任意角的三角函数优秀课件26.ppt

1、1.2.1任意角的三角函数任意角的三角函数1.复习引入复习引入我们已经学习过锐角的三角函数，如图：我们已经学习过锐角的三角函数，如图：你能在直角坐标系中来表示锐角三角函数吗你能在直角坐标系中来表示锐角三角函数吗?sinBCAACcosABAACtanBCAABABC设锐角设锐角的顶点与原点的顶点与原点O重合重合,始边与始边与x轴的正半轴的正半轴重合轴重合,那么它的终边在第一象限那么它的终边在第一象限.的终边上任意一点的终边上任意一点P的坐标为的坐标为(a,b),它与原点的它与原点的距离是距离是_过过P作作x轴的垂线轴的垂线,垂足为垂足为M,则则线段线段OM的长度为的长度为_线段线段MP的长度为

2、的长度为_2.利用平面直角坐标系表示锐角三角函数220rabMyxOP(a,b)abMyxOP(a,b)sin,cos,tanMPbOMaMPbOPrOPrOMaP(a,b)MA(1,0)xy1将点将点P取在使线段取在使线段OP的长的长r=1的特殊位置上的特殊位置上sin,cos,tanMPbOPOMaOPMPbOMa以原点以原点O为为圆心圆心,以单以单位 长 度 为位 长 度 为半 径 的 圆半 径 的 圆称 为称 为 单 位单 位圆圆P(x,y)A(1,0)xy3.利用单位圆定义任意角的三角函数利用单位圆定义任意角的三角函数设设是一个任意角是一个任意角,它的终边与单位圆交于它的终边与单位圆

3、交于点点P(x,y)(1)y叫做叫做的的正弦正弦,记作记作sin,即即 sin=y(2)x叫做叫做的的余弦余弦,记作记作cos,即即 cos=xyx(3)(3)叫做叫做正切正切,记作记作tan,即即tan0yxx2kkZ4.三角函数三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数函数弧度制下弧度制下,角的集合与实数集角的集合与实数集R之间建立之间建立了了一一对应一一对应关系关系 三角函数可以看成自变量为实数的函数三角函数可以看成自变量为实数的函数51.3例 求的正弦、余弦和正切值yxB

4、A53O13,225sin332 15cos3235tan3 5=3AOB解解:在直角坐标系中在直角坐标系中,作出作出5.典型例题典型例题练练例例2 已知角已知角的终边经过点的终边经过点P0(-3,-4),求角求角的正弦、的正弦、余弦和正切值余弦和正切值解解:220345OP 设角设角的终边与单位圆交于点的终边与单位圆交于点P(x,y).分别过点分别过点P、P0作作x轴的垂线轴的垂线MP、M0P0,则则0004,3,M PMPy OMOMx yxOMM0P0(-3,-4)P(x,y)000sin14;5MPyyOPM POP 003cos;15OMOMxxOPOP sin4tancos3yx知

5、道知道终边上任意一点终边上任意一点P(x,y),就可以求出角就可以求出角的三角函数值的三角函数值.yxOMP(x,y)sin,MPxOPrtanMPyOMxcos,OMyOPr22rxy练练6.三角函数的定义域三角函数的定义域sin cos tanyyxx三角函数三角函数定义域定义域sincostanRR,2|Zkk根据三角函数的定义,研究三角函数值在各个象限的符号-+sin cos tanyyxx-+sincostanyOxOxyOxy口诀：口诀：一全正一全正 二正弦二正弦 三正切三正切 四余弦四余弦例例3 3 求证求证:当且仅当下列不等式组成立时当且仅当下列不等式组成立时,角角为第三角限角

6、为第三角限角sin0,tan0.证明证明:如果如果式都成立式都成立,那么那么为第三为第三象限角象限角.若若sinsin000,那么那么角的终边可能位于角的终边可能位于第一或第三象限第一或第三象限.因为因为式都成立式都成立,所以所以角的终边只能角的终边只能位于第三象限位于第三象限.于是于是为第三象限角为第三象限角可以把求任意角的三角函数值可以把求任意角的三角函数值.转化为求转化为求0到到2(或或0至至360)角的三角函数值角的三角函数值.7.终边相同的角的同一种三角函数值相等终边相同的角的同一种三角函数值相等sin2sincos2costan2tan.kkkkZ其中诱导公式一诱导公式一角角终边每

7、终边每绕原点旋转绕原点旋转一周一周,函数值函数值将重复出现将重复出现例例4 4 确定下列三角函数值的符号确定下列三角函数值的符号,然后用计算器然后用计算器验证验证:1 cos250;2 sin;43 tan672;4 tan3.解解:(1)因为因为250是第是第_象限角象限角,所以所以cos250 0 (2)因为因为 是第是第_象限角象限角,所以所以(3)因为因为tan(-670)=tan(48-2360)=tan48而而48是第一象限角是第一象限角,所以所以 tan(-672)0(4)因为因为tan3=tan(+2)=tan=0三三4sin 04四四练练例例5 5 求下列三角函数值求下列三角

8、函数值 9111 sin148010;2 cos;3 tan.46:1 sin148010 解sin 40104 360 sin40100.6451 92 cos4cos242cos42 113 tan6tan263tan63练习练习1._tan600o的值是的值是D3D 3C 33B 33A._,0cossin在在则则若若 第第二二、四四象象限限 第第一一、四四象象限限第第一一、三三象象限限 第第一一、二二象象限限.D .C.B .A练习练习2.B_0sin20cos边边在在的的终终则则若若 ，且且第第二二象象限限 第第四四象象限限第第三三象象限限 第第一一象象限限.D .C.B .A练习练

9、习3.CyxxyyyxxMMMMOOOOPPPP的的终边终边的的终边终边的的终边终边的的终边终边A(1,0)A(1,0)A(1,0)A(1,0)()()()()1.下面从图形角度下面从图形角度认识一下三角函数认识一下三角函数角角的终边与单位圆的终边与单位圆交于点交于点P.过点过点P作作x轴轴的垂线的垂线,垂足为垂足为M.|MP|=|y|=|sin|OM|=|x|=|cos|思考思考(1)为了去掉上述等式中的绝对值符号为了去掉上述等式中的绝对值符号,能否能否给线段给线段OM、MP规定一个适当的方向规定一个适当的方向,使它使它们的取值与点们的取值与点P的坐标一致的坐标一致?|MP|=|y|=|si

10、n|OM|=|x|=|cos|当角当角的终边不在坐标轴上时的终边不在坐标轴上时,以以O为始点、为始点、M为终点为终点,规定规定:当线段当线段OM与与x轴轴同向同向时时,OM的方向为的方向为正向正向,且有且有正值正值x;当线段当线段OM与与x轴轴反向反向时时,OM的方向的方向为为负向负向,且有且有负值负值x.OM=x=cos 当角当角的终边不在坐标轴上时的终边不在坐标轴上时,以以M为始点、为始点、P为终点为终点,规定规定:当线段当线段MP与与y轴轴同向同向时时,MP的方向为的方向为正向正向,且有且有正值正值y;当线段当线段MP与与y轴轴反向反向时时MP的方向为的方向为负向负向,且有且有负值负值y

11、.MP=y=sin(2)你能借助单位圆你能借助单位圆,找到一条如找到一条如OM、MP一一样的线段来表示角样的线段来表示角的正切吗的正切吗?思考思考TTTyxxyyyxxMMMMOOOOPPPP的的终边终边的的终边终边的的终边终边的的终边终边A(1,0)A(1,0)A(1,0)A(1,0)()()()()T过点过点A(1,0)作单作单位圆的切线位圆的切线,设它设它与与的终边或其的终边或其反向延长线相交反向延长线相交于点于点T.tanMPOMATyATOAx这三条与单位圆有关的有向线段这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT,分别叫做角分别叫做角的的正弦线、余弦线、正切正弦线、余弦线、正切线线

12、,统称为统称为三角函数线三角函数线yxTM OP的的终边终边A(1,0)当角当角的终边与的终边与x轴重合时轴重合时,正弦线、正切正弦线、正切线线,分别变成一个点分别变成一个点,此时角此时角的的正弦值和正正弦值和正切值都为切值都为0;当角当角的终边与的终边与y轴重合时轴重合时,余余弦线变成一个点弦线变成一个点,正切线不存正切线不存在在,此时角此时角的的正切值不存在正切值不存在.例题例题求证：当为锐角时，求证：当为锐角时，tansin1.1.任意角的三角函数的定义。任意角的三角函数的定义。2.2.明确各种三角函数的定义域。明确各种三角函数的定义域。3.3.掌握各种三角函数在不同象限的正负掌握各种三

13、角函数在不同象限的正负情况情况.小结小结单位圆单位圆：圆心在原点，半径等于单位长度单位长度的圆。三角函数线三角函数线：用有向线段的数量有向线段的数量来表示。sincostanMPOMATOxyPMAT规律规律：三角函数线是：三角函数线是有向线段的数量有向线段的数量，要，要分清分清起点、终点起点、终点。1 1）凡含原点的线段，均以原点为起点；）凡含原点的线段，均以原点为起点；2 2）不含原点的线段，线段与坐标轴的交点）不含原点的线段，线段与坐标轴的交点为起点；为起点；3 3）正切线）正切线ATAT：起点：起点A A一定是单位圆与轴的一定是单位圆与轴的非负半轴的交点，终点非负半轴的交点，终点T T

14、为终边（或延长线）为终边（或延长线）与过与过A A的圆的切线的交点的圆的切线的交点作业作业课本第课本第2020页习题页习题1.2A1.2A组组 2,5,72,5,7练习练习利用三角函数的定义求利用三角函数的定义求 的三个三角函数值的三个三角函数值7631,22yxA(1,0)76O解解:如图如图 与单位圆的交点为与单位圆的交点为7631,2271sin62y 73cos62x 73tan63yx返返练习练习已知角已知角的终边过点的终边过点P(-12,5),P(-12,5),求角求角的三的三角函数值角函数值解解:222212513rxy5sin13yr12cos13xr 5tan12yx 返返口

15、答口答:设设是三角形的一个内角是三角形的一个内角,在在sin,cos,tan,tan(/2)那些可能取负值那些可能取负值?0,0,22sin0,tan022cos0,tan0确定下列三角函数值的符号确定下列三角函数值的符号 1 sin156 162 cos 53 cos450174 tan 845 sin36 tan 5560cos 2cos055cos450720cos270077tan3tan08842sin2sin033tan 360196sin1960练习练习返返tan196o0填表填表:角角090180270360角角的弧度数的弧度数sincostan0232201010010010

16、10A B C D反馈训练反馈训练 03，P（1）若角终边上有一点，则下列函数值不存在）若角终边上有一点，则下列函数值不存在的是（的是（）sincostancot（3）若角的终边过点，且，）若角的终边过点，且，53sinmm524cosmm_m（2）若，都有意义，则）若，都有意义，则8，aP53cos_a则则 85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。约翰B塔布 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。戴尔卡内基 87.

17、当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。贾柯瑞斯 88.每个意念都是一场祈祷。詹姆士雷德非 89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。柏格森 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。托尔斯泰 91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。兰斯顿休斯 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见

18、的攻击做准备。玛科斯奥雷利阿斯 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。约翰纳森爱德瓦兹 94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。约翰拉斯金 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。威廉班 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。萧伯纳 97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我

19、冷漠的人教我自立。JE丁格 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。英国哲学家培根 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。马塞尔普劳斯特 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。罗丹 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。托尔斯泰 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候。叔本华 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他

20、的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。梭罗 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。威廉彭 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。戴尔卡内基 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。约翰罗伯克 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。撒母耳厄尔曼 108.快乐

21、和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。卡雷贝C科尔顿 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。戴尔卡内基 110.每天安静地坐十五分钟倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。艾瑞克佛洛姆 111.你知道何谓沮丧-就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。坎伯 112.伟大这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。布鲁克斯 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的

22、。只有最明智的人类做到第二点。罗根皮沙尔史密斯 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。阿萨赫尔帕斯爵士 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。威廉海兹利特 116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。凯里昂 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。BC福比斯 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。迈可汉默 119.进

23、步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。奥古斯汀 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。史迈尔斯 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。CHK寇蒂斯 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。乔治桑 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同

24、时改变了你和未来。约翰夏尔 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。道格拉斯米尔多 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度。老子 126.在寒冷中颤抖过的人倍觉太阳的温暖，经历过各种人生烦恼的人，才懂得生命的珍贵。怀特曼 127.一般的伟人总是让身边的人感到渺小；但真正的伟人却能让身边的人认为自己很伟大。G.K.Chesteron 128.医生知道的事如此的少，他们的收费却是如此的高。马克吐温 129.问题不在于：一个人能够轻蔑、藐视或批评什么，而是在于：他能够喜爱、看重以及欣赏什么。约翰鲁斯金