第四章-空间问题有限单元法2-有限单元法与程序设计-教学课件.ppt

1、1 JUN 20 200309:49:49ELEMENTSwvufTyxwf第六章第六章 杆系结构的有限单元法杆系结构的有限单元法第六章第六章 杆系结构的有限单元法杆系结构的有限单元法第六章第六章 杆系结构的有限单元法杆系结构的有限单元法图示等截面直杆，其中图示等截面直杆，其中f(x(x)是轴向的分布荷载，是轴向的分布荷载，P P1 1、P P2 2、P P3 3等是轴向的集中荷载等是轴向的集中荷载1 1、计算假定、计算假定a a）应力在截面上均匀分布）应力在截面上均匀分布b b）原来垂直于轴线的截面变形后仍保持和轴线垂直）原来垂直于轴线的截面变形后仍保持和轴线垂直三维问题简化为一维问题，只有

2、沿三维问题简化为一维问题，只有沿x x轴方向的位移轴方向的位移u u第六章第六章 杆系结构的有限单元法杆系结构的有限单元法2 2、基本方程、基本方程a a）几何方程）几何方程dxduxb b）物理方程）物理方程dxduEExxc c）平衡方程）平衡方程)(xfAdxdx)(22xfdxudAE即：即：d d）总势能）总势能jjjlluPudxxfdxdxduEA002)(2C C0 0问题问题第六章第六章 杆系结构的有限单元法杆系结构的有限单元法3 3、单元分析、单元分析a a）建立自然坐标）建立自然坐标112,221xxxxxlccb b）试凑法建立形函数）试凑法建立形函数121,12121

3、NN2 2结点单元：结点单元：第六章第六章 杆系结构的有限单元法杆系结构的有限单元法3 3、单元分析、单元分析b b）试凑法建立形函数）试凑法建立形函数121,1,1213221NNN3 3结点单元：结点单元：c c）位移插值函数）位移插值函数 eniiiNuNu1)(第六章第六章 杆系结构的有限单元法杆系结构的有限单元法3 3、单元分析、单元分析d d）单元平衡方程）单元平衡方程将位移函数带入总势能方程，并对势能取驻值得：将位移函数带入总势能方程，并对势能取驻值得：0 eeeRk 其中：其中：1102dddNddNlEAdxdxdNdxdNEAkTlTe1102)()(dxlfNdxxfNR

4、TlTe第六章第六章 杆系结构的有限单元法杆系结构的有限单元法3 3、单元分析、单元分析d d）单元平衡方程）单元平衡方程2 2结点杆单元的单刚：结点杆单元的单刚：1111lEAke3 3个以上结点的杆单元，内部自由度可以在单元层次凝聚掉，以个以上结点的杆单元，内部自由度可以在单元层次凝聚掉，以提高计算效率提高计算效率第六章第六章 杆系结构的有限单元法杆系结构的有限单元法a a）几何方程）几何方程dxdxb b）物理方程）物理方程dxdGJGJMxc c）平衡方程）平衡方程)(22xmdxdGJdxdMtxd d）总势能）总势能dxxmdxdxdGJxltlx002)(2C C0 0问题问题1

5、 1、基本方程、基本方程第六章第六章 杆系结构的有限单元法杆系结构的有限单元法参考拉压杆单元的分析过程，对扭转杆单元进行分参考拉压杆单元的分析过程，对扭转杆单元进行分析，并写出析，并写出2 2结点杆单元的刚度矩阵结点杆单元的刚度矩阵2 2、单元分析、单元分析第六章第六章 杆系结构的有限单元法杆系结构的有限单元法图示等截面梁，其中图示等截面梁，其中q q(x(x)是横向作用的分布荷载，是横向作用的分布荷载，P P1 1；MM1 1 等是横向等是横向集中荷载和弯矩集中荷载和弯矩1 1、计算假定、计算假定变形前垂直梁中心线的截面，变形后仍保持为平面，变形前垂直梁中心线的截面，变形后仍保持为平面，且仍

6、垂直于中心线克希霍夫假定且仍垂直于中心线克希霍夫假定三维问题简化为一维问题，基本未知量只有中线的挠度三维问题简化为一维问题，基本未知量只有中线的挠度w w第六章第六章 杆系结构的有限单元法杆系结构的有限单元法2 2、基本方程、基本方程a a）几何方程）几何方程22dxwdb b）物理方程）物理方程22dxwdEIEIMc c）平衡方程）平衡方程d d）总势能）总势能kkkjjjlldxdwMwPwdxxqdxdxwdEI00222)(2,33dxwdEIdxdMQ)(44xqdxwdEIdxdQC C1 1问题问题第六章第六章 杆系结构的有限单元法杆系结构的有限单元法3 3、单元分析、单元分析

7、2 2个结点，个结点，4 4个自由度，故在自然坐标下设：个自由度，故在自然坐标下设：a a）结点位移）结点位移)2,1(,2211idxdwwwiiTeb b）广义坐标法建立形函数）广义坐标法建立形函数342321aaaaw)32(12432aaallddwdxdw则：则：10,1lxx其中：第六章第六章 杆系结构的有限单元法杆系结构的有限单元法3 3、单元分析、单元分析b b）广义坐标法建立形函数）广义坐标法建立形函数将结点坐标及位移代入上面三式将结点坐标及位移代入上面三式:eiiiiziiiiNNNwNw2121lNlNNNzz232322321321223231 2211zzNNNNN

8、形形函数函数形函数矩阵形函数矩阵第六章第六章 杆系结构的有限单元法杆系结构的有限单元法3 3、单元分析、单元分析c c）单元平衡方程）单元平衡方程将位移函数带入总势能方程将位移函数带入总势能方程0 eeeRk 其中：其中：kkkjjjlldxdwMwPwdxxqdxdxwdEI00222)(2并对势能取驻值得：并对势能取驻值得：1022223ddNddNdlEIkTe第六章第六章 杆系结构的有限单元法杆系结构的有限单元法3 3、单元分析、单元分析c c）单元平衡方程）单元平衡方程0 eeeRk 1022223ddNddNdlEIkTe22234612264612612llllllllEI称对

9、lMddNPNdqlNRkkkkTjjjTTe10第六章第六章 杆系结构的有限单元法杆系结构的有限单元法1 1、平面杆系结构的特点、平面杆系结构的特点1 1）杆件和荷载都处于同一面内）杆件和荷载都处于同一面内3 3）杆件之间可以是铰接也可以是刚接）杆件之间可以是铰接也可以是刚接2 2）有较明确的传力路径）有较明确的传力路径第六章第六章 杆系结构的有限单元法杆系结构的有限单元法2 2、局部坐标系下的平面杆单元、局部坐标系下的平面杆单元1 1）结点位移轴向弯曲）结点位移轴向弯曲2 2）单元刚度方程轴向弯曲）单元刚度方程轴向弯曲 Tewuwu222111 eijekk22)2,1,(,00jikkk

10、bijaijeij第六章第六章 杆系结构的有限单元法杆系结构的有限单元法2 2、局部坐标系下的平面杆单元、局部坐标系下的平面杆单元)2,1,(,00jikkkbijaijeij lEIlEIlEIlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAke46120026046120612000023223231111lEAkea 22234612264612612llllllllEIkeb称对第六章第六章 杆系结构的有限单元法杆系结构的有限单元法3 3、平面杆单元的坐标变换、平面杆单元的坐标变换sin),cos(cos),cos(zxlxxlz xxx则则x x轴的方向余弦为：轴的方向余

11、弦为：设局部坐标设局部坐标 轴和总体坐标轴和总体坐标 轴间的夹角为轴间的夹角为xxz z轴的方向余弦为：轴的方向余弦为：cos),cos(sin),cos(zxlxzlz zx z两种坐标系间，线位移的转换关系为：两种坐标系间，线位移的转换关系为：)2,1(iwlulwwluluiz zix ziiz xixxi转动位移的转换关系为：转动位移的转换关系为：)2,1(iii第六章第六章 杆系结构的有限单元法杆系结构的有限单元法3 3、平面杆单元的坐标变换、平面杆单元的坐标变换两种坐标系间，位移的转换关系为：两种坐标系间，位移的转换关系为：)2,1(10000iwullllwuiiiiz zxzz

12、 xxxiiii diagT 所以单元坐标转换矩阵为：所以单元坐标转换矩阵为：1000cossin0sincos10000z zxzzxxxllll第六章第六章 杆系结构的有限单元法杆系结构的有限单元法4 4、整体坐标系下的单元平衡方程、整体坐标系下的单元平衡方程其中：其中：0eeeRk TkTkeTe eTeRTR第六章第六章 杆系结构的有限单元法杆系结构的有限单元法5 5、内部铰结点的处理、内部铰结点的处理a)a)凝聚自由度法凝聚自由度法单元在参加系统集成前，在自身局部坐标单元在参加系统集成前，在自身局部坐标系内的平衡方程可表示为：系内的平衡方程可表示为：ecececcccRRkkkk00

13、000其中其中 是单元中需要凝聚掉的自由度，是单元中需要凝聚掉的自由度，是单元中需要保留，也即将是单元中需要保留，也即将参加总刚集成的自由度。参加总刚集成的自由度。0 c第六章第六章 杆系结构的有限单元法杆系结构的有限单元法5 5、内部铰结点的处理、内部铰结点的处理a)a)凝聚自由度法凝聚自由度法 001ccccckRk从方程的第二式可得：从方程的第二式可得：代回第一式可得：代回第一式可得：*00*Rk其中：其中：0100*cccckkkkk ccccRkkRR100*0第六章第六章 杆系结构的有限单元法杆系结构的有限单元法5 5、内部铰结点的处理、内部铰结点的处理a)a)凝聚自由度法凝聚自由

14、度法对于图中对于图中2 2号杆，凝聚后的单刚：号杆，凝聚后的单刚：00300030303033000032323*lEIlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAk第六章第六章 杆系结构的有限单元法杆系结构的有限单元法5 5、内部铰结点的处理、内部铰结点的处理a)a)凝聚自由度法凝聚自由度法两端铰接杆，凝聚后的单刚：两端铰接杆，凝聚后的单刚：00000000000000000000000000000000*lEAlEAlEAlEAk第六章第六章 杆系结构的有限单元法杆系结构的有限单元法5 5、内部铰结点的处理、内部铰结点的处理b)b)主从结点法主从结点法第六章第六章 杆系结构的有限单元法

15、杆系结构的有限单元法1 1、局部坐标系下的空间杆单元、局部坐标系下的空间杆单元1 1）结点位移轴向剪切弯曲扭转）结点位移轴向剪切弯曲扭转)2,1(iwvuziyixiiiiiTe21第六章第六章 杆系结构的有限单元法杆系结构的有限单元法1 1、局部坐标系下的空间杆单元、局部坐标系下的空间杆单元2 2）结点力轴向剪切弯曲扭转）结点力轴向剪切弯曲扭转)2,1(iMMMNNNRziyixiziyixiiTeRRR21第六章第六章 杆系结构的有限单元法杆系结构的有限单元法1 1、局部坐标系下的空间杆单元、局部坐标系下的空间杆单元3 3）单元刚度方程）单元刚度方程轴力单元绕轴力单元绕y y轴弯曲单元绕轴

16、弯曲单元绕z z轴弯曲单元绕轴弯曲单元绕x x轴扭转单元轴扭转单元3 3）单单元元刚刚度度方方程程 lEIlEIlGJlEIlEIlEIlEIlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlGJlGJlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAkzyyyzzzzzyyyyyyyzzzze40400060126000120000020006040206000400000000601200060126000120600012000000000023232223232323第六章第六章 杆系结构的有限单元法杆系结构的有限单元法2 2、空间杆单元的坐标转换、空间杆单元的坐标转换 diagT

17、 z zyzxzzyyyxyzxyxxxlllllllll作业：1.1.参考拉压杆单元的分析过程，对扭转杆单元进行分析，参考拉压杆单元的分析过程，对扭转杆单元进行分析，并写出并写出2 2结点扭转杆单元的刚度矩阵结点扭转杆单元的刚度矩阵第七章第七章 动力问题的有限单元法动力问题的有限单元法第七章第七章 动力问题的有限单元法动力问题的有限单元法1 1）动荷载为零，由初始位移和初始速度引起的结构振动称作）动荷载为零，由初始位移和初始速度引起的结构振动称作自由自由振动振动。2 2）由动荷载引起的结构振动称作）由动荷载引起的结构振动称作受迫振动受迫振动1 1）结构的）结构的自振特性分析（自振特性分析（无

18、阻尼自由振动分析无阻尼自由振动分析)，寻求结构的固有频，寻求结构的固有频率和主振型率和主振型2 2）结构的）结构的动力响应分析（动力响应分析（受迫振动分析受迫振动分析），寻求结构的动内力、动，寻求结构的动内力、动位移的大小及其变化规律。位移的大小及其变化规律。第七章第七章 动力问题的有限单元法动力问题的有限单元法1 1）结构离散）结构离散 与静力问题相同，与静力问题相同，基本未知量基本未知量仍为独立的结点位移仍为独立的结点位移 ，但，但 是时间是时间t t的函数，同时是确定结构全部质量位置的参数，故又的函数，同时是确定结构全部质量位置的参数，故又称作动力自由度。称作动力自由度。2 2）位移模式

19、）位移模式 单元的动位移采用与静力有限元相同的单元的动位移采用与静力有限元相同的位移模式位移模式，且假设形函，且假设形函数与时间无关。单元的数与时间无关。单元的惯性力惯性力和和阻尼力阻尼力视作单元体积力和附加应视作单元体积力和附加应力。力。第七章第七章 动力问题的有限单元法动力问题的有限单元法1 1）惯性力）惯性力达朗贝尔原理：惯性力大小与质点的加速度成正比，方向与加速达朗贝尔原理：惯性力大小与质点的加速度成正比，方向与加速度方向相反。设单元材料密度为度方向相反。设单元材料密度为，则单元内单位体积的惯性力，则单元内单位体积的惯性力为：为：NfFm2 2）阻尼力）阻尼力粘性阻尼：结构周围粘性介质

20、产生的阻尼粘性阻尼：结构周围粘性介质产生的阻尼材料阻尼：结构材料内部摩擦产生的阻尼材料阻尼：结构材料内部摩擦产生的阻尼第七章第七章 动力问题的有限单元法动力问题的有限单元法2 2）阻尼力）阻尼力假定假定粘性阻尼力粘性阻尼力的大小与质点运动速度成正比，方向与速度方向的大小与质点运动速度成正比，方向与速度方向相反，粘性阻尼系数为相反，粘性阻尼系数为 1 1,则单位体积内的粘性阻尼力为：则单位体积内的粘性阻尼力为：NfFc11假定假定材料阻尼力材料阻尼力的大小与应变速度成正比，方向与应力方向一致，的大小与应变速度成正比，方向与应力方向一致，材料阻尼系数为材料阻尼系数为 2 2,则单位体积内的材料阻尼

21、力为：则单位体积内的材料阻尼力为：BDDc22第七章第七章 动力问题的有限单元法动力问题的有限单元法3 3）单元运动方程的建立）单元运动方程的建立动力学虚功原理：动力学虚功原理：fdSFdVfffFdVDSTsTVVTV 12外变WW 将将 NfBDBNf,带入上式，考虑虚位移的任意性，并移项后得：带入上式，考虑虚位移的任意性，并移项后得：第七章第七章 动力问题的有限单元法动力问题的有限单元法3 3）单元运动方程的建立）单元运动方程的建立 dSFNdVFNdVBDBdVBDBdVNNdVNNSTsTVVTTVTVTVVT 21即：即：eeeeeeetFKCM)(式中：式中：dVNNMVTe单元

22、运动方程单元运动方程单元质量矩阵单元质量矩阵第七章第七章 动力问题的有限单元法动力问题的有限单元法3 3）单元运动方程的建立）单元运动方程的建立 eeeeeeetFKCM)(式中：式中：dVNNMVTe单元阻尼矩阵单元阻尼矩阵 dVBDBdVNNCTVTVe21单元质量矩阵单元质量矩阵 dVBDBKTVe单元刚度矩阵单元刚度矩阵 dSFNdVFNtFSTsTVVTe)(单元等效结点荷载向量单元等效结点荷载向量第七章第七章 动力问题的有限单元法动力问题的有限单元法按照与静力有限元相同的方法，将所有单元的运动方程进行集成，按照与静力有限元相同的方法，将所有单元的运动方程进行集成，得结构的总体运动方

23、程：得结构的总体运动方程：)(tFKCM 1 1）动力方程比静力方程要多建立一个质量矩阵和一个阻尼矩阵。）动力方程比静力方程要多建立一个质量矩阵和一个阻尼矩阵。2 2）静力方程为线性代数方程组，动力方程为关于时间的二阶常微分方程组。）静力方程为线性代数方程组，动力方程为关于时间的二阶常微分方程组。3 3）静力问题要寻求线性代数方程组的有效解法，动力问题要寻求二阶常微分）静力问题要寻求线性代数方程组的有效解法，动力问题要寻求二阶常微分方程组的有效解法。方程组的有效解法。第七章第七章 动力问题的有限单元法动力问题的有限单元法 dVNNMVTe采用与建立单元刚度矩阵采用与建立单元刚度矩阵相同的形函数

24、相同的形函数，故称作单元一致质量矩阵。由此集成，故称作单元一致质量矩阵。由此集成的总体质量矩阵，称作总体一致质量矩阵。的总体质量矩阵，称作总体一致质量矩阵。1 1）平面杆单元）平面杆单元22242215600140313041354022156007000140420lllllllAlMe第七章第七章 动力问题的有限单元法动力问题的有限单元法2 2）空间杆单元）空间杆单元22222240400140022015622000156000001403000130403013000400700000014001305400022015613000540220001560000070000001404

25、20llAIlllllllllAIlAIlllllAlMe dVNNMVTe第七章第七章 动力问题的有限单元法动力问题的有限单元法3 3）平面常应变单元）平面常应变单元20210201021010201010212AtMe dVNNMVTe第七章第七章 动力问题的有限单元法动力问题的有限单元法将分布质量按某种原则换算成结点集中质量，按单元动力自由度的顺序放入相将分布质量按某种原则换算成结点集中质量，按单元动力自由度的顺序放入相应位置形成的单元质量矩阵，称作单元集中质量矩阵。应位置形成的单元质量矩阵，称作单元集中质量矩阵。当质量均匀分布时，常按照结点所分担的线段、面积和体积确定该结点集中质当质量

26、均匀分布时，常按照结点所分担的线段、面积和体积确定该结点集中质量的大小。量的大小。因为假设集中质量集中成质点，故没有转动惯量，与转动自由度相对应的质量因为假设集中质量集中成质点，故没有转动惯量，与转动自由度相对应的质量为零。为零。1 1）平面杆单元）平面杆单元0010010000000010000012AlMe第七章第七章 动力问题的有限单元法动力问题的有限单元法2 2）平面常应变单元）平面常应变单元1010010001000010000013AtMe第七章第七章 动力问题的有限单元法动力问题的有限单元法1 1）单元质量矩阵和总体质量矩阵均为）单元质量矩阵和总体质量矩阵均为对称矩阵对称矩阵。如

27、果是一致质量。如果是一致质量矩阵，则是矩阵，则是正定正定的，如果是集中质量矩阵，则至少是的，如果是集中质量矩阵，则至少是半正定半正定的。的。2 2）单元一致质量矩阵为满阵，数值计算费时，总体一致质量矩阵）单元一致质量矩阵为满阵，数值计算费时，总体一致质量矩阵具有总体刚度矩阵同样的带宽。集中质量矩阵为对角阵，占用内具有总体刚度矩阵同样的带宽。集中质量矩阵为对角阵，占用内存较少，计算简单，节约机时。存较少，计算简单，节约机时。3 3）用一致质量矩阵算得的频率是结构真实频率的上限，用集中质）用一致质量矩阵算得的频率是结构真实频率的上限，用集中质量矩阵算得的频率是结构真实频率的下限，但两者相差不大。量

28、矩阵算得的频率是结构真实频率的下限，但两者相差不大。工程上采用集中质量矩阵计算的情况居多工程上采用集中质量矩阵计算的情况居多第七章第七章 动力问题的有限单元法动力问题的有限单元法例：分别采用一致质量矩阵和集中质量矩阵有限元法分析等截面例：分别采用一致质量矩阵和集中质量矩阵有限元法分析等截面悬臂梁的自振频率。悬臂梁的自振频率。将长度为将长度为L L的悬臂梁用的悬臂梁用N N个长度相等的单元离散，为分析单元数量的个长度相等的单元离散，为分析单元数量的影响，分别取影响，分别取N=1,2,3,4,5N=1,2,3,4,5对于一致质量矩阵，每个结点有两个（动力）自由度，而对于集对于一致质量矩阵，每个结点

29、有两个（动力）自由度，而对于集中质量矩阵一个结点只有一个动力自由度。中质量矩阵一个结点只有一个动力自由度。第七章第七章 动力问题的有限单元法动力问题的有限单元法从例题可以看出：从例题可以看出：1 1）一致质量矩阵法的上限收敛性和集中质量矩阵法的下限收敛性。）一致质量矩阵法的上限收敛性和集中质量矩阵法的下限收敛性。2 2）增加单元的数量可以很快提高分析精度。）增加单元的数量可以很快提高分析精度。3 3）有限元法分析低阶自振频率的精度高于高阶频率。）有限元法分析低阶自振频率的精度高于高阶频率。4 4）对此问题，虽然同等条件下一致质量矩阵法的精度高于集中质量矩）对此问题，虽然同等条件下一致质量矩阵法

30、的精度高于集中质量矩阵，但其计算量是后者的两倍。阵，但其计算量是后者的两倍。第七章第七章 动力问题的有限单元法动力问题的有限单元法在运动方程的推导过程中已得到单元的阻尼矩阵为：在运动方程的推导过程中已得到单元的阻尼矩阵为：dVBDBdVNNCTVTVe21式中右侧第一项是假定阻尼力正比于质点运动速度的结果，为粘性式中右侧第一项是假定阻尼力正比于质点运动速度的结果，为粘性阻尼，如果单元阻尼系数阻尼，如果单元阻尼系数1 1,为常数，则此项比例于单元质量矩阵：为常数，则此项比例于单元质量矩阵：eTVevMdVNNC11第七章第七章 动力问题的有限单元法动力问题的有限单元法在运动方程的推导过程中已得到

31、单元的阻尼矩阵为：在运动方程的推导过程中已得到单元的阻尼矩阵为：dVBDBdVNNCTVTVe21式中右侧第二项是假定阻尼力正比于应变速度的结果，为材料阻尼，式中右侧第二项是假定阻尼力正比于应变速度的结果，为材料阻尼，如果单元阻尼系数如果单元阻尼系数2 2为常数，则此项比例于单元刚度矩阵：为常数，则此项比例于单元刚度矩阵：eTVesKdVBDBC22所以：所以：eeeseveKMCCC21第七章第七章 动力问题的有限单元法动力问题的有限单元法单元阻尼矩阵：单元阻尼矩阵：eeeseveKMCCC21由于由于1 1、2 2难以确定，所以常采用下面的公式确定总体阻尼矩阵：难以确定，所以常采用下面的公

32、式确定总体阻尼矩阵：KMC瑞利阻尼瑞利阻尼式中：式中：2222)(2)(2ijjiijijijjiji振型的阻尼比和第第为相应于固有频率，和第分别为结构的第jijijiji,第七章第七章 动力问题的有限单元法动力问题的有限单元法无阻尼自由振动方程为：无阻尼自由振动方程为：OKM 是一个常系数齐次线性常微分方程组，其解的形式为：是一个常系数齐次线性常微分方程组，其解的形式为：tsin0带入自由振动方程得：带入自由振动方程得：OMK02上式是齐次线性方程组，有非零解的条件是：上式是齐次线性方程组，有非零解的条件是：02MK第七章第七章 动力问题的有限单元法动力问题的有限单元法如果如果KK和和MM的

33、阶数是的阶数是n n，则，则 02MK是是 的的n n次方程，次方程，2称其为称其为自由振动特征方程自由振动特征方程，通过它可解出，通过它可解出n n个特征值，将这些特征值个特征值，将这些特征值 OMK02再带入再带入可解出可解出n n个特征向量个特征向量0第第 i i 个个 、合称第合称第i i个特征对，个特征对，为结构的第为结构的第i i个固有频率个固有频率,ii0i 为结构的第为结构的第i i个振型个振型i0第七章第七章 动力问题的有限单元法动力问题的有限单元法将将 按从小到大的顺序排列：按从小到大的顺序排列：in21001其中其中 称作基本频率，相应的振型称作基本频率，相应的振型 称作

34、基本振型。称作基本振型。1对于上式可以采用广义雅克比法，拟迭代法、子空间迭代法等数值方法对于上式可以采用广义雅克比法，拟迭代法、子空间迭代法等数值方法直接求出特征值和相应的特征向量。直接求出特征值和相应的特征向量。OMK02式式在数学上称为广义特征值问题，常记作：在数学上称为广义特征值问题，常记作：020MK第七章第七章 动力问题的有限单元法动力问题的有限单元法1 1）当）当KK和和MM是实系数对称矩阵时，其特征值一定是实数，且特征是实系数对称矩阵时，其特征值一定是实数，且特征向量也是实向量。向量也是实向量。2 2）如果）如果KK为正定矩阵，则特征值一定是正实数，如果为正定矩阵，则特征值一定是

35、正实数，如果KK为半正定，为半正定，则特征值为非负实数，且特征值为零的个数等于结构刚体位移自由度则特征值为非负实数，且特征值为零的个数等于结构刚体位移自由度的个数。如果的个数。如果集中质量集中质量矩阵为半正定，其对角线上有矩阵为半正定，其对角线上有r r个零元素，则个零元素，则n n个特征值的最后个特征值的最后r r个为无穷大。个为无穷大。3 3）振型的规格化（三种方法）：）振型的规格化（三种方法）：a a）以第一个元素为）以第一个元素为1 1规格化；规格化；b b）以振型中的最大元素为）以振型中的最大元素为1 1规格化；规格化；第七章第七章 动力问题的有限单元法动力问题的有限单元法3 3）振

36、型的规格化（三种方法）：）振型的规格化（三种方法）：a a）以第一个元素为）以第一个元素为1 1规格化；规格化；b b）以振型中的最大元素为）以振型中的最大元素为1 1规格化；规格化；c c）以矩阵）以矩阵MM、KK进行规格化，使振型满足：进行规格化，使振型满足：1iTiM 2iiTiK这时振型向量的各个元素应除以这时振型向量的各个元素应除以 iTiM第七章第七章 动力问题的有限单元法动力问题的有限单元法4 4）振型的正交性）振型的正交性广义特征方程的不同特征值所对应的特征向量广义特征方程的不同特征值所对应的特征向量具有正交性。具有正交性。对于按第三种方法规格化了的特征向量，其关于质量矩阵和刚

37、度矩对于按第三种方法规格化了的特征向量，其关于质量矩阵和刚度矩阵的正交性，可表达为：阵的正交性，可表达为：ijjTiM ijijTiK2jijiij10第七章第七章 动力问题的有限单元法动力问题的有限单元法4 4）振型的正交性）振型的正交性设设 IMKTT)3,2,1()(2nidiagi n21则特征向量的正交性也可表示为：则特征向量的正交性也可表示为：第七章第七章 动力问题的有限单元法动力问题的有限单元法1 1）广义雅克比法）广义雅克比法基本思路：根据特征向量的性质基本思路：根据特征向量的性质 IMKTT广义雅克比法就是用变换的方法来构造广义雅克比法就是用变换的方法来构造 ，具体就是寻求一

38、系列变换，具体就是寻求一系列变换矩阵矩阵PPk k(k=1,2,(k=1,2,)，逐次左乘和右乘，逐次左乘和右乘KK和和MM，使其对角化，使其对角化 。找到一个找到一个 矩阵，使矩阵，使KK变换成对角矩阵，使变换成对角矩阵，使MM变换成单位矩阵，变换成单位矩阵，则则 是唯一的且为所求的特征向量矩阵。是唯一的且为所求的特征向量矩阵。第七章第七章 动力问题的有限单元法动力问题的有限单元法2 2）逆迭代法）逆迭代法a a）瑞利商的概念）瑞利商的概念 020MK在振动过程中，结构的动能在振动过程中，结构的动能T T与应变能不断相互转化，有：与应变能不断相互转化，有：无阻尼自由振动方程：无阻尼自由振动方

39、程：002max21MTT 00max21KUTmaxmaxUT因为：因为：所以：所以：00002MKTT tsin0第七章第七章 动力问题的有限单元法动力问题的有限单元法2 2）逆迭代法）逆迭代法a a）瑞利商的概念）瑞利商的概念利用瑞利商可通过振型求相应的自振频率利用瑞利商可通过振型求相应的自振频率 i对于任意的振型对于任意的振型 按前式可得：按前式可得：iTiiTiiMK2瑞利商瑞利商第七章第七章 动力问题的有限单元法动力问题的有限单元法2 2）逆迭代法）逆迭代法b b）逆迭代法的思路）逆迭代法的思路重复上面两步可得：重复上面两步可得：假定向量假定向量 ，则有：，则有：1x 11xMy

40、020MK利用利用 12yxK求得求得 2x ),2,1(1kyxKkk kkxMy第七章第七章 动力问题的有限单元法动力问题的有限单元法2 2）逆迭代法）逆迭代法b b）逆迭代法的思路）逆迭代法的思路 111111121lTllTlTTyxyxMK只要只要 不与第一振型正交，就有：不与第一振型正交，就有：1x ikxk1,再根据瑞利商，得：再根据瑞利商，得：第七章第七章 动力问题的有限单元法动力问题的有限单元法3 3）子空间迭代法）子空间迭代法1 1）瑞利里兹法概念）瑞利里兹法概念在在n n维空间的维空间的n n个特征向量中，选取前个特征向量中，选取前s s（sn)sn)个向量，这个向量，这

41、s s个特征向量个特征向量所定义的空间称为原所定义的空间称为原n n维空间的子空间维空间的子空间设对前设对前s s阶振型选取阶振型选取s s个假设的规格化向量个假设的规格化向量 ),2,1(sjj令振型为这令振型为这s s个向量的线性组合，即个向量的线性组合，即 aaaass2211第七章第七章 动力问题的有限单元法动力问题的有限单元法3 3）子空间迭代法）子空间迭代法1 1）瑞利里兹法概念）瑞利里兹法概念 aaaass2211 sns21式中：式中：形状矩阵形状矩阵 Tssaaaa121广义坐标向量广义坐标向量 将将 带入瑞利商表达式：带入瑞利商表达式：第七章第七章 动力问题的有限单元法动力

42、问题的有限单元法3 3）子空间迭代法）子空间迭代法1 1）瑞利里兹法概念）瑞利里兹法概念式中：式中：aMaaKaaMaaKaMKTTTTTTTT KKTss MMTss广义刚度矩阵广义刚度矩阵 广义质量矩阵广义质量矩阵 第七章第七章 动力问题的有限单元法动力问题的有限单元法3 3）子空间迭代法）子空间迭代法1 1）瑞利里兹法概念）瑞利里兹法概念得到：得到：0aMaMaaKaaKTT瑞利商的性质：若瑞利商的性质：若 对应体系的真实振型，此时，瑞利商取对应体系的真实振型，此时，瑞利商取极值，即：极值，即：a 0a或：或：aMaK第七章第七章 动力问题的有限单元法动力问题的有限单元法3 3）子空间迭

43、代法）子空间迭代法1 1）瑞利里兹法概念）瑞利里兹法概念求解上式得到原问题的前求解上式得到原问题的前s s个特征值的近似解，通过解得的第个特征值的近似解，通过解得的第i i个个特征向量特征向量 ，可得到原体系第，可得到原体系第i i个振型的近似解：个振型的近似解：式式 aMaK仍为广义特征值问题，仍为广义特征值问题，由于矩阵只有由于矩阵只有sxssxs阶，求解计算量大为减少。阶，求解计算量大为减少。ia iia第七章第七章 动力问题的有限单元法动力问题的有限单元法3 3）子空间迭代法）子空间迭代法1 1）瑞利里兹法概念）瑞利里兹法概念 sns21于是得到：于是得到：原体系前原体系前s s个振型

44、构成的振型矩阵个振型构成的振型矩阵 子空间上的特征向量矩阵子空间上的特征向量矩阵 式中：式中：A sssaaaA21该法计算结果的好坏，取决于假设的该法计算结果的好坏，取决于假设的s s个振型的正确程度，经验性强，个振型的正确程度，经验性强，且无法估计解的精度，所以需改进。且无法估计解的精度，所以需改进。第七章第七章 动力问题的有限单元法动力问题的有限单元法3 3）子空间迭代法）子空间迭代法2 2）子空间迭代法的思路）子空间迭代法的思路将逆迭代法与瑞利里兹法相结合将逆迭代法与瑞利里兹法相结合 子空间迭代法子空间迭代法 将瑞利里兹法得到的将瑞利里兹法得到的nxsnxs阶近似振型阶近似振型 作为新

45、的形状矩阵作为新的形状矩阵 ，再，再用瑞利里兹法求解，求得的用瑞利里兹法求解，求得的 比原来的比原来的 含有较强的低阶振型成含有较强的低阶振型成分，高阶振型成分已相对较小，再用此新分，高阶振型成分已相对较小，再用此新 作为形状矩阵作为形状矩阵 ，重复，重复瑞利里兹法过程，如此循环，瑞利里兹法过程，如此循环，将收敛于最低阶的将收敛于最低阶的nxsnxs阶振型矩阶振型矩阵阵 。第七章第七章 动力问题的有限单元法动力问题的有限单元法 )(tFKCM 结构的动力响应分析就是求系统运动方程结构的动力响应分析就是求系统运动方程满足初始条件满足初始条件 的解（位移、速度的解（位移、速度加速度、动内力等）加速

46、度、动内力等）)0()0(tt，1 1、振型叠加法振型分解法、振型叠加法振型分解法 基本思想是通过坐标变换，将一个多自由度体系的基本思想是通过坐标变换，将一个多自由度体系的n n个耦合运动方程，个耦合运动方程，分解为分解为n n个非耦合运动方程，问题的解为个非耦合运动方程，问题的解为n n个非耦合运动方程解的线性组合。个非耦合运动方程解的线性组合。需先进行振型分析，只适用于线性问题。需先进行振型分析，只适用于线性问题。第七章第七章 动力问题的有限单元法动力问题的有限单元法1 1、振型叠加法振型分解法、振型叠加法振型分解法2 2、直接积分法逐步积分法、直接积分法逐步积分法基本思想：对时间离散，不

47、要求任何时刻都满足运动方程，只要求在时间基本思想：对时间离散，不要求任何时刻都满足运动方程，只要求在时间离散点上满足运动方程；假设在时间间隔离散点上满足运动方程；假设在时间间隔 内位移、速度和加速度的变内位移、速度和加速度的变化规律及它们之间的关系；于是可由化规律及它们之间的关系；于是可由t=0t=0时刻的状态向量，计算时刻的状态向量，计算t=0+t=0+时时刻的状态向量，进而计算刻的状态向量，进而计算t=t+t=t+时刻的状态向量，直至时刻的状态向量，直至t=Tt=T时刻终止，这时刻终止，这样便可得到动力响应的全过程。样便可得到动力响应的全过程。ttt根据对时间间隔根据对时间间隔 内位移、速

48、度和加速度的变化规律及其间关系假设的内位移、速度和加速度的变化规律及其间关系假设的不同，得到不同的直接积分法，常用的有：线性加速度法、不同，得到不同的直接积分法，常用的有：线性加速度法、Wilson-Wilson-法、法、NewmarkNewmark法法t第七章第七章 动力问题的有限单元法动力问题的有限单元法假设在时间间隔假设在时间间隔 内，加速度内，加速度呈线性变化，即呈线性变化，即t )0(ttttttt 对上式积分得到：对上式积分得到：ttttttt 22对上式积分得到：对上式积分得到：tttttttt 6232第七章第七章 动力问题的有限单元法动力问题的有限单元法当当 时，有：时，有：

49、t由上面两式可求得由上面两式可求得 时刻的速度、加速度、位移与时刻的速度、加速度、位移与t t时刻状态向量的时刻状态向量的关系：关系：tttttttt 22 tttttttttt 6322tt ttttttttt 2662 ttttttttt 223第七章第七章 动力问题的有限单元法动力问题的有限单元法可由可由 时刻的运动方程求得：时刻的运动方程求得：tt将将 时刻的速度、加速度表达式代入上式，得：时刻的速度、加速度表达式代入上式，得：tt tt ttttttttFKCM ttttFK式中：式中：CtMtKK362 ttttttttttttCttMFF 2232662第七章第七章 动力问题的有

50、限单元法动力问题的有限单元法若每个步长若每个步长 相等，则相等，则为常量，只要分解一次，以后每次计算只需回代。为常量，只要分解一次，以后每次计算只需回代。CtMtKKtt362这样，由已知的这样，由已知的t t时刻的状态向量和时刻的状态向量和 时刻荷载向量，便可求得时刻荷载向量，便可求得 时刻时刻的状态向量，重复该过程，便可求得动力响应全过程。的状态向量，重复该过程，便可求得动力响应全过程。ttttt线性加速度法是线性加速度法是条件稳定条件稳定算法，稳定条件为：算法，稳定条件为：T T1 1为离散后结构的最小周期，为离散后结构的最小周期，16151Tt第七章第七章 动力问题的有限单元法动力问题