第四节重积分的应用资料课件.ppt

1、第四节第四节 重积分的应用重积分的应用一、重积分的几何应用一、重积分的几何应用*二、重积分的物理应用二、重积分的物理应用三、利用对称性化简重积分三、利用对称性化简重积分四、小结四、小结几何应用和物理应用 求平面区域面积 求空间区域体积 求曲面的面积 求物体质量 求物体质心 求转动惯量 求引力一、重积分的几何应用一、重积分的几何应用1 1、平面区域面积：、平面区域面积：3.(,)1,Df x y 性质若在 上DDdd1 为D 的面积,则 解：解：22(0,0),(1,1),yxxyDdxdy210 xxdxdy120()xxdx1.3解解:根根据据对对称称性性有有 14DD 在在极极坐坐标标系系

2、下下222222()2()xyaxy2cos2,a222,xyaa1D 得得交交点点)6,(aA,14Ddxdy62cos204aadd 2(3)3a2、空间区域体积：空间区域体积：曲顶柱体曲顶柱体的顶为连续曲面(,)0,zf x y则其体积为：DyxyxfVdd),(,),(Dyx 占有空间有界闭区域空间有界闭区域 的立体的体积为：zyxVddd例例3.求球体22224azyx被圆柱面xayx222)0(a所截得的(含在柱面内的)立体的体积.(P148-例6)解解:设由对称性可知:02 cos,02Da2244ddDVa 20d42 cos2204daa d)sin1(3322033a)32

3、2(3323aoxyza2xoyza2例例4.求半径为a 的球面与半顶角为 的内接锥面所围成的立体的体积.（P163-例4）解解:在球坐标系下空间立体所占区域为:则立体体积为zyxVdddcos202darrdsincos316033a)cos1(3443acos20ar 0200dsin20drrvdddsind2rM(1)设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(yxfz ,xoyD在在面面上上的的投投影影区区域域为为,Dd 设小区域设小区域,),(dyx 点点.),(,(的切平面的切平面上过上过为为yxfyxMS.dsdAdAdsszd 则有则有，为为；截切平面；截切平面为为柱面，截曲面柱面

4、，截曲面轴的小轴的小于于边界为准线，母线平行边界为准线，母线平行以以如图，如图，d),(yxMdAxyzs o 3 3、曲面的面积、曲面的面积:,面上的投影面上的投影在在为为xoydAd,cos dAd,11cos22yxff dffdAyx221,122 DyxdffA 曲面曲面S的面积元素的面积元素曲面面积公式为：曲面面积公式为：dxdyAxyDyzxz 22)()(1MAdzdn(3)设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(xzhy 曲面面积公式为：曲面面积公式为：.122dzdxAzxDxyzy (2)设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(zygx 曲面面积公式为：曲面面积公式为：;12

5、2dydzAyzDzxyx 同理可得同理可得例例5.计算半径为计算半径为 a 的球的表面积的球的表面积.解解:设球面方程为 ar球面面积元素为ddsind2aA 0202dsindaA24asinada方法方法2：利用直角坐标方程利用直角坐标方程.（方法方法1 ）利用球坐标方程.axyzoddsina见见P167-例例1例例6.计算双曲抛物面计算双曲抛物面yxz 被柱面被柱面222Ryx所截所截解解:曲面在 xoy 面上投影为,:222RyxD则yxzzADyxdd122yxyxDdd122rrrRd1d0220)1)1(32232R出的面积出的面积 A.见见P168-例例2*二、重积分的物理

6、应用二、重积分的物理应用),(yx1、平面薄片的质心、平面薄片的质心当薄片是均匀的，质心称为当薄片是均匀的，质心称为形心形心.,1 DxdAx.1 DydAy DdA 其中其中,),(),(DDdyxdyxxx .),(),(DDdyxdyxyy 由元素法由元素法解解先求区域先求区域 D的面积的面积 A，20t，ax 20 adxxyA20)(20)sin()cos1(ttadta 2022)cos1(dtta.32a Da 2a)(xy 所所以以形形心心在在ax 上上，即即 ax ,DydxdyAy1 )(0201xyaydydxA adxxya2022)(61 203cos16dtta.6

7、5 所求形心坐标为所求形心坐标为),(65 a.由于区域关于直线由于区域关于直线ax 对称对称，设设xoy平平面面上上有有n个个质质点点，它它们们分分别别位位于于),(11yx，),(22yx，,),(nnyx处处，质质量量分分别别为为nmmm,21则则该该质质点点系系对对于于x轴轴和和y轴轴的的转转动动惯惯量量依依次次为为 niiixymI12，niiiyxmI12.2 2、平面薄片的转动惯量、平面薄片的转动惯量,),(2 DxdyxyI .),(2 DydyxxI 设有一平面薄片，占有设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域面上的闭区域D，在点，在点),(yx处的面密度为处的面密度为),(y

8、x，假定，假定),(yx 在在D上连续，平面薄片对于上连续，平面薄片对于x轴和轴和y轴轴的转动惯量为的转动惯量为薄片对于薄片对于 轴的转动惯量轴的转动惯量x薄片对于薄片对于 轴的转动惯量轴的转动惯量y解解设三角形的两直角边分别在设三角形的两直角边分别在x轴和轴和y轴上，如图轴上，如图aboyx对对y轴的转动惯量为轴的转动惯量为,2dxdyxIDy babydxxdy0)1(02.1213 ba 同理：对同理：对x轴的转动惯量为轴的转动惯量为dxdyyIDx 2.1213 ab 解解先求形心先求形心,1 DxdxdyAx.1 DydxdyAy 建建立立坐坐标标系系如如图图oyx,hbA 区域面积

9、区域面积 因因为为矩矩形形板板均均匀匀,由由对对称称性性知知形形心心坐坐标标2bx ，2hy .hb将将坐坐标标系系平平移移如如图图oyxhbuvo 对对u轴轴的的转转动动惯惯量量 DududvvI2 22222hhbbdudvv.123 bh 对对v轴的转动惯量轴的转动惯量 DvdudvuI2.123 hb 薄片对薄片对轴上单位质点的引力轴上单位质点的引力z 设有一平面薄片，占有设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域面上的闭区域D，在点在点),(yx处的面密度为处的面密度为),(yx，假定，假定),(yx 在在D上连续，计算该平面薄片对位于上连续，计算该平面薄片对位于 z轴上的点轴上的点),

10、0,0(0aM处的单位质点的处的单位质点的引力引力)0(a,zyxFFFF ,)(),(23222 dayxxyxfFDx ,)(),(23222 dayxyyxfFDy .)(),(23222 dayxyxafFDz 为引力常数为引力常数f3 3、平面薄片对质点的引力、平面薄片对质点的引力解解由积分区域的对称性知由积分区域的对称性知,0 yxFF dayxyxafFDz 23)(),(222 dayxafD 23)(1222oyzxFdrrardafR 0222023)(1.11222 aaRfa所求引力为所求引力为.112,0,022 aaRfa三、利用对称性化简重积分（三、利用对称性化简

11、重积分（补充内容补充内容）1 1、利用对称性化简二重积分、利用对称性化简二重积分：（：（偶倍奇零偶倍奇零）,(,)(,)(,(,),)(,)(,)f x yf x yfx yf x yxfx yf x yx 若若则则称称关关于于 为为奇奇函函数数；若若：则则称称关关于于 为为约约定定偶偶函函数数。f(x,y)关于y 的奇偶性可类似定义，则有以下重要结论：(1)若D 关于 x=0(y 轴)对称(如图),则d),(Dyxf11(,)2(,)d(,)Df x yf x yf x yDxDx奇奇函函0，0，关关于于 为为，关关于于 为为，其其中中，为为 的的数数偶偶函函数数右右半半部部分分。xyo1D

12、(2)若D 关于y=0(x 轴)对称(如图),则(,)dDf x y11(,)2(,)d(,)Df x yf x yf xyyyDD奇奇函函数数0，0，关关于于 为为，关关于于 为为，其其中中，偶偶函函数数上上为为 的的半半部部分分。xyo1D(3)若D 关于y=0(x 轴)和x=0(y轴)对称(如图),且f(x,y)关于x和y均为偶函数，则(,)dDf x y114(,)d,Df x yDD第第一一为为 在在象象限限部部分分。xyo1D解：解：由对称性，可只考虑第一象限部分由对称性，可只考虑第一象限部分，注意：注意：被积函数也要有对称性被积函数也要有对称性.Ddxdyyxyx2222)sin

13、(4 12222)sin(Ddxdyyxyx 210sin42rdrrrd.4 14DD 1D(4)若D 关于原点对称(如图),则(,)dDf x y11(,)2(,)d(,)(,)(,)Df x yf x yf x yxDDx yy0，0，关关于于为为，关关于于为为，其其中中，奇奇函函数数偶偶函函数数关关于于原原点点对对称称的的两两部部为为分分之之一一。,(,),(,)(,)(,),(,)(,),f x yf x yfxyf x yx yfxyf x yx y 若若则则称称关关于于为为奇奇函函数数(；若若则则称称约约定定)()()：关关于于为为偶偶函函数数。xyo1D(5)若D 关于直线y=

14、x 对称(如图),则(,)dDf x y(,)dDf y xxyo1Dyx()dDf x特，别地()dDf y，从而()()d2()dDDf xf yf x(6)若D 关于直线y=x 对称(如上图),且f(x,y)关于 x 和 y 都对称（即f(x,y)=f(y,x)），则(,)dDf x y12(,)dDf x y2 2、利用对称性化简三重积分、利用对称性化简三重积分：(,)(,)(,),(,),(,),)f x y zf x yzf x y zzf x yzf x y zzf x y z若若则则称称关关于于 为为奇奇函函数数；若若则则称称关关于于约约定定：为为偶偶函函数数。f(x,y,z)

15、关于x和y 的奇偶性可类似定义，有以下重要结论：(1)若关于z=0(xoy平面)对称，则11 (,)(,)2(,)d(,)f x y z dvf x y zf x y zvf x yzzz0，0，关关于于 为为，关关于于 为为奇奇函函数数偶偶函函，其其中中，是是 的的数数上上半半部部分分。例例.设,1:222zyx计算222222ln(1)d (1838.(2)1zxyzvPxyz即提示提示:利用对称性原式=122ddyxyx0奇函数222222212221ln(1)d1xyxyzxyzzxyz相应地，若关于yoz平面(zox平面)对称，f(x,y,z)关于x（或y）有奇偶性，可得相应结论。(

16、2)若关于三个坐标面 对称，且f(x,y,z)关于x,y,z均 为偶函数，则11 (,)8(,)f x y z dvf x y z dv第一，其中，为 在卦限部分。例例.设222:4,xyz计算222ln(1)d xyzv12228 ln(1)xyzdv，1 第一卦其中，为 在限部分。内容小结内容小结1、几何应用：平面区域面积、空间区域体积、几何应用：平面区域面积、空间区域体积、曲面的面积曲面的面积2、计算要简便计算要简便充分利用对称性充分利用对称性应用换元公式应用换元公式*说明说明:三重积分也有类似二重积分的换元积分公式换元积分公式:),(),(wvuzyxJ对应雅可比行列式为*ddd),(ddd),(wvuJwvuFzyxzyxf