2019年北京卷理数高考试题精确校正版（含答案）.docx

1、绝密绝密本科目考试本科目考试启用前启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理）（北京卷） 本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试 结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知复数 z=2+i，则z z （A）3 （B）5 （C）3 （D）5 （2）执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 （3）已知直线 l 的参数方程为 1 3 ,

2、 24 xt yt （t 为参数），则点（1，0）到直线 l 的距离是 （A） 1 5 （B） 2 5 （C） 4 5 （D） 6 5 （4）已知椭圆 22 22 1 xy ab （ab0）的离心率为 1 2 ，则 （A）a2=2b2 （B）3a2=4b2 （C）a=2b （D）3a=4b （5）若 x，y 满足|1|xy ，且 y1，则 3x+y 的最大值为 （A）7 （B）1 （C）5 （D）7 （6）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足 m2m1= 5 2 lg 2 1 E E ， 其中星等为 mk的星的亮度为 Ek（k=1，2）已知太阳的星等是26.7

3、，天狼星的星等是1.45，则太阳与 天狼星的亮度的比值为 （A）1010.1 （B）10.1 （C）lg10.1 （D）1010.1 （7）设点 A，B，C 不共线，则“AB与AC的夹角为锐角”是“| |ABACBC”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （8）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线 C： 22 1 |xyx y 就是其中之一（如图）给出 下列三个结论： 曲线 C 恰好经过 6 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； 曲线 C 上任意一点到原点的距离都不超过 2； 曲线 C 所围成的“心形”区域的面积小于 3 其中

4、，所有正确结论的序号是 （A） （B） （C） （D） 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 （9）函数 f（x）=sin22x 的最小正周期是_ （10）设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a2=3，S5=10，则 a5=_，Sn的最小值为_ （11）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示如果网格纸上小正方形的边长 为 1，那么该几何体的体积为_ （12）已知 l，m 是平面外的两条不同直线给出下列三个论断： lm； m； l 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_ （13）设

5、函数 f（x）=ex+aex（a 为常数）若 f（x）为奇函数，则 a=_；若 f（x）是 R 上的增函数， 则 a 的取值范围是_ （14）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为 60 元/盒、65 元/盒、80 元/盒、90 元/盒为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价 达到 120 元，顾客就少付 x 元每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的 80% 当 x=10 时，顾客一次购买草莓和西瓜各 1 盒，需要支付_元； 在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则 x 的最大值为 _ 三、解答

6、题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题 13 分） 在ABC 中，a=3，bc=2，cosB= 1 2 （）求 b，c 的值； （）求 sin（BC）的值 （16）（本小题 14 分） 如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，ADCD，ADBC，PA=AD=CD=2，BC=3E 为 PD 的中点，点 F 在 PC 上，且 1 3 PF PC （）求证：CD平面 PAD； （）求二面角 FAEP 的余弦值； （）设点 G 在 PB 上，且 2 3 PG PB 判断直线 AG 是否在平面 AEF 内，说明理由 （17）（本小题 13 分

7、） 改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变近年来，移动支付已成为主要支付方式之一为了 解某校学生上个月 A，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了 100 人，发现样本中 A， B 两种支付方式都不使用的有 5 人， 样本中仅使用 A 和仅使用 B 的学生的支付金额分布情况如下： 支付金额 （元） 支付方式 （0，1000 （1000，2000 大于 2000 仅使用 A 18 人 9 人 3 人 仅使用 B 10 人 14 人 1 人 （）从全校学生中随机抽取 1 人，估计该学生上个月 A，B 两种支付方式都使用的概率； （）从样本仅使用 A 和仅使用 B 的学生中各随机

8、抽取 1 人，以 X 表示这 2 人中上个月支付金额大于 1000 元的人数，求 X 的分布列和数学期望； （） 已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化 现从样本仅使用 A 的学生中， 随机抽查 3 人， 发现他们本月的支付金额都大于 2000 元根据抽查结果，能否认为样本仅使用 A 的学生中本月支付金 额大于 2000 元的人数有变化？说明理由 （18）（本小题 14 分） 已知抛物线 C：x2=2py 经过点（2，1） （）求抛物线 C 的方程及其准线方程； （）设 O 为原点，过抛物线 C 的焦点作斜率不为 0 的直线 l 交抛物线 C 于两点 M，N，直线 y=1 分 别交直线 O

9、M，ON 于点 A 和点 B求证：以 AB 为直径的圆经过 y 轴上的两个定点 （19）（本小题 13 分） 已知函数 32 1 ( ) 4 f xxxx （）求曲线( )yf x的斜率为 1 的切线方程； （）当 2,4x 时，求证：6( )xf xx； （）设( ) |( )()|()F xf xxaaR，记( )F x在区间 2,4上的最大值为 M（a）当 M（a） 最小时，求 a 的值 （20）（本小题 13 分） 已知数列an，从中选取第 i1项、第 i2项、第 im项（i1|AB-AC| |AB+AC|2|AB-AC|2 AB AC0 AB 与AC 的夹角为锐角.故“AB与AC的夹

10、角为锐角”是“|AB+AC|BC|”的充分必要条件,故选 C. 【点睛】本题考查充要条件的概念与判断平面向量的模夹角与数量积,同时考查了转化与化归数学思想. 8.【答案】C 【解析】将所给方程进行等价变形确定 x 的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到 坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围. 详解】 由 22 1xyx y 得, 22 1yx yx , 2 22 2 |334 1,10, 2443 xxx yx 厔, 所以x可为的整数有 0,-1,1,从而曲线 22 :1C xyx y 恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,

11、1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论正确. 由 22 1xyx y 得, 22 22 1 2 xy xy ,解得 22 2xy,所以曲线C上任意一点到原点的距离都不 超过 2. 结论正确. 如图所示,易知0, 1 ,1,0 ,1,1, ,0,1ABCD, 四边形ABCD的面积 13 1 1 1 1 22 ABCD S ,很明显“心形”区域的面积大于2 ABCD S,即“心形”区 域的面积大于 3,说法错误. 故选 C. 【点睛】本题考查曲线与方程曲线的几何性质，基本不等式及其应用,属于难题,注重基础知识基本运算 能力及分析问题解决问题的能力考查,渗透“美育思想”. 二、填空题（共6

12、小题，每小题5分，共30分） 9.【答案】 2 【解析】将所给的函数利用降幂公式进行恒等变形，然后求解其最小正周期即可. 【详解】函数 2 sin 2f xx 14 2 cos x ,周期为 2 【点睛】本题主要考查二倍角的三角函数公式三角函数的最小正周期公式，属于基础题. 10.【答案】 (1). 0. (2). -10. 【解析】首先确定公差,然后由通项公式可得 5 a的值，进一步研究数列中正项负项的变化规律,得到和的最 小值. 【详解】等差数列 n a中, 53 510Sa ,得 32 2,3aa ,公差 32 1daa, 53 20aad, 由等差数列 n a的性质得5n时,0 n a

13、 ,6n时, n a大于 0,所以 n S的最小值为 4 S或 5 S,即为10. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式求和公式等差数列的性质,难度不大,注重重要知识基础知识基 本运算能力的考查. 11.【答案】40. 【解析】画出三视图对应的几何体，应用割补法求几何体的体积. 【详解】在正方体中还原该几何体，如图所示 几何体的体积 V=43- 1 2 （2+4） 2 4=40 【点睛】易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算. 12.【答案】如果 l，m，则 lm. 【解析】将所给论断，分别作为条件、结论加以分析. 【详解】将所给论断，分别作为条件

14、、结论，得到如下三个命题： （1）如果 l，m，则 lm. 正确； （2）如果 l，lm，则 m.不正确，有可能 m在平面 内； （3）如果 lm，m，则 l.不正确，有可能 l与 斜交、l. 【点睛】本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力. 13.【答案】 (1). -1; (2). ,0. 【解析】首先由奇函数的定义得到关于a的恒等式，据此可得a的值，然后利用导函数的解析式可得 a 的取 值范围. 【详解】若函数 xx f xeae为奇函数,则 , xxxx fxf xeaeeae ， 1 0 xx aee 对任意的x恒成立. 若函数 xx f xeae是R上的增

15、函数,则 0 xx fxeae恒成立, 2 ,0 x aea. 即实数a的取值范围是,0 【点睛】本题考查函数的奇偶性单调性利用单调性确定参数的范围.解答过程中,需利用转化与化归思想, 转化成恒成立问题.注重重点知识基础知识基本运算能力的考查. 14.【答案】 (1). 130. (2). 15. 【解析】 （1）将购买的草莓和西瓜加钱与 120 进行比较，再根据促销规则可的结果； （2）根据120y、120y 分别探究. 【详解】 （1）x=10，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒， 需要支付（60+80）-10=130 元. （2）设顾客一次购买水果的促销前总价为 y元， 120y 元时，李明得

16、到的金额为 y 80%，符合要求. 120y 元时，有（y-x）80%y 70%成立， 即 8（y-x）7y，x 8 y ，即 x（ 8 y ）min=15元. 所以 x 的最大值为 15. 【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质、数学的应用意识、数学式子变形与运算求解能力，有一定难 度. 三、解答题（共6小题，共80分） 15.【答案】() 3 7 5 a b c ； () 23 7 . 【解析】()由题意列出关于 a,b,c 的方程组，求解方程组即可确定 b,c的值； ()由题意结合正弦定理和两角和差正余弦公式可得sin BC的值. 【详解】()由题意可得： 222 1 cos 22 2

17、3 acb B ac bc a ，解得： 3 7 5 a b c . ()由同角三角函数基本关系可得： 2 3 sin1 cos 2 BB， 结合正弦定理 sinsin bc BC 可得： sin5 3 sin 14 cB C b ， 很明显角 C为锐角，故 2 11 cos1 sin 14 CC， 故 2 sinsincoscossin3 7 BCBCBC. 【点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，两角和差正余弦公式的应用等知识，意在考查学生的 转化能力和计算求解能力. 16.【答案】()见解析；() 3 3 ；()见解析. 【解析】()由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；

18、 ()建立空间直角坐标系，结合两个半平面的法向量即可求得二面角 F-AE-P 的余弦值； ()首先求得点 G的坐标，然后结合平面AEF的法向量和直线 AG的方向向量可判断直线是否在平面内. 【详解】()由于 PA平面 ABCD，CD平面 ABCD，则 PACD， 由题意可知 ADCD，且 PAAD=A， 由线面垂直的判定定理可得 CD平面 PAD. ()以点 A为坐标原点，平面 ABCD内与 AD 垂直的直线为 x 轴，AD,AP 方向为 y 轴，z轴建立如图所示的 空间直角坐标系A xyz ， 易知：0,0,0 ,0,0,2 ,2,2,0 ,0,2,0APCD， 由 1 3 PFPC可得点

19、F的坐标为 2 2 4 , 3 3 3 F ， 由 1 2 PEPD可得0,1,1E， 设平面 AEF 的法向量为：, ,mx y z，则 2 2 4224 , ,0 3 3 3333 , ,0,1,10 m AFx y zxyz m AEx y zyz ， 据此可得平面 AEF的一个法向量为：1,1, 1m ， 很明显平面 AEP 的一个法向量为1,0,0n ， 13 cos, 33 1 m n m n mn ， 二面角 F-AE-P 的平面角为锐角，故二面角 F-AE-P 的余弦值为 3 3 . ()易知0,0,2 , 2, 1,0PB，由 2 3 PGPB可得 42 2 , 33 3 G

20、 ， 则 42 2 , 33 3 AG ， 注意到平面 AEF 的一个法向量为：1,1, 1m ， 其 0m AG 且点 A 在平面 AEF内，故直线 AG在平面 AEF内. 17.【答案】() 2 5 ；()见解析；()见解析. 【解析】()由题意利用古典概型计算公式可得满足题意的概率值； ()首先确定 X可能的取值，然后求得相应的概率值可得分布列，最后求解数学期望即可. ()由题意结合概率的定义给出结论即可. 【详解】()由题意可知，两种支付方式都是用的人数为：100 30 25 540 人，则： 该学生上个月 A，B两种支付方式都使用的概率 402 1005 p . ()由题意可知， 仅

21、使用 A 支付方法的学生中，金额不大于 1000的人数占 3 5 ，金额大于 1000的人数占 2 5 ， 仅使用 B 支付方法的学生中，金额不大于 1000的人数占 2 5 ，金额大于 1000的人数占 3 5 ， 且 X 可能的取值为 0,1,2. 326 0 5525 p X ， 22 3213 1 5525 p X ， 326 2 5525 p X ， X分布列为： X 0 1 2 p X 6 25 13 25 6 25 其数学期望： 6136 0121 252525 E X . ()我们不认为样本仅使用 A 的学生中本月支付金额大于 2000元的人数有变化.理由如下： 随机事件在一次

22、随机实验中是否发生是随机的，是不能预知的，随着试验次数的增多，频率越来越稳定于 概率。 学校是一个相对消费稳定的地方，每个学生根据自己的实际情况每个月的消费应该相对固定，出现题中这 种现象可能是发生了“小概率事件”. 【点睛】本题以支付方式相关调查来设置问题，考查概率统计在生活中的应用，考查概率的定义和分布列 的应用，使学生体会到数学与现实生活息息相关. 18.【答案】() 2 4xy ， 1y ；()见解析. 【解析】()由题意结合点的坐标可得抛物线方程，进一步可得准线方程； ()联立准线方程和抛物线方程，结合韦达定理可得圆心坐标和圆的半径，从而确定圆的方程，最后令 x=0 即可证得题中的结

23、论. 【详解】()将点2, 1代入抛物线方程： 2 221p 可得：2p ， 故抛物线方程： 2 4xy ，其准线方程为： 1y . ()很明显直线l的斜率存在，焦点坐标为 0, 1， 设直线方程为1ykx，与抛物线方程 2 4xy 联立可得： 2 440xkx . 故： 1212 4 ,4xxk x x . 设 22 12 12 , 44 xx M xN x ，则 12 , 44 OMON xx kk ， 直线OM的方程为 1 4 x yx ，与1y 联立可得： 1 4 , 1A x ，同理可得 2 4 , 1B x ， 易知以 AB为直径的圆的圆心坐标为： 12 22 , 1 xx ，圆的

24、半径为： 12 22 xx ， 且： 12 1212 222 2 xx k xxx x ， 2 1212 2 1212 4 22 221 xxx x k xxx x ， 则圆的方程为： 22 2 2141xkyk， 令0x整理可得： 2 230yy ，解得： 12 3,1yy ， 即以 AB 为直径的圆经过 y轴上的两个定点 0, 3 , 0,1. 【点睛】本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定，直线与抛物线的位置关系，圆的方程的求解 及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 19.【答案】 （）0xy和27 27640xy. （）见解析； （）3a . 【解析】()首先求

25、解导函数，然后利用导函数求得切点的横坐标，据此求得切点坐标即可确定切线方程； ()由题意分别证得 60f xx和 0f xx即可证得题中的结论； ()由题意结合()中的结论分类讨论即可求得 a的值. 【详解】 （） 2 3 ( )21 4 fxxx，令 2 3 ( )211 4 fxxx 得0x或者 8 3 x . 当0x时，(0)0f，此时切线方程为y x ，即0xy； 当 8 3 x 时， 88 ( ) 327 f，此时切线方程为 64 27 yx，即2727640xy； 综上可得所求切线方程为0xy和2727640xy. （）设 32 1 ( )( ) 4 g xf xxxx， 2 3

26、( )2 4 g xxx，令 2 3 ( )20 4 g xxx得0x或者 8 3 x ， 所以当 2,0x 时，( )0g x ，( )g x为增函数； 当 8 (0, ) 3 x时，( )0g x ，( )g x为减函数； 当 8 ,4 3 x 时，( )0g x ，( )g x为增函数； 而(0)(4)0gg，所以( )0g x ，即( )f xx； 同理令 32 1 ( )( )66 4 h xf xxxx，可求其最小值为( 2)0h ，所以( )0h x ，即( )6f xx， 综上可得6( )xf xx. （）由（）知6( )0f xx ， 所以( )M a是,6a a中的较大者，

27、 若6aa，即3a时，( )3M aaa ； 若6aa，即3a时，( )663M aaa； 所以当( )M a最小时，( )3M a ，此时3. 【点睛】本题主要考查利用导函数研究函数的切线方程，利用导函数证明不等式的方法，分类讨论的数学 思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 20.【答案】() 1,3,5,6.()见解析；()见解析. 【解析】()由题意结合新定义的知识给出一个满足题意的递增子列即可； ()利用数列的性质和递增子列的定义证明题中的结论即可； ()观察所要求解数列的特征给出一个满足题意的通项公式，然后证明通项公式满足题中所有的条件即可. 【详解】()满足题意的一个

28、长度为 4 的递增子列为：1,3,5,6. ()对于每一个长度为q的递增子列 12 , q a aa， 都能从其中找到若干个长度为p的递增子列 12 , p a aa ， 此时 pq aa ， 设所有长度为q的子列的末项分别为： 123 , qqq aaa， 所有长度为p的子列的末项分别为： 123 , ppp aaa， 则 0123 min, nqqq aaaa， 注意到长度为p的子列可能无法进一步找到长度为q的子列， 故 0123 min, mppp aaaa， 据此可得： 00 mn aa ()满足题意的一个数列的通项公式可以是 1, 2,1,4,3,6,5,8,7, 1, n nn a

29、 nn 为偶数 为奇数 ， 下面说明此数列满足题意. 很明显数列为无穷数列，且各项均为正整数，任意两项均不相等. 长度为s的递增子列末项的最小值为 2s-1， 下面用数学归纳法证明长度为 s末项为 2s-1 的递增子列恰有 1 2s个 1,2,s ： 当1n 时命题显然成立， 假设当nk 时命题成立，即长度为 k 末项为 2k-1 的递增子列恰有 1 2k个， 则当1nk时，对于nk 时得到的每一个子列 121 ,21 k sss aaak ， 可构造： 121 ,21,211 k sss aaakk 和 121 ,2 ,211 k sss aaakk 两个满足题意的递增子列， 则长度为 k+

30、1 末项为 2k+1的递增子列恰有 111 2 222 kkk 个， 综上可得，数列 1, 2,1,4,3,6,5,8,7, 1, n nn a nn 为偶数 为奇数 是一个满足题意的数列的通项公式. 注：当3s 时，所有满足题意的数列为： 2,3,5 , 1,3,5 , 2,4,5 , 1,4,5， 当4s 时，数列2,3,5对应的两个递增子列为：2,3,5,7和2,3,6,7. 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去 解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看 本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜 法宝.