包含包含 于之中。于之中。0p由由 0 pdydpy.12xCeCy 得得,1yCyp分离变量并积分，分离变量并积分，当取当取 时，时，01C0p,Cy xCeCy12 4.5 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程的一般形式二阶常系数线性微分方程的一般形式它对应的二阶线性它对应的二

24、阶线性齐次齐次微分方程微分方程)(xfqyypy 0 qyypy二阶常系数线二阶常系数线性性非齐次非齐次微分微分方程方程定义定义1:)(,),(),(21xyxyxyn设是定义在区间是定义在区间 I 上的上的 n 个函数个函数,21nkkk使得使得Ixxykxykxyknn,0)()()(2211则称这则称这 n个函数在个函数在 I 上上线性相关线性相关,否则称为否则称为线性无关线性无关.例如例如，,sin,cos,122xx在在(,)上都有上都有0sincos122xx故它们在任何区间故它们在任何区间 I 上都线性相关上都线性相关。若存在若存在不全为不全为 0 的常数的常数4.5.1 二阶常

25、系数线性微分方程解的性质二阶常系数线性微分方程解的性质两个函数在区间两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的上线性相关与线性无关的充要条件充要条件:)(),(21xyxy线性相关线性相关存在不全为存在不全为 0 的的21,kk使使0)()(2211xykxyk1221)()(kkxyxy(无妨设无妨设)01k)(),(21xyxy线性无关线性无关)()(21xyxy常数常数思考思考:)(),(21xyxy若中有一个恒为中有一个恒为 0,则则)(),(21xyxy必线性必线性相关相关定理定理1（二阶齐次线性微分方程解的叠加原理）（二阶齐次线性微分方程解的叠加原理）如果如果y1,y2是是二阶齐次

26、线性微分方程二阶齐次线性微分方程 的两个解的两个解,则它们的线性组合则它们的线性组合也是方程的解；也是方程的解；2211yCyCy 0 qyypy 且当且当 y1,y2 线性无关时，线性无关时，2211yCyCy 为方程的通解，其中为方程的通解，其中C1,C2是任意常数是任意常数)(*xy设是二阶非齐次方程是二阶非齐次方程的一个特解的一个特解,)(*)(xyxYyY(x)是相应齐次方程的通解是相应齐次方程的通解,定理定理 2.（非齐次线性微分方程解的结构）（非齐次线性微分方程解的结构）f(x)qyypy 则则是非齐次方程的通解是非齐次方程的通解.证证:将将)(*)(xyxYy代入方程代入方程左

27、端左端,得得)*(yY)*(yYp)*(yqpyy)(YqYpY)(0)(xfxf)*(yYq一、二阶常系数齐次线性微分方程一、二阶常系数齐次线性微分方程0 qyypy其中其中p，q是常数是常数考虑二阶常系数齐次线性方程考虑二阶常系数齐次线性方程由于指数函数求导后仍为指数函数由于指数函数求导后仍为指数函数,利用这个性质，利用这个性质，假设二阶常系数齐次方程具有形如假设二阶常系数齐次方程具有形如 的解的解,将将 代入方程使得代入方程使得 rxye yyy ,0e)(2 rxqprr4.5.2 二阶常系数齐次线性微分方程的解法二阶常系数齐次线性微分方程的解法 由于由于 成立当且仅当成立当且仅当从而

28、从而 是是 的解的充要条件的解的充要条件为为r是代数方程是代数方程 的根的根rxye 0e)(2 rxqprr02 qprr0 qyypy02 qprr 方程方程 称为称为 的的特征方程特征方程，其根称为，其根称为 的的特征根特征根02 qprr0 qyypy0 qyypy分三种情形来考虑分三种情形来考虑:(1)如果特征方程如果特征方程 有有两个相异实根两个相异实根r1与与r2,)4(4212222,1qpqppr 02 qprr,e11xry xry2e2 根据定理根据定理1，此时方程，此时方程 的通解为的通解为xrxrCCyCyCy21ee212211 0 qyypy这时可得方程的两个线性

29、无关的解这时可得方程的两个线性无关的解(2)如果特征方程如果特征方程 有重根，有重根，)4(2221qpprrrrxye1 02qprr这时可得到方程的一个解，这时可得到方程的一个解，rxrxrxpxrxpdxxdxdxxyyyeeeeede22112可以再求一个与之线性无关的解可以再求一个与之线性无关的解,因此方程因此方程 的通解为的通解为rxxCCye)(21 0 qyypy(3)如果特征方程如果特征方程 有共轭复根有共轭复根)4(24i2i222,1qppqpr 则方程有两个线性无关的解则方程有两个线性无关的解xxyy)i(2)i(1e,e 02 qprr为了得到实值解为了得到实值解,利

30、用欧拉利用欧拉(Euler)公式公式 sinicosei 将将y1与与y2 分别写成分别写成)sini(cose)sini(cose21xxyxxyxx 由齐次线性微分方程解的叠加原理知由齐次线性微分方程解的叠加原理知xyyyxyyyxx sine)(i21cose)(2121*221*1 也是方程也是方程 的解的解,显然它们是线性无关的显然它们是线性无关的.0 qyypy于是方程的通解为于是方程的通解为)sincos(e21xCxCyx ,02qrprxrxreCeCy212121rr 实根实根 221prrxrexCCy1)(21ir,21)sincos(21xCxCeyx特特 征征 根根

31、通通 解解 由上述讨论，求方程由上述讨论，求方程 的通解的步骤为：的通解的步骤为：(1)写出微分方程的写出微分方程的特征方程特征方程 (2)求出特征根求出特征根 ，(3)根据特征根的情况按下表写出所给微分方程根据特征根的情况按下表写出所给微分方程的通解。的通解。0 qyypy以上求解的方法称为以上求解的方法称为特征方程法特征方程法.21,rr例例1 试求方程试求方程 的通解的通解.045 yyy解解 特征方程特征方程 具有两个不同的实根具有两个不同的实根0452 rr1,421 rrxy41e xy e2因此因此,和和 构成原方程的基本解组构成原方程的基本解组.原方程的通解为原方程的通解为xx

32、CCy ee241例例2 求微分方程求微分方程 的通解的通解0544 yyy它具有共轭复根它具有共轭复根i211 ri212 r05442 rr解解 特征方程为特征方程为)sincos(e2121xCxCyx 因此所求方程的通解为因此所求方程的通解为都是一阶线性微分方程，其中(2)是齐次的，（非齐次线性微分方程解的结构）两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件:中有一个恒为 0,则称为 的特征方程，其根称为而k按不是特征方程的根,是特征方程的单根或者可以再求一个与之线性无关的解,(1)(3)是非齐次的。分离变量，得由初始条件得 C=1,(2)求非齐次方程的一个特解y*：(C 为任意常

33、数)由 得 C=1,例3 求微分方程(此式含分离变量时丢失的解 y=0)提示:如图所示建立坐标系.的特征根为了得到实值解,利用欧拉(Euler)公式可以再求一个与之线性无关的解,将其代入通解公式例例3 求微分方程求微分方程 044 yyy特征根为特征根为2r21r0442 rr解解 原方程的特征方程为原方程的特征方程为则所求方程的通解为则所求方程的通解为满足初始条件满足初始条件1)0(,1)0(yy的特的特解解.e)(221xxCCy1)0(y1,1C,e)(2221xxCCCy1)0(y1221 CC12C.e)1(2xxy 由由 得得又因为又因为 从而从而 故所求方程的特解为故所求方程的特

34、解为 由由 得得4.5.3 二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程由定理已知二阶常系数非齐次线性方程由定理已知二阶常系数非齐次线性方程)(xfqyypy(其中其中p,q是常数是常数,f(x)是已知的连续是已知的连续)的通解是它的一个特的通解是它的一个特解与它所对应的齐次线性方程解与它所对应的齐次线性方程0 qyypy的通解之和的通解之和而方程而方程 的通解问题在上面已经完全解的通解问题在上面已经完全解决了决了.因此因此,求方程求方程 的通解关键是求的通解关键是求出它的一个特解出它的一个特解y*.)(xfqyypy 0 qyypyx)e()(xPxfm)(xPm)(xfqyyp

35、y xmkxQxye)(*本书只讨论本书只讨论 的情形，这里的情形，这里 是常数是常数,是是m次多项式。这时方程次多项式。这时方程具有形如具有形如)(xQm)(xPm的特解，其中的特解，其中 是与是与同次的特定多项式，同次的特定多项式，是是特征方程的重根特征方程的重根依次取依次取0 0,1 1或或2 2.这种求通解的方法称为这种求通解的方法称为“特定系数法特定系数法”而而k k按按 不是特征方程的根不是特征方程的根,是是特征方程的单根特征方程的单根或者或者例例4 试求方程试求方程 的通解的通解.xxeyyy2332 解解：（：（1）求方程）求方程 的通解；的通解；032 yyy.0322 rr

36、.3,121rr.e321xxCeCY因为它的特征方程因为它的特征方程的根为的根为 故所求齐次方程的通解为故所求齐次方程的通解为因为因为,3)()(2xxxeexPxf,2,)(*2xeBAxy(2)求非齐次方程的一个特解求非齐次方程的一个特解y*：而而2不是特征方程的根，从而可设不是特征方程的根，从而可设代入原方程并比较同次幂的系数可得代入原方程并比较同次幂的系数可得即即03233BAA.32,1BAxexy2)32(*yYyxxCeC321exex2)32(解得解得 故故 (3)原方程的通解为原方程的通解为 例例5 试求方程试求方程 的通解的通解.解解：（：（1）求方程）求方程 的通解；的

37、通解；因为它的特征方程因为它的特征方程的根为的根为 故所求齐次方程的通解为故所求齐次方程的通解为因为因为(2)求非齐次方程的一个特解求非齐次方程的一个特解y*：而而2不是特征方程的根，从而可设不是特征方程的根，从而可设代入原方程并比较同次幂的系数可得代入原方程并比较同次幂的系数可得即即xyy 0 yy02rr.1,021rr.e21xCCY,)()(0 xxxexexPxf,0.)(*20BxAxeBAxxyx 不含任意常数的解,待定函数 即可）(3)原方程的通解为将y1与y2 分别写成也是方程 的解,显然它们是线性无关的.解法1 原方程可变为代替u，便得齐次方程的解解:设所求曲线方程为 y=

38、y(x),则有如下关系式:若存在不全为 0 的常数为r是代数方程 的根故它们在任何区间 I 上都线性相关。(1)先求出对应的齐次线性方程的通解；在(,)上都有可设 ，把p当作新的未知函数，把y当作自变量故由 得到的解设时刻t 鸭子位于点P(x,y),(2)求非齐次方程的一个特解y*：代入原方程并比较同次幂的系数可得例2 求微分方程 的通解例5 求方程 的通解。(此式含分离变量时丢失的解 y=0)说明:利用这一规律可求出制动后多少时间列车才可以再求一个与之线性无关的解,定义2 方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做为了得到实值解,利用欧拉(Euler)公式代入原方程并比较同次幂的系数可得(2)求非齐次方程的一个特解y*：从而 是 的解的充要条件若存在不全为 0 的常数例2 求微分方程 的通解故由 得到的解这种方程只须逐次积分2次即可求得其通解.设鸭子(在静水中)的游速大小为b 解中所含独立的任意常数的个数与方程由提示:如图所示建立坐标系.一、可分离变量微分方程一、可分离变量微分方程由上述讨论，求方程例4 试求方程 的通解.解得解得 故故 (3)原方程的通解为原方程的通解为 0212BAA.1,21BAxxy221*yYy.21e221xxCCx