中考数学满分之路（四）—旋转全等与旋转相似.pdf

1、中考数学满分之路 第1页，共10页 中考数学满分之路（四） 旋转全等与旋转相似 一、旋转全等 有公共顶角顶点且顶角相等的两个等腰三角形组成的图形中，必有全等三角形. 旋转的性质 一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋 转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等. 如图，已知 ABAC，ADAE，BACDAE. 求证：ABDACE. 证明：BACDAE， BACCADDAECAD，即BADCAE， ABAC，BADCAE，ADAE， ABDACE. 如图，若ABDACE，则 ABAC，BADCAE（进而BACDAE），ADAE. 其中AC

2、E 可看作是由ABD 绕点 A 逆时针旋转BAC 得到的. 所以，将一个三角形绕其一个顶点旋转一定角度（旋转角 满足 360 且 180）后，会得到有公共顶 角顶点且顶角相等的两个等腰三角形. E A B D C E D B A C 中考数学满分之路 第2页，共10页 1. 如图，点 C 为线段 AE 上一动点（不与 A，E 重合），在 AE 同侧分别作正ABC 和正CDE，AD 与 BE 交于点 O，AD 与 BC 交于点 P，BE 与 CD 交于点 Q，连接 PQ，OC. 以下 6 个结论：ADBE； APBQ；DEDP；AOB60 ；PQAE；OC 平分AOE. 其中，恒成立的有_.（把

3、你认为正确的结论的序号都填上） 2. 如图所示，以 RtABC 的斜边 BC 为一边在ABC 同侧作正方形 BCEF，设正方形的中心为 O，连接 AO，如果 AB2，2 2AO =，则 tanAOB 的值为_. 3. 如图，已知点 C 为线段 BD 上一点（不与端点重合），ABCCDE，且ABCCDE90 ，连 接 AE，点 M 为 AE 的中点，连接 MB，MD. 请判断BMD 的形状，并说明理由. O QP D B A E C O FE A C B M E A BD C 中考数学满分之路 第3页，共10页 二、旋转相似 将一个三角形绕其一个顶点旋转一定角度（旋转角 满足 360 且 180

4、）并放大（或缩小），再连接 对应点后会得到另一组相似三角形. （简述为：旋转相似一拖二） 如图，ABCADEABDACE，（可用 SAS 判定相似）. 圆中的旋转相似 已知，ABC 内接于O，AD 是 BC 边上的高，AE 是直径. 求证：AB ACAD AE=. 已知，ABC 内接于O，角平分线 AD 的延长线交O 于 E. 求证：AB ACAD AE=. 进一步推导， 2 ()AB ACAD AEAB ACADADDEADAB ACAD DEAB ACBD DC=+=. 即若 AD 是ABC 的角平分线，则 2 ADAB ACBD DC=. （三角形的角平分线长公式） E A B C D

5、D E O A BC D E O A BC D E A O BC D E A O BC D E O A BC D E A O BC D A BC 中考数学满分之路 第4页，共10页 4. 如图，已知 AC 为正方形 ABCD 的对角线，点 P 是平面内不与点 A，B 重合的任意一点，连接 AP，将 线段 AP 绕点 P 顺时针旋转 90 得到线段 PE，连接 AE，BP，CE. （1）求证：APEABC； （2）当线段 BP 与 CE 相交时，设交点为 M，求 BP CE 的值以及BMC 的度数； （3）若正方形 ABCD 的边长为 3，AP1，当点 P，C，E 在同一直线上时，求线段 BP

6、的长. M E C D A B P 备用图 C D BA 中考数学满分之路 第5页，共10页 5. 如图，在 RtABC 中，90C=，AD 平分BAC交 BC 于点 D，O 为 AB 上一点，经过点 A，D 的O 分别交 AB，AC 于点 E，F，连接 OF 交 AD 于点 G. （1）求证：BC 是O 的切线； （2）设ABx=，AFy=，试用含 x，y 的代数式表示线段 AD 的长； （3）若8BE =， 5 sin 13 B =，求DG的长. G E F O D B C A 中考数学满分之路 第6页，共10页 6. 已知锐角MBN的余弦值为 3 5 ， 点 C 在射线 BN 上，25B

7、C =， 点 A 在MBN内部， 且90BAC=， BCAMBN=，过点 A 的直线 DE 分别交射线 BM，射线 BN 于点 D，E，点 F 在线段 BE 上（点 F 不 与点 B 重合） ，且EAFMBN=. （1）如图 1，当 AFBN 时，求 EF 的长； （2）如图 2，当点 E 在线段 BC 上时，设BFx=，BDy=，求 y 关于 x 的函数解析式并写出函数的定 义域； （3）连接 DF，当ADF 与ACE 相似时，请直接写出 BD 的长. 图 1 图 2 备用图 M N D E F A C B M N F D A C B E M N A C B 中考数学满分之路 第7页，共10

8、页 三、旋转相似与旋转全等 共锐角顶点的两个处于旋转位置的相似三角形组成的图形中，连接对应点后会得到另一组相似三角形；以 该公共顶点为等腰三角形的顶角顶点可构造出有公共顶角顶点且顶角相等的两个等腰三角形，从而构造出 全等三角形. D B E A C Q P D B E A C Q P D B E A C M Q P D B E A C 连接 PQ，CE 延长 CB 至 P，使 BPBC， 延长 ED 至 Q，使 DQDE， 如图，RtABCRtADE， ABCADE90 APC，AQE 是有公共顶角顶点 且顶角相等的两个等腰三角形 连接 CQ， M 为 CQ 的中点， 连接 MB，MD APQ

9、ACE MB1 2PQ，MD 1 2CE，PQCE， MBMD， 中考数学满分之路 第8页，共10页 7. 如图，以ABC 的 AB，AC 边为斜边在ABC 外部作 RtABP 和 RtACQ，且使ABPACQ，M 是 BC 的中点，连接 MP，MQ. 求证：PMQM 且PMQ2ABP. M Q B C A P 中考数学满分之路 第9页，共10页 8. 已知：等边ABC 中，CE 平分ACB，D 为 BC 边上一点，且 DEDC，连接 BE. （1）如图 1，若6 3BC =，4CE =，求 BE 的长； （2）如图 2，取 BE 中点 P，连接 AP、PD、AD，求证：APPD且3APPD=

10、； （3）在（1）的条件下，将CDE 绕点 C 顺时针旋转，如图 3，连接 BE，取 BE 中点 P，连接 AP、 AD，当 ECAD 时，求 AP 的长. 图1 E A BC D 图2 P E A BC D 图3 P A BC D E 中考数学满分之路 第10页，共10页 9. 如图 1，已知等腰 RtABC 中，E 为边 AC 上一点，过 E 点作 EFAB 于 F 点，以 EF 为边作正方形 EFAG，且 AC4，EF2 （1）如图 1，连接 CF，求线段 CF 的长 （2）将等腰 RtABC 绕 A 点旋转至如图 2 的位置，连接 BE，M 点为 BE 的中点，连接 MC、MF，求 MC 与 MF 的关系 （3）将ABC 绕 A 点旋转一周，请直接写出点 M 在这个过程中的运动路径长为_. 图1 B C F E G A 图2 M B C F E A G