第十一章-动量矩定理x-理论力学课件.ppt

1、 第十一章第十一章 动量矩定理动量矩定理第一节第一节 质点系的动量矩质点系的动量矩 第二节第二节 质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理第三节第三节 刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程第四节第四节 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程第一节 质点系的动量矩第一节第一节 质点系的动量矩质点系的动量矩Lrvoiiiim 一、质点系的动量矩一、质点系的动量矩设质点系由设质点系由n个质点组成，个质点组成，任取固定点任取固定点。任取一质点任取一质点Mi i的质量为的质量为mi i，速度为，速度为vi i，对，对O点点的矢径为的矢径为ri i，则，则i i点的动量点的动量为为mivi i，对，对O

2、点的动量矩点的动量矩LOiOi定定义为义为Mnm1v1mnvnijkyxzLOimiviriMiM1动量矩是矢量，它垂直于动量矩是矢量，它垂直于ri与与mivi 组成的平面。组成的平面。第一节第一节 质点系的动量矩质点系的动量矩质点系中所有各质点质点系中所有各质点对任一轴的动量矩之和，对任一轴的动量矩之和，称为称为质点系对该轴的动量质点系对该轴的动量矩矩，即，即以以O为原点作直角坐标系为原点作直角坐标系Oxyz。质点。质点Mi的动量对的动量对z轴的轴的动量矩动量矩Lzi定义为定义为mivi i在在xy平面平面上的投影对上的投影对O点的矩。点的矩。zizLL质点系对质点系对O点的动量矩点的动量矩

3、LO O 定义为定义为Mnm1v1mnvnijkyxzLOimiviriMiM1iiiOiOmvrLL第一节第一节 质点系的动量矩质点系的动量矩与力对于一点的矩和对于经过该点与力对于一点的矩和对于经过该点的任一轴的矩之间的关系类似，即有：的任一轴的矩之间的关系类似，即有：质点的动量对于一点的矩在经过该点的质点的动量对于一点的矩在经过该点的任一轴上的投影就等于质点的动量对于任一轴上的投影就等于质点的动量对于该轴的矩。该轴的矩。zMvvOzzmMm 第一节第一节 质点系的动量矩质点系的动量矩二、定轴转动刚体的动量矩二、定轴转动刚体的动量矩对对z 轴轴的动量矩为的动量矩为定轴转动刚体对于转动轴的动量

4、矩，等于定轴转动刚体对于转动轴的动量矩，等于刚体对于转动轴的转动惯量与角速度之乘积。刚体对于转动轴的转动惯量与角速度之乘积。22iiiizizmmLL因因 是刚体对是刚体对z轴的转动惯轴的转动惯量，故有量，故有ziiJm2zzJL 对于如图所示的定轴转动刚对于如图所示的定轴转动刚体，考虑任一质点体，考虑任一质点Mi，其对于其对于z轴轴的动量矩为的动量矩为2ziiiiiiLmvm 第一节第一节 质点系的动量矩质点系的动量矩第二节 质点系的动量矩定理第二节第二节 质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理一、质点系对固定点的动量矩定理一、质点系对固定点的动量矩定理0LLrvOiiiimLrvrvvrvv

5、raOiiiiiiiiiiiiiiiddmdtdtddmmdtdtmm第二节第二节 质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理因因vi i与与mivi i同方向，故上式中的同方向，故上式中的vi imivi i=0；而；而miai i=Fi i=Fi iE E+Fi iI I，Fi i为作用于质点为作用于质点Mi上的所有力的上的所有力的合力，分为外力合力，分为外力Fi iE E和内力和内力Fi iI I，故有，故有LrFrFMMEIOiiiiEIOiOiddt上式中上式中MOiOiE E为作用质点系的所有外力对于为作用质点系的所有外力对于O点之矩的矢量和；点之矩的矢量和；MOiOiI I为质点系的内

6、力对于为质点系的内力对于O点点之矩的矢量和。之矩的矢量和。第二节第二节 质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数，质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的所有外力对于同一点之矩的矢量等于作用于质点系的所有外力对于同一点之矩的矢量和和。这就是质点系对任固定点这就是质点系对任固定点O 的的动量矩定理。动量矩定理。由于内力总是成对出现的，所以它们对于任一由于内力总是成对出现的，所以它们对于任一点的矩之和必等于零，即点的矩之和必等于零，即MOiOiI I=0=0。故有。故有EOiOdtdML(11-8)(11-8)第二节第二节 质点系的动量矩定理质点

7、系的动量矩定理质点系对任一固定轴的动量矩对时间的导数，质点系对任一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的所有外力对于同一轴的矩之和。等于作用于质点系的所有外力对于同一轴的矩之和。质点系对固定轴的动量矩定理质点系对固定轴的动量矩定理将式将式(11-8)(11-8)投影到固定坐标系投影到固定坐标系Oxyz的各轴上，的各轴上，得得EzizEyiyExixMdtdLMdtdLMdtdL(11-9)(11-9)第二节第二节 质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理LMEOOiddt2211LMOOLtEOOiLtddt上式为上式为动量矩定理的积分形式动量矩定理的积分形式，式中，式中 称为外力对称为外

8、力对O点的点的冲量矩。冲量矩。21MtEOitdtLMEOOiddt将动量矩式将动量矩式 改写为改写为2211LLMtEOOOitdt(11-10)(11-10)上式表明：上式表明：质点系对固定点质点系对固定点的动量矩在一段时间的动量矩在一段时间内的增量，等于作用于质点系的外力在同一时间内内的增量，等于作用于质点系的外力在同一时间内对对点的冲量矩之和。点的冲量矩之和。第二节第二节 质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理将式将式(11-10)(11-10)投影到固定坐标轴投影到固定坐标轴x、y、z上，得上，得dtMLLdtMLLdtMLLttEzizzttEyiyyttExixx211221122

9、112第二节第二节 质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理LMEOOiddt若若MOiE=0，则，则LO=常量常量。即，。即，如果质点如果质点系所受外力对某一固定点系所受外力对某一固定点O O的矩始终等于零，的矩始终等于零，则质点系对该点的动量矩保持为常量。则质点系对该点的动量矩保持为常量。这一结论称为这一结论称为质点系动量矩守恒定理质点系动量矩守恒定理。质点系动量矩守恒定理，质点系动量矩守恒定理，其投影形式也成立。其投影形式也成立。第二节第二节 质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理没有尾桨的没有尾桨的直升飞机是直升飞机是怎么飞起来怎么飞起来的的第二节第二节 质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理

10、人造地球卫星原来在位于人造地球卫星原来在位于离地面离地面h=600km的圆形轨道上运的圆形轨道上运行（如图行（如图11-611-6），为使其进入），为使其进入r=104km的另一圆形轨迹，须开的另一圆形轨迹，须开动火箭，使卫星在动火箭，使卫星在A点的速度于点的速度于很短时间内增加很短时间内增加0.646km/s，然，然后令其沿椭圆轨道自由飞行到后令其沿椭圆轨道自由飞行到达远地点达远地点B，再进入新的圆形轨，再进入新的圆形轨道。道。图图11-611-6第二节第二节 质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理（1 1）卫星在椭圆轨道的远地点）卫星在椭圆轨道的远地点B处时的速度处时的速度 为多少？为多少？

11、（2 2）为使卫星沿新的圆形轨道运行，当它到）为使卫星沿新的圆形轨道运行，当它到 达达B点时应如何调整其速度？太空阻力点时应如何调整其速度？太空阻力 及其它星球的影响不计，地球半径及其它星球的影响不计，地球半径 R=6370km。第二节第二节 质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理求：求：解：解：若质点运动过程中受到的力恒指向某一若质点运动过程中受到的力恒指向某一固定点，则称该力为固定点，则称该力为有心力有心力。不考虑大气阻力及。不考虑大气阻力及其它星球的影响，则卫星运行时只受地球引力的其它星球的影响，则卫星运行时只受地球引力的作用，该引力为作用，该引力为其中其中m为卫星的质量，为卫星的质量，R

12、为地球半径。为地球半径。由质点动力学方程，有由质点动力学方程，有222vRmmgRhRh22hRmgRF即即hRgRv22第二节第二节 质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理将数据代入将数据代入 ，得卫星在第一圆形轨道上运行的速度，得卫星在第一圆形轨道上运行的速度skmv/553.71所以卫星在椭圆轨道上所以卫星在椭圆轨道上A点速度为点速度为skmskmvvvAA/199.8/646.0553.71当卫星在椭圆轨道上运行时，所受的引力当卫星在椭圆轨道上运行时，所受的引力始终指向地心，为始终指向地心，为有心力有心力，所以卫星对地心，所以卫星对地心O的的动量矩保持为常量动量矩保持为常量BBAAvrv

13、r第二节第二节 质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理所以所以skmskmrvrvBAAB/715.5/10199.860063704skmskmrgRv/306.6/106370108.942322设卫星沿新的圆形轨道运行所需的速度设卫星沿新的圆形轨道运行所需的速度为为v2 2，则由，则由 式得式得第二节第二节 质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理为使卫星沿着第二个圆形轨道运行，当它为使卫星沿着第二个圆形轨道运行，当它沿椭圆轨道到达沿椭圆轨道到达B点时，应再开火箭，使其速点时，应再开火箭，使其速度有一个增量度有一个增量skmvvvBB/591.02注意注意：在式在式 中令中令h0，就得到，就得

14、到v=7.9km/s，这就是为使卫星在离地面不远处作圆，这就是为使卫星在离地面不远处作圆周运动所需的速度，称为周运动所需的速度，称为第一宇宙速度。第一宇宙速度。第二节第二节 质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理 卷扬机鼓轮重卷扬机鼓轮重W，半径为，半径为R，可绕经过鼓轮中心，可绕经过鼓轮中心的水的水平轴平轴 转动，如图转动，如图11-7所示。所示。鼓轮上绕一绳，绳的一端挂一鼓轮上绕一绳，绳的一端挂一重重P的物体。令在鼓轮上作用的物体。令在鼓轮上作用一力矩一力矩M以提升重物。以提升重物。求重物上升的加速度。鼓求重物上升的加速度。鼓轮可看作均质圆柱，绳的重量轮可看作均质圆柱，绳的重量及轮轴处的摩擦

15、都不计。及轮轴处的摩擦都不计。zO图图11-711-7第二节第二节 质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理解解:将鼓轮与重物作为一个质点系来考虑，作用将鼓轮与重物作为一个质点系来考虑，作用于该质点系的外力如图所示。于该质点系的外力如图所示。设重物上升的速度为设重物上升的速度为 ，鼓轮的角，鼓轮的角速度为速度为 ，则整个质点系对于，则整个质点系对于轴轴的动量矩为的动量矩为 vvRgPRgWLz221但但 ，所以，所以Rv RvgPWLZ22第二节第二节 质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理外力对外力对z轴的矩为轴的矩为PRMMEiz于是由动量矩定理，有于是由动量矩定理，有PRMdtdvgPWR2)

16、2(由此可得由此可得重物上升的加速度重物上升的加速度gRPWPRMdtdva)2()(2第二节第二节 质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理 水轮机受水流冲击而以匀角速绕着通过中心水轮机受水流冲击而以匀角速绕着通过中心O的铅直轴的铅直轴(垂直于图平面垂直于图平面)转动，如图所示。设总流转动，如图所示。设总流量为量为Q，单位体积水重，单位体积水重；水流入水轮机的流速为；水流入水轮机的流速为v1，离开水轮机时的流速为离开水轮机时的流速为v2，方向分别与轮缘切线成角，方向分别与轮缘切线成角及及（v1和和v2都是绝对速度）。假设水流是恒定的，都是绝对速度）。假设水流是恒定的，求水流作用于水轮机的转动力矩

17、。求水流作用于水轮机的转动力矩。第二节第二节 质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理解解:取两叶片之间的流取两叶片之间的流体作为质点系来考察。体作为质点系来考察。设在瞬时设在瞬时t，两叶片间的，两叶片间的流体为流体为ABCD(图图b），在瞬），在瞬时时tt，流体运动至，流体运动至abcd。用用Li代表这部分流体的动量代表这部分流体的动量矩，则两瞬时的动量矩之矩，则两瞬时的动量矩之差为差为)()(12abCDABabCDcdabCDABCDabcdiLLLLLLL 因为水流是恒定的，因为水流是恒定的，abCD部分水流情况没有改变，部分水流情况没有改变，所以（所以（）（），从而，从而 abCDLab

18、CDLABcdCDcdiLLL第二节第二节 质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理2221 11(coscos)iiQLtR vRvg由动量矩定理得两叶片间流体所受到的力矩为由动量矩定理得两叶片间流体所受到的力矩为1 112220lim(coscos)iiiitdLLQMRvR vdttg 动量矩分别是动量矩分别是 及及 ，取，取z 轴轴的正的正向为垂直于图平面向外，则有向为垂直于图平面向外，则有 命两叶片间的流量为命两叶片间的流量为 ，则，则ABab与与CDcd两部分两部分流体的体积都是流体的体积都是 ，质量都是，质量都是 ，而对转动轴的，而对转动轴的iQtQViitgQi111cosRvtg

19、Qi222cosRvtgQi第二节第二节 质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理全部流体所受到全部流体所受到力矩力矩为：为：力矩力矩M的反作用力矩的反作用力矩则是则是全部水流作用于全部水流作用于水轮机的转动力矩水轮机的转动力矩。1 112 221 112 22(coscos)(coscos)iiQMMRvRvgQRvRvg第二节第二节 质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理二、质点系相对于质心的动量矩定理二、质点系相对于质心的动量矩定理 取质点系的质心取质点系的质心(或随同质心平移的坐标系的轴或随同质心平移的坐标系的轴)为矩心为矩心(或矩轴或矩轴)，其动量矩定理与对于固定点，其动量矩定理与对于固定

20、点(或固定或固定轴轴)的动量矩定理具有相同的形式。的动量矩定理具有相同的形式。如图所示，选动坐标系如图所示，选动坐标系随同质心随同质心 作平移。将质点系的作平移。将质点系的运动分解为随同质心运动分解为随同质心 的平移与的平移与相对于质心的运动相对于质心的运动(即相对于动坐即相对于动坐标系标系 的运动的运动)。zyxCCCzyxC证明如下：证明如下：第二节第二节 质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理命质点命质点 的质量为的质量为 ，则质点，则质点 的动量为的动量为iMiMim 质点质点 的绝对速度为的绝对速度为 iMricivvv)(riciiimmvvv 对于固定点对于固定点 的动量矩为的动量

21、矩为 OiM)()()(riciicriciiOimmvvrrvvrL第二节第二节 质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理 整个质点系对于固定点整个质点系对于固定点的动量矩为的动量矩为)()(riciicOmvvrrLriiiriicciicicmmmmvrvrvrvrriiiriicciiccmmmmvrvrvrvr)(0,0rCriiciimmmmvvrr因为因为riiiccOmmvrvrL从而从而第二节第二节 质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理CL 称为称为质点系对于质心质点系对于质心C 的相对动量矩的相对动量矩。CCCmLvrL0(11-11)(11-11)riiiCmvrL令令将式将

22、式 代入式代入式 ，得，得第二节第二节 质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理)()()(ccccccmdtdmmdtdvrvvvr因因0pvv,vFECCCiddmmdtdt考虑到考虑到应用质点系对固定应用质点系对固定O的动量矩定理有的动量矩定理有EOiiddtLrFEiiEicEiicCccdtdmdtdFrFrFrrLvr)()(即即第二节第二节 质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理ECiCdtdML(11-12)(11-12)，即：，即：质点系对质心的动量矩对时间的导数，等于质点系对质心的动量矩对时间的导数，等于作用于该质点系所有外力对质心之矩的矢量和。作用于该质点系所有外力对质心之矩的

23、矢量和。式式 中的右边第二项中的右边第二项 是所有外力对于质心是所有外力对于质心的矩和的矩和，用，用 表示。于是，在式表示。于是，在式 中将两边的消中将两边的消去去 ，最后得，最后得EiiFr EicFrECiMEiCCCmdtdFrvr)(得到得到第二节第二节 质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理将式将式(11-12)(11-12)投影投影到随同质心平移的坐标轴到随同质心平移的坐标轴x、y、z上，得到上，得到Ez izEy iyEx ixMdtdLMdtdLMdtdL(11-13)(11-13)第二节第二节 质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理上式表明：上式表明：质点系对随同质心平移的任一轴

24、的动量质点系对随同质心平移的任一轴的动量矩对时间的导数，等于作用于该质点系的所有外力矩对时间的导数，等于作用于该质点系的所有外力对同一轴之矩的代数和。对同一轴之矩的代数和。如果如果 (或或),),则质点系对于质心则质点系对于质心(或通或通过质心的轴过质心的轴)的的动量矩守恒动量矩守恒。0MECi0Ex iM人造卫星的太阳板人造卫星的太阳板 例如装有太阳板的人造卫例如装有太阳板的人造卫星绕星绕轴转动，由于对称，引轴转动，由于对称，引力通过质心，如不计阻力，则力通过质心，如不计阻力，则外力对外力对轴的矩恒等于零，整轴的矩恒等于零，整个质点系对个质点系对轴的动量矩应保轴的动量矩应保持不变。因此，调整

25、太阳板与持不变。因此，调整太阳板与轴的夹角轴的夹角，就将改变质点，就将改变质点系对系对轴的转动惯量，卫星绕轴的转动惯量，卫星绕轴转动的角速度也随着改变。轴转动的角速度也随着改变。第二节第二节 质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理第三节 刚体定轴转动微分方程第三节第三节 刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程ziizJrmrmLii22将上式代入动量矩定理，得将上式代入动量矩定理，得EzizMJdtd这就是这就是刚体定轴转动微分方程。刚体定轴转动微分方程。在在11-111-1推得推得即即 或或(11-14)(11-14)EizzMJEizzMJ 第三节第三节 刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微

26、分方程已知刚体的转动规律，求作用在刚体上已知刚体的转动规律，求作用在刚体上的主动力矩的主动力矩；12已知作用在刚体上的主动力矩，求刚体已知作用在刚体上的主动力矩，求刚体的转动规律。的转动规律。与与质点运动微分方程质点运动微分方程的求解类似，的求解类似，刚体定轴刚体定轴转动微分方程转动微分方程也可以解决两类问题：也可以解决两类问题：第三节第三节 刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程 将一刚体悬挂于固定轴将一刚体悬挂于固定轴O上，使其在重力作用下绕悬挂上，使其在重力作用下绕悬挂轴自由摆动，这种装置称为复轴自由摆动，这种装置称为复摆（或物理摆），如图所示。摆（或物理摆），如图所示。设复摆的质量为

27、设复摆的质量为m，C为其质心，为其质心，复摆对悬挂轴的转动惯量为复摆对悬挂轴的转动惯量为JO。求复摆的运动规律。求复摆的运动规律。解：解：刚体在任一瞬时的位置可由刚体在任一瞬时的位置可由 与铅垂线的夹角与铅垂线的夹角 表示，设角表示，设角 以逆时针方向为正，则有以逆时针方向为正，则有OCsinOJmga 第三节第三节 刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程刚体作微幅摆动时，有刚体作微幅摆动时，有 ，令，令 ，上式成为，上式成为sin 20OmgaJ200 sin0Om gaJ即即此方程为复摆作微幅摆动的运动微分方程，其通解为此方程为复摆作微幅摆动的运动微分方程，其通解为0sin()At式中的

28、式中的 为振幅，为振幅，为初相角，它们都由运动初条件决定。为初相角，它们都由运动初条件决定。复摆的周期为复摆的周期为A022OJTmga第三节第三节 刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程 为了测定物体为了测定物体A对转轴对转轴z的的转动惯量，采用如图所示的装转动惯量，采用如图所示的装置。测得重物置。测得重物B由静止下落一由静止下落一段距离段距离h所需的时间所需的时间，试求物，试求物体体A对转动轴的转动惯量。对转动轴的转动惯量。鼓轮鼓轮D、滑轮滑轮C及绳子等的质及绳子等的质量以及各轴承处的摩擦都忽略量以及各轴承处的摩擦都忽略不计，并假定绳子是不可伸长不计，并假定绳子是不可伸长的。鼓轮半径为的

29、。鼓轮半径为r，重物，重物B的质的质量为量为m。第三节第三节 刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程解解:将重物将重物B与物体与物体A分开考察分开考察 作用于重物作用于重物的力有：重的力有：重力力W，Wmg；绳子张力；绳子张力F。作用于物体作用于物体与鼓轮组成的系与鼓轮组成的系统上的力有：绳子张力统上的力有：绳子张力F；物；物体体的重力及的重力及轴轴承处的约轴轴承处的约束力对束力对轴的矩都等于零，故轴的矩都等于零，故图上亦未画出。设物体图上亦未画出。设物体的角的角加速度为加速度为，物体，物体下落的加下落的加速度为速度为a，则有，则有FrrFJzFmgFWma第三节第三节 刚体定轴转动微分方程

30、刚体定轴转动微分方程上两式中消去上两式中消去F，并注意，并注意 ，就得到，就得到argJmrmraz22可见物体可见物体以匀加速下降，于是由匀加速运动公式可得以匀加速下降，于是由匀加速运动公式可得22221gJmrmrhz由此求得由此求得)12(22hgmrJz 这里求得的是物体这里求得的是物体和鼓轮和鼓轮对对轴的总转动惯轴的总转动惯量。要是鼓轮量。要是鼓轮的质量不能忽略，从上式中减去鼓的质量不能忽略，从上式中减去鼓的转动惯量，就得到物体的转动惯量，就得到物体对对轴的转动惯量。轴的转动惯量。第三节第三节 刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程第四节 刚体平面运动微分方程第四节第四节 刚体平面

31、运动微分方程刚体平面运动微分方程设刚体在平面力系设刚体在平面力系F1 1、F2 2 、Fn n 作用下作平面运动，其质心作用下作平面运动，其质心C位于平面图形位于平面图形S内，如图所示。内，如图所示。由运动学知识，由运动学知识，可将刚体的平面运可将刚体的平面运动看作随同质心的动看作随同质心的平移与绕着质心转平移与绕着质心转动的合成。动的合成。第四节第四节 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程由质心运动定理及相对于质心的动量矩定理有由质心运动定理及相对于质心的动量矩定理有LaFMCCiCidmdt投影到坐标轴上，有投影到坐标轴上，有zCxxiCyyiizdLmaFmaFMdt设刚体绕轴设刚体

32、绕轴转动的角速度为转动的角速度为，则刚体相对，则刚体相对于轴于轴的动量矩为的动量矩为(11-15)(11-15)ZZJL或简写为：或简写为：CCJL 第四节第四节 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程这就是这就是刚体平面运动微分方程。刚体平面运动微分方程。运用该方程可求解作平面运动刚体的运用该方程可求解作平面运动刚体的动力学两类问题。动力学两类问题。于是得到：于是得到：CxCxiCyCyiCCCimamxFmamyFJJM(11-16)(11-16)第四节第四节 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程 式（式（11-1511-15）在这里虽然只用来研究刚体平面运）在这里虽然只用来研究刚体

33、平面运动，事实上，动，事实上，该方程对刚体以及任意质点系的任何该方程对刚体以及任意质点系的任何运动都适用。运动都适用。例如，导弹、空间飞行器等的运动，例如，导弹、空间飞行器等的运动，都可看作随同质心的运动与相对于质心的运动两者都可看作随同质心的运动与相对于质心的运动两者合成的结果，而前者可用质心运动定理加以研究，合成的结果，而前者可用质心运动定理加以研究，后者则可用相对于质心的动量矩定理加以研究。知后者则可用相对于质心的动量矩定理加以研究。知道了质心的运动及相对于质心的运动，也就知道了道了质心的运动及相对于质心的运动，也就知道了整个系统的运动。整个系统的运动。需要说明的是：需要说明的是：1第四

34、节第四节 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程 从方程（从方程（11-1511-15）可见，如果刚体保持静止或作）可见，如果刚体保持静止或作匀速直线平移，则匀速直线平移，则 ，因，因而而 ，;如另取任一点如另取任一点为矩心，根据静力学关于力系简化为矩心，根据静力学关于力系简化的理论可知，所有各力对的理论可知，所有各力对点的矩亦必等于零，点的矩亦必等于零，即即 。这就是静力学中已导出过的空间力系。这就是静力学中已导出过的空间力系的平衡条件，可见，静力学是动力学的特殊情形。的平衡条件，可见，静力学是动力学的特殊情形。20ca0cddtL0iF0CiM0OiM第四节第四节 刚体平面运动微分方程刚

35、体平面运动微分方程 均质圆轮重均质圆轮重W，半，半径径，沿倾角为，沿倾角为的斜的斜面向下运动，如图所示。面向下运动，如图所示。设轮与斜面间的摩擦因设轮与斜面间的摩擦因数为数为f，试求轮心，试求轮心的加的加速度及斜面对于轮子的速度及斜面对于轮子的约束力。约束力。第四节第四节 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程解解:取坐标系如图所示。取坐标系如图所示。作用于轮的外力计有：重作用于轮的外力计有：重力力W，法向反力，法向反力 及摩擦及摩擦力力F。假定。假定F的方向如图所的方向如图所示，可得轮子的运动微分示，可得轮子的运动微分方程为：方程为：NF cos0 sinFRJFWFWagWCNC第四节第

36、四节 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程由式由式 可得可得cosWFN而在式而在式 及式及式 中，包含三个未知量中，包含三个未知量 及及F，所以必须有一附加条件才能求解。所以必须有一附加条件才能求解。,ca（）（）假定轮子与斜面间无滑动，这时假定轮子与斜面间无滑动，这时F是静摩擦力，是静摩擦力，大小、方向都未知，这时有大小、方向都未知，这时有RaC第四节第四节 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程下面下面分两种情况分两种情况来讨论：来讨论：于是，解方程于是，解方程 、及及 ，并以，并以 代入，得代入，得 gWRJC22sin31,sin32,sin32WFRggacF为正值，表明其方

37、向如图为正值，表明其方向如图11-1411-14所设。所设。（）（）假定轮子与斜面间有滑动，这时假定轮子与斜面间有滑动，这时是动摩擦力。是动摩擦力。因轮子与斜面接触点向下滑动，故因轮子与斜面接触点向下滑动，故F的方向的方向向上，应为向上，应为NfFF 第四节第四节 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程于是，解方程于是，解方程 、及及 ，将，将 代入，得代入，得 cosNFWcos,cos2,)cos(sinfWFRfggfac 若要判断轮子有无滑动，须视摩擦力若要判断轮子有无滑动，须视摩擦力F之值是否达之值是否达到极限值到极限值 。当当 时时,轮子只有滚动而无滑动，轮子只有滚动而无滑动，所以由式所以由式 有有NfFNfFsin31WcosfW ，即，即ftan31 ，表示摩擦力未达极限值，轮子只滚不滑；，表示摩擦力未达极限值，轮子只滚不滑；ftan31如果如果 ，表示轮子既滚且滑，则式，表示轮子既滚且滑，则式 适用。适用。ftan31第四节第四节 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程