6最值系列之费马点.pdf

1、1 最值系列之费马点 皮耶德费马，17 世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不 够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡 献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等 据说费马在提出“费马大定理”时，在笔记本上写道：我已经想到了一个绝妙的证明方法，但 是这个地方不够写，我就不写了吧。看得出那个时候纸确实挺贵的，然后，直到 1995 年， 才由英国数学家怀尔斯证明出，而距离费马逝世，已经过去了 330 年 果然，数学搞得好的都是装 x 的一把好手 言归正传，今天的问题不是费马提出来的，是他解决的，故

2、而叫费马点 问题：在ABC 内找一点 P，使得 PA+PB+PC 最小 【分析】在之前的最值问题中，我们解决的依据有：两点之间线段最短、点到直线 的连线中垂线段最短、作对称化折线段为直线段、确定动点轨迹求最值等 阿哈哈哈，此处一个也用不上！ 其实理论还是上面的理论， 本题难点在于有 3 条线段， 我们需要对这三条线段作一 些位置上的变化，如果能变换成在一条直线上，问题就能解决了！ 算了算了，不墨迹了，直接报答案了： 若点 P 满足PAB=BPC=CPA=120，则 PA+PB+PC 值最小，P 点称为该三角 形的费马点 接下来讨论 3 个问题： （1）如何作三角形的费马点？ （2）为什么是这个

3、点？ （3）费马点怎么考？ 2 一、如何作费马点 问题要从初一学到的全等说起： （1）如图，分别以ABC 中的 AB、AC 为边，作等边ABD、等边ACE （2）连接 CD、BE，即有一组手拉手全等：ADCABE （3）记 CD、BE 交点为 P，点 P 即为费马点 （到这一步其实就可以了） （4） 以 BC 为边作等边BCF， 连接 AF， 必过点 P， 有PAB=BPC=CPA=120 在图三的模型里有结论： （1）BPD=60； （2）连接 AP，AP 平分DPE 有这两个结论便足以说明PAB=BPC=CPA=120 原来在“手拉手全等”就已经 见过了呀，只是相逢何必曾相识！ 但是在这里

4、有个小小的要求，细心的同学会发现，这个图成立的一个必要条件是 BACBE 还剩下第 3 个问题！如果说费马点以前还算是课外的拓展内容，那现在，已经有人 把它搬上了中考舞台！ 三、费马点怎么考？ 直接考，要不然还能怎么考？ 看看今年 2019 武汉中考填空最后一题： 问题背景：如图 1，将ABC 绕点 A 逆时针旋转 60得到ADE，DE 与 BC 交于点 P，可 推出结论：PA+PC=PE 问题解决：如图 2，在MNG 中，MN=6，M=75，MG=4 2，点 O 是MNG 内一点， 则点 O 到MNG 三个顶点的距离和的最小值是_ 【分析】本题的问题背景实际上是提示了解题思路，构造 60的旋

5、转，当然如果已经了解 了费马点问题，直接来解决就好了！ 如图，以 MG 为边作等边MGH，连接 NH，则 NH 的值即为所求的点 O 到MNG 三个顶 点的距离和的最小值 （此处不再证明） 5 过点 H 作 HQNM 交 NM 延长线于 Q 点， 根据NMG=75，GMH=60，可得HMQ=45， MHQ 是等腰直角三角形， MQ=HQ=4， NH= 22 100162 29NQHQ 【练习】如图，在ABC 中，ACB=90，AB=AC=1，P 是ABC 内一点，求 PA+PB+PC 的最小值 【分析】如图，以 AD 为边构造等边ACD，连接 BD，BD 的长即为 PA+PB+PC 的最小值至

6、于点 P 的位置？这不重要！ 如何求 BD？考虑到ABC 和ACD 都是特殊的三角形， 过点 D 作 DHBA 交 BA 的延长线于 H 点，根据勾股定理， 222 BDBHDH即可得出结果 6 【练习】如图，已知矩形 ABCD，AB=4，BC=6，点 M 为矩形内一点，点 E 为 BC 边上任意 一点，则 MA+MD+ME 的最小值为_ 【分析】依然构造 60旋转，将三条折线段转化为一条直线段 分别以 AD、AM 为边构造等边ADF、等边AMG，连接 FG， 易证AMDAGF，MD=GF ME+MA+MD=ME+EG+GF 过 F 作 FHBC 交 BC 于 H 点，线段 FH 的长即为所求的最小值