函数极值与最值课件.ppt
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1、函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值1函数的函数的极值极值及其求法及其求法最大值最小值问题最大值最小值问题第五节第五节 函数的函数的极值极值与与 最大值最小值最大值最小值第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用(extreme value)函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值2定义定义,0的某邻域内的某邻域内若在若在x),()(0 xfxf 或或的一个的一个为函数为函数则称则称)()(0 xfxf)()(0 xfxf 极大值极大值(或极小值或极小值),函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值.极值点极值点.恒有恒有极小值极小值(
2、minimal value)极大值极大值(maximal value)一、函数的极值及其求法一、函数的极值及其求法1.函数极值的定义函数极值的定义使函数取得极值的点使函数取得极值的点x0(自变量自变量)称为称为函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值31x2x3x4x5x6x 函数的极大值、极小值函数的极大值、极小值 是是局部性局部性的的.在一个区间内在一个区间内,函数可能存在许多个极值函数可能存在许多个极值,最大值与最小值最大值与最小值,有的极小值可能大有的极小值可能大于某个极大值于某个极大值.只是只是一点附近一点附近的的 xyOab)(xfy 函数的极值与最大值最小值函数的极值与最
3、大值最小值4定理定理1 1(必要条件必要条件)注注如如,3xy ,00 xy.0不是极值点不是极值点但但 x(1)处处取取得得在在点点如如果果函函数数0)(xxf,0处可导处可导且在且在x的的叫做函数叫做函数为零的点为零的点使导数使导数)()(xfxf 驻点驻点.可导函数可导函数的极值点的极值点驻点却不一定是极值点驻点却不一定是极值点.但函数的但函数的2.极值的必要条件极值的必要条件必是必是驻点驻点,费马引理费马引理如果函数如果函数处处在在0)(xxf可导可导,0)(xxf在在且且处取得极值处取得极值,那么那么.0)(0 xf则必有则必有极值极值,3xy xyO.0)(0 xf函数的极值与最大
4、值最小值函数的极值与最大值最小值5xyO32xy 极值点也可能是导数不存在的点极值点也可能是导数不存在的点.如如,32xy 32xy 但但 怎样从怎样从驻点驻点中中与与导数不存在导数不存在的点判断一点的点判断一点单减的分界点单减的分界点,(2)不可导不可导.0 x是极小值点是极小值点.是不是极值点是不是极值点若若 x0 是连续函数是连续函数 f(x)单增、单增、则则 x0必为极值点必为极值点.几何上几何上,0 x在在函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值6定理定理2(2(第一充分条件第一充分条件)且在且在点连续点连续在在设设,)(0 xxf,),()1(00时时若当若当xxx 0)(
5、xf);0(,),(00时时当当 xxx0)(xf),0(则则)(0 xf为为极大值极大值,)()2(0附近不变号附近不变号在在若若xxf )(0 xf则则不是极值不是极值.(极小值极小值);极值的一阶充分条件极值的一阶充分条件3.极值的充分条件极值的充分条件xyO0 x xyO0 x .),(0o0内内可可导导的的某某去去心心邻邻域域 xUx函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值70 x0 x 一般求极值的步骤一般求极值的步骤求导数求导数;求驻点与不可导点求驻点与不可导点;求相应区间的导数符号求相应区间的导数符号,判别增减性判别增减性;求极值求极值.(1)(2)(3)(4)不是极值
6、点不是极值点 xyOxyO函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值8例例解解.)1()1()(323的极值及单调区间的极值及单调区间求求 xxxf322)1()1(3)(xxxf313)1()1(32 xx312)1(3)711()1(xxx(1)(2)驻点驻点:,1 x导数不存在的点导数不存在的点:.117 x.1 x(3)列表列表.求相应区间的导数符号求相应区间的导数符号,判别增减性判别增减性,确定极值点和极值确定极值点和极值.函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值9x)(xf)(xf),1(1)117,1(117)1,117(1)1,(0非极值非极值极小值极小值0)1(
7、f极极小小值值2.2)117(f极大值极大值 0 不存在不存在极大值极大值驻点驻点:,1 x导数不存在的点导数不存在的点:,117 x.1 x.)1()1()(323的极值及单调区间的极值及单调区间求求 xxxf )(xf312)1(3)711()1(xxx单调增加区间单调增加区间:).,1 ,117,1 ,1,(单调减少区间单调减少区间:.1,117 函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值10定理定理3(3(第二充分条件第二充分条件),0)(0 xf如果如果极大值极大值(极小值极小值).为为则则)(0 xf0)(0 xf),0(极值的二阶充分条件极值的二阶充分条件 对于对于驻点驻点
8、,有时还可以利用函数在该点有时还可以利用函数在该点处的处的二阶导数二阶导数的正负号来判断极值点的正负号来判断极值点.函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值11例例解解.20243)(23的极值的极值求求 xxxxf2463)(2 xxxf,令令0)(xf得得驻驻点点)2)(4(3 xx,66)(xxf )4(f18)4(f故极大值故极大值,60 )2(f18)2(f故极小值故极小值.48 .2,421 xx因为因为,0,0 函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值12注注,0)(0时时 xf仍用第一充分条件仍用第一充分条件定理定理3(3(第二充分条件第二充分条件)不能不能应用
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