第五章-偏微分方程的有限元法课件.ppt
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- 第五 微分方程 有限元 课件
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1、计算物理学编辑版编辑版pppt1/43第五章第五章 偏微分方程的有限元法偏微分方程的有限元法5.1 泛函与变分原理泛函与变分原理5.2 基于变分原理的有限元法基于变分原理的有限元法5.3 matlab有限元法工具箱有限元法工具箱计算物理学编辑版编辑版pppt2/43第五章第五章 偏微分方程的有限元法偏微分方程的有限元法有限元法(有限元法(FEA,Finite Element Analysis,FEM)有限元法的基本思想是用有限元法的基本思想是用较简单的问题较简单的问题代替代替复杂问复杂问题题,然后再对简单问题进行求解的数值计算方法。,然后再对简单问题进行求解的数值计算方法。有限元法将求解域看成
2、是由许多被称为有限元法将求解域看成是由许多被称为有限元有限元的小的互的小的互连子域组成,对每一单元假定一个较简单的近似解,然后推连子域组成,对每一单元假定一个较简单的近似解,然后推导求解这个域总的满足条件,从而得到问题的解。这个解不导求解这个域总的满足条件,从而得到问题的解。这个解不是准确解,而是近似解。有限元不仅计算精度高,而且能适是准确解,而是近似解。有限元不仅计算精度高,而且能适应各种复杂形状,因而成为行之有效的数值计算方法。应各种复杂形状,因而成为行之有效的数值计算方法。有限元法于上世纪有限元法于上世纪50年代首先在力学领域年代首先在力学领域-飞机结飞机结构的静、动态特性分析中得到应用
3、,随后很快广泛的应用构的静、动态特性分析中得到应用,随后很快广泛的应用于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问题。于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问题。有限元法主要用于求解有限元法主要用于求解拉普拉斯方程拉普拉斯方程和和泊松方程泊松方程所描述的所描述的各类物理场中。各类物理场中。计算物理学编辑版编辑版pppt3/43第五章第五章 偏微分方程的有限元法偏微分方程的有限元法有限元法有限元法-变分原理变分原理 基于变分原理的有限元法是逼近论、偏微分方程、变基于变分原理的有限元法是逼近论、偏微分方程、变分与泛函分析的巧妙结合。分与泛函分析的巧妙结合。基于变分原理的有限元法以基于变分原理的有限元法
4、以变分原理变分原理为基础,把所为基础,把所要求解的要求解的微分方程微分方程定解问题,首先转化为相应的定解问题,首先转化为相应的变分问变分问题题,即,即泛函求极值泛函求极值问题;它将求解域看成是由许多称为问题;它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成,然后利用有限元的小的互连子域组成,然后利用剖分插值剖分插值,对每一,对每一单元假定一个合适的单元假定一个合适的(较简单的)近似解,把离散化的较简单的)近似解,把离散化的变分变分问题问题转化为普通多元函数的转化为普通多元函数的极值问题极值问题,然后推导求解这,然后推导求解这个域总的满足条件个域总的满足条件(边界条件),即最终归结为一组多元的
5、边界条件),即最终归结为一组多元的代数方程组代数方程组,求解代数方程组,就得到待求边值问题的,求解代数方程组,就得到待求边值问题的数值解。数值解。计算物理学编辑版编辑版pppt4/43第五章第五章 偏微分方程的有限元法偏微分方程的有限元法有限元法有限元法-加权余数法加权余数法 自从自从1969年以来,某些学者在流体力学中应用加权余年以来,某些学者在流体力学中应用加权余数法中的迦辽金法或最小二乘法等同样获得了有限元方程,数法中的迦辽金法或最小二乘法等同样获得了有限元方程,因而有限元法可应用于以任何微分方程所描述的各类物理因而有限元法可应用于以任何微分方程所描述的各类物理场中,而不再要求这类物理场
6、和泛函的极值问题有所联系。场中,而不再要求这类物理场和泛函的极值问题有所联系。加权余数法的核心思想是:近似解与解析解相比会存加权余数法的核心思想是:近似解与解析解相比会存在误差在误差R,但是可以通过一个准则使,但是可以通过一个准则使R尽量小,求解这个等尽量小,求解这个等式,就可以得到待定常数的值,也就得到了近似解。式,就可以得到待定常数的值,也就得到了近似解。计算物理学编辑版编辑版pppt5/43第五章第五章 偏微分方程的有限元法偏微分方程的有限元法 有限元法特点有限元法特点有限元法的物理意义直观明确,理论完整可靠。有限元法的物理意义直观明确,理论完整可靠。因为因为变分变分原理原理描述了支配物
7、理现象的物理学中的描述了支配物理现象的物理学中的最小作用原理最小作用原理(如力学中的最小势能原理)。(如力学中的最小势能原理)。优异的解题能力。有限元法对优异的解题能力。有限元法对边界几何形状复杂边界几何形状复杂以及以及媒媒质物理性质变异质物理性质变异等复杂物理问题求解上,有突出优点:等复杂物理问题求解上,有突出优点:不受几何形状和媒质分布的复杂程度限制。不受几何形状和媒质分布的复杂程度限制。不必单独处理第二、三类边界条件。不必单独处理第二、三类边界条件。离散点配置比较随意,通过控制有限单元剖分密度和离散点配置比较随意,通过控制有限单元剖分密度和单元插值函数的选取,可以充分保证所需的数值计算精
8、度。单元插值函数的选取,可以充分保证所需的数值计算精度。计算物理学编辑版编辑版pppt6/435.1 泛函与变分原理泛函与变分原理 数学上,通常自变量与因变量间的关系称为函数,数学上,通常自变量与因变量间的关系称为函数,而泛函则是函数集合的函数,也就是而泛函则是函数集合的函数,也就是函数的函数函数的函数,即,即自变量为函数,而不是变量。自变量为函数,而不是变量。5.1.1 泛函的定义泛函的定义 泛函通常是指一种定义域为函数,而值域为实数的泛函通常是指一种定义域为函数,而值域为实数的“函数函数”。设设C是函数的集合,是函数的集合,B是实数集合。如果对是实数集合。如果对C中的任中的任一元素一元素y
9、(x),在,在B中都有一个元素中都有一个元素J与之对应,则称与之对应,则称J为为y(x)的泛函,记为的泛函,记为Jy(x)。计算物理学编辑版编辑版pppt7/435.1 泛函与变分原理泛函与变分原理例例5.1.1 质点在重力作用下,沿一条光滑的从质点在重力作用下,沿一条光滑的从A点到点到B点的曲线运动,如图所示。求下落时间最短的曲线。点的曲线运动,如图所示。求下落时间最短的曲线。曲线上任一小段线元长度为:曲线上任一小段线元长度为:ABxyOx0 x122222)1(dxdxdydydxdsdxyds)1(2捷线问题捷线问题计算物理学编辑版编辑版pppt8/435.1 泛函与变分原理泛函与变分原
10、理线元处的质点速度为线元处的质点速度为ABxyOx0 x1gyv2dxgyyvdsdT212ds线元下落时间为线元下落时间为从从A点到点到B点的下落时间为点的下落时间为)(21102xyJdxgyyTxxmin)(xyJ计算物理学编辑版编辑版pppt9/435.1 泛函与变分原理泛函与变分原理5.1.2 函数的变分函数的变分 设设y(x)是泛函是泛函J定义域内任一函数,如果定义域内任一函数,如果y(x)变化为变化为新函数新函数Y(x),且,且Y(x)属于泛函属于泛函J的定义域,则的定义域,则Y(x)与与y(x)之差为函数之差为函数y(x)的变分。的变分。)()(xyxYy变分变分y是是x的函数
11、,它不同于函数的的函数,它不同于函数的增量增量y。性质:函数求导与求变分可以交换次序性质:函数求导与求变分可以交换次序)()()()()(yxyxYxyxYy yy xxy x 计算物理学编辑版编辑版pppt10/435.1 泛函与变分原理泛函与变分原理5.1.3 泛函的变分泛函的变分定义定义最简泛函最简泛函10),()(xxdxyyxFxyJF(x,y,y)称为泛函的称为泛函的“核函数核函数”泛函的变分泛函的变分10),(),()()(xxdxyyxFyyyyxFyJyyJJ最简泛函最简泛函:核函数只包含自变量核函数只包含自变量 x、未知函数、未知函数y(x)以及导数以及导数y(x)计算物理
12、学编辑版编辑版pppt11/435.1 泛函与变分原理泛函与变分原理利用二元函数的泰勒展开利用二元函数的泰勒展开2222222(,)1(,)(,)(,)1!1(,)(,)(,)22!F x yy yyF x y yF x y yF x y yyyyyF x y yF x y yF x y yyy yyyy yy 计算物理学编辑版编辑版pppt12/435.1 泛函与变分原理泛函与变分原理其中其中10222122!yyxxyyyyy yFyFyJdxFyFy yFyJJ 1010222122xyyxxyyyyy yxJFyFy dxJFyFy yFydx 分别称为泛函的分别称为泛函的一阶变分一阶
13、变分和和二阶变分二阶变分。22 yyyFFFFyy()()JJ yyJ y 计算物理学编辑版编辑版pppt13/435.1 泛函与变分原理泛函与变分原理泛函取极值的必要条件:泛函取极值的必要条件:一阶变分为零一阶变分为零0J性质:对于最简泛函,变分运算可以与积分、微性质:对于最简泛函,变分运算可以与积分、微分运算交换次序分运算交换次序1100(,)(,)xxxxJF x y y dxF x y y dxdyyddxdx计算物理学编辑版编辑版pppt14/435.1 泛函与变分原理泛函与变分原理5.1.4 泛函的极值问题泛函的极值问题 泛函的一阶变分泛函的一阶变分10()xxFFJyy dxyy
14、 利用利用dFdFFyydxydxyydFFydydyyxdxy1 泛函的极值问题的间接解法泛函的极值问题的间接解法 转化为微分方程:欧拉方程转化为微分方程:欧拉方程0J()yy计算物理学编辑版编辑版pppt15/435.1 泛函与变分原理泛函与变分原理11100011000 xxxxxxxxxxFdFFJy dxydxyydxyyFdFFydxyydxyy 对于驻定问题,对于驻定问题,两边界固定两边界固定0FdFydxy010 x xx xy 这就是最简泛函的这就是最简泛函的欧拉方程欧拉方程,等价于泛函取极值的必要条件。,等价于泛函取极值的必要条件。把把变分问题转化微分方程的定解问题(边值问
15、题)来求变分问题转化微分方程的定解问题(边值问题)来求解解。10()xxFFJyy dxyyFdFdFyyydxydxyy计算物理学编辑版编辑版pppt16/435.1 泛函与变分原理泛函与变分原理 对于例对于例5.1.1求下落时间最短的轨迹求下落时间最短的轨迹0FdFydxy利用最简泛函的利用最简泛函的欧拉方程欧拉方程。)(21102xyJdxgyyTxxmin)(xyJ212yFgy计算物理学编辑版编辑版pppt17/435.1 泛函与变分原理泛函与变分原理代入欧拉方程代入欧拉方程23212 2yFyg y221Fyygyy232210212 2yFdFdyydxydxgyyg y2322
16、1012ydydxyyy212yFgy计算物理学编辑版编辑版pppt18/435.1 泛函与变分原理泛函与变分原理变换得到变换得到222101dyydxyyy进一步化简得到进一步化简得到2101ddxyy积分积分211yyc计算物理学编辑版编辑版pppt19/435.1 泛函与变分原理泛函与变分原理做变量替换做变量替换cossintyt 得得22211211sinsin1ytcycty而而21112sin cos2sin(1cos2)cossincttdtdydxctdtct dttyt计算物理学编辑版编辑版pppt20/435.1 泛函与变分原理泛函与变分原理对上式积分得到对上式积分得到12
17、1(sin 2)2xc ttc这样就得到了下落时间最短曲线的参数方程这样就得到了下落时间最短曲线的参数方程12211(sin 2)2sinxc ttcyct式中常数式中常数c c1 1和和c c2 2由始末两点位置确定由始末两点位置确定练习:画出经过练习:画出经过(0,0)和和(1,1)的下落时间最短曲线。的下落时间最短曲线。连接两个点上凹的唯一一段旋轮线连接两个点上凹的唯一一段旋轮线343sin1cosxcttcyct计算物理学编辑版编辑版pppt21/435.1 泛函与变分原理泛函与变分原理2 泛函的极值问题的直接解法泛函的极值问题的直接解法 基本做法:基本做法:瑞利瑞利-里兹里兹(Ray
18、leigh-Ritz)法法(1)选定一组具有相对完备性的基函数,构造一个线选定一组具有相对完备性的基函数,构造一个线性组合的近似函数性组合的近似函数(2)将含有将含有n个待定系数的构造函数作为近似的极值个待定系数的构造函数作为近似的极值函数,代入泛函函数,代入泛函 12,nJ y xI a aa1 niiiiiyaa:基函数 :待定系数10),()(xxdxyyxFxyJ计算物理学编辑版编辑版pppt22/435.1 泛函与变分原理泛函与变分原理0 i=1,2,3niIa(3)为了求泛函的极值,按照多元函数取极值的必要条件为了求泛函的极值,按照多元函数取极值的必要条件(4)求解以上方程组,求出
19、求解以上方程组,求出 就可以得就可以得到极值函数的近似解到极值函数的近似解 12,na aa(5)再将含有再将含有n+1个待定系数的函数个待定系数的函数作为近似极值函数,重复作为近似极值函数,重复(2)(4),就可以得到极值函数,就可以得到极值函数新的新的近似解近似解。如果连续两次所得到的结果接近,就认为。如果连续两次所得到的结果接近,就认为最后得到的函数就是极值函数的近似解最后得到的函数就是极值函数的近似解。11niiiya111nniiiiiiaa计算物理学编辑版编辑版pppt23/435.1 泛函与变分原理泛函与变分原理例例5.1.2 求下列泛函的极值函数。求下列泛函的极值函数。解:为了
20、满足边界条件,取基函数为解:为了满足边界条件,取基函数为 1220(4)(0)(1)0J yyyxy dxyy(1)iixx近似函数为近似函数为11niiiya xx计算物理学编辑版编辑版pppt24/435.1 泛函与变分原理泛函与变分原理当当n=1时时代入泛函代入泛函11ya xx 12221111012141J yaa xa xxa xxdxI a取极值取极值1222110121221410Iaxaxxxx dxa 1220(4)J yyyxy dx计算物理学编辑版编辑版pppt25/435.1 泛函与变分原理泛函与变分原理计算得到计算得到近似函数近似函数159a 5(1)9yxx 同理
21、同理n=2时时7172(1)36941yxxx 利用欧拉方程,得到的精确解利用欧拉方程,得到的精确解2sin2sin1xyx计算物理学编辑版编辑版pppt26/435.1 泛函与变分原理泛函与变分原理00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-0.16-0.14-0.12-0.1-0.08-0.06-0.04-0.020 xyn=1n=2精 确 解计算物理学编辑版编辑版pppt27/435.1 泛函与变分原理泛函与变分原理 泛函的极值问题可以通过变分运算产生一个微分方泛函的极值问题可以通过变分运算产生一个微分方程和相应的边界条件,即欧拉方程,其解对应于最简泛程和相应的边界条件,
22、即欧拉方程,其解对应于最简泛函的极值函数。也就是函的极值函数。也就是泛函的极值问题泛函的极值问题可以等价为可以等价为在在一定边界条件下求解微分方程问题。一定边界条件下求解微分方程问题。变分原理变分原理 通过求解一个相应的泛函的极小函数而得到通过求解一个相应的泛函的极小函数而得到偏微分方程边值问题的解。偏微分方程边值问题的解。有限元法有限元法正是正是里兹法里兹法与与有限差分法有限差分法相结合的成果,它相结合的成果,它取长补短地在理论上以变分为基础,在具体方法构造上又取长补短地在理论上以变分为基础,在具体方法构造上又利用了有限差分法网格离散化处理的思想。利用了有限差分法网格离散化处理的思想。计算物
23、理学编辑版编辑版pppt28/435.1 泛函与变分原理泛函与变分原理 20世纪世纪60年代初首次提出结构力学计算有年代初首次提出结构力学计算有限元概念的克拉夫(限元概念的克拉夫(Clough)教授形象地将其)教授形象地将其描绘为:描绘为:“有限元法有限元法=Rayleigh Ritz法法分片函分片函数数”。有限元法是有限元法是Rayleigh Ritz法的一种局部化法的一种局部化情况。不同于求解满足整个定义域边界条件的情况。不同于求解满足整个定义域边界条件的允许函数的允许函数的Rayleigh Ritz法(往往是困难的),法(往往是困难的),有限元法将函数定义在简单几何形状(如二维有限元法将
24、函数定义在简单几何形状(如二维问题中的三角形或任意四边形)的单元域上问题中的三角形或任意四边形)的单元域上(分片函数),且不考虑整个定义域的复杂边(分片函数),且不考虑整个定义域的复杂边界条件,这是有限元法优于其它近似方法的原界条件,这是有限元法优于其它近似方法的原因之一。因之一。计算物理学编辑版编辑版pppt29/435.2 基于变分原理的有限元法基于变分原理的有限元法对于具有不同物理性质和数学模型的问题,有限对于具有不同物理性质和数学模型的问题,有限元法的基本做法是相同的,只是具体公式推导和元法的基本做法是相同的,只是具体公式推导和运算求解不同。运算求解不同。有限元法基本做法有限元法基本做
25、法首先把待求的偏微分方程边值问题转化为等价的变分问首先把待求的偏微分方程边值问题转化为等价的变分问题。题。然后通过有限单元剖分的离散处理,构造一个分片解析然后通过有限单元剖分的离散处理,构造一个分片解析的有限元子空间。的有限元子空间。通过构造近似函数,把变分问题近似地转化为有限元子通过构造近似函数,把变分问题近似地转化为有限元子空间中的多元函数极值问题,由此直接利用空间中的多元函数极值问题,由此直接利用Rayleigh Ritz法探求变分问题的近似解(极值函数解),以此作法探求变分问题的近似解(极值函数解),以此作为所求边值问题的近似解。为所求边值问题的近似解。计算物理学编辑版编辑版pppt3
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