微元法处理速度关联问题.pdf

1、微元法处理关联速度类问题微元法处理关联速度类问题 因高中教材不讲授相对运动，关联速度也较少进行理论分析，因此，当学生遇到稍微复杂点儿的关联 速度类试题时，普遍感觉理解和分析的困难，即便教师着意补充了前两个方面的内容，很多学生还是觉得 难以想象。 其实，所有这类问题，全部可以用微元法用几何图示的方法直观的展现和计算，这对绝大部 分学生来说，就比相对运动、关联速度的思路容易理解得多。 【例 1】如图 1 所示，当小车 A 以恒定的速度 v 向左运动时，对于 B 物体， 下列说法正确的是() A匀加速上升 BB 物体受到的拉力大于 B 物体受到的重力 C匀速上升 DB 物体受到的拉力等于 B 物体受

2、到的重力 解析本题是很常规的绳连接问题，将 A 车的速度沿绳、垂直绳分解，用沿 绳方向分速度相等即可轻松解决。下面以微元法来解本题。 设 A 车在极短时间t内向左运动一小段距离 xA， 则 B 的位移与 A 的位移关系如图所示，由几何关系，有： cos BA xx 两边除以t，得 cos BA vv 在此基础上，易得 B 答案正确。 【例 2】如图所示，细绳一端固定在天花板上的 O 点，另一端穿过一 张 CD 光盘的中央小孔后拴着一个橡胶球，橡胶球静止时，竖直悬线刚好 挨着水平桌面的边沿现将 CD 光盘按在桌面上，并沿桌面边缘以速度 v 匀速移动，移动过程中，CD 光盘中央小孔始终紧挨桌面边线

3、，当悬线与竖 直方向的夹角为时，小球上升的速度大小为（） AvsinBvcos CvtanDvcot 解析本题按常规思路，需要用到相对运动和运动的分解合成，对很多学生来说这是有一定理解困难 的。若是采用微元法，则问题却变得简单而直接。 设光盘在极短时间t内向右运动一小段位移 x，由几何关系易知，小球水平位移也为 x，竖直位移为 sinyx 两边除以时间t，得小球上升的速度（竖直速度）为 sin y vv 小球的位移为 222 1 sinxxyx 两边除以t，得小球的速度为 2 1 sinvv 【例 3】如图 3 所示，顶角60、光滑 V 字形轨道 AOB 固定在竖直平 面内，且 AO 竖直一水

4、平杆与轨道交于 M、N 两点，已知杆自由下落且始终 保持水平，经时间 t 速度由 6 m/s 增大到 14 m/s(杆未触地)，则在 0.5t 时，触 点 N 沿倾斜轨道运动的速度大小为(g 取 10 m/s2)() xA xB xB y y x x A10 m/sB17 m/sC20 m/sD28 m/s 解析本题按常规思路，需要用到相对运动和运动的分解合成，对很多学生来说这是有一定理解困难 的。若是采用微元法，则问题却变得简单而直接。 杆做自由落体运动，0.5t 时刻，其竖直下落的速度为 0 10m/s 2 t vv v 设杆在极短时间t内竖直下落位移为 x，则由几何关系，有触 点 N 沿

5、倾斜轨道运动的位移为 /cos N xx 两边除以t，得 /cos20m/s N vv 【例 4】如图所示为竖直黑板，下边为黑板的水平槽，现有一三角板 ABC，C=30三角板上 A 处 固定一大小不计的滑轮，现让三角板竖直紧靠黑板，BC 边与黑板的水平槽重合，将一细线一端固定在黑 板上与 A 等高的 Q 点，另一端系一粉笔头（可视为质点）粉笔头最初与 C 重合，且细线绷紧。现用一 水平向左的力推动三角板向左移动， 保证粉笔头紧靠 黑板的同时，紧靠三角板的 AC 边，当三角板向左移 动的过程中，粉笔头会在黑板上留下一条印迹，关于 此印迹，以下说法正确的是：（） A若匀速推动三角板，印迹为一条直线

6、 B若匀加速推动三角板，印迹为一条曲线 C若变加速推动三角板，印迹为一条曲线 D无论如何推动三角板，印迹均为直线，且印 迹与 AC 边成 75角 解析教学实践表明，用相对运动固然简洁明快，但是 很多学生无法理解老师究竟在讲什么，而如果采用微元法讲 解本题，学生普遍觉得好理解。 如右图所示， 设三角板在极短时间t内向左运动位移为 x，则粉笔头沿斜面上升的距离也为 x，粉笔头对地的位移为 x，则由几何关系易知，无论如何向左推动三角板，印迹 均为直线，且印迹与 AC 边成 75角。 【例 5】在一大型超市小偷被保安发现，小偷一以不变速度 v1沿着直线 AB 逃跑，保安以不变的速率 v2追击，其运动方

7、向始终对准小偷某时刻小偷在 F 处，保安在 D 处，FDAB（如图），试求此时保安的加速度的大小(弧可以 看成圆周运动的一部分) 解析要解决这个问题，高中阶段几乎只能用微元法。 经过一段极短的时间t， 保安和小偷各运动一段路程后， 两者的位置如图 所示，则有 11 xvt， 22 xvt 且 12 xx L 联立，得保安轨迹半径为： 2 1 v L v 则此时保安的加速度的大小为： 2 21 2 vv v a L N xN x x x x x x1 x2 v2 【例 6】如图所示，将质量为 2m 的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为 m 的小环，小 环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定

8、滑轮与直杆的距离为 d. 现将小环从与定滑轮等高的 A 处由静止释 放，B 处在 A 处正下方距离为 d 处，则下列说法正确的是 A小环刚释放时轻绳中的张力一定大于 2mg B小环在 B 处的速度与重物上升的速度大小之比等于2 C小环下降速度最大时，轻绳中的张力一定等于 2mg D小环从 A 处开始能够下降的最大高度为 4 3 d 解析本题 B、 D 选项学生基本上都能应付， 笔者在此着重分析 A、 C 选项。 按常规思路，我们需要根据机械能守恒定律和牛顿定律，算出小环、重物速度随时间变化的函数，然 后对时间求导。但是，若用微元法，则更简单直接。 （1）A 选项： 设小环经过一段极短的时间 t

9、 下落一小段距离 y，小环的速度增加为 v1，此时重物上升的速度为 v2， 则有： 2 1 tan 2 ygtd， 21sin sinvvgt 而sintan，则有： 2 2 3 2 1 2 2 gt g t vgt dd 则重物上升的加速度为： 2 2 2 2 vg t a td 当取 t0 时，易知 a=0. 则绳中张力等于 2mg. （2）C 选项： 当小环速度最大时，小环加速度为零，经过一段极短的时间t， 小环的速度和重物的速度关系及其变化如图所示，由图极易看出，重 物速度 v2的大小增大了，即重物具有竖直向上的加速度，则绳中张力 大于 2mg. 更细致的分析如下： 将 v1垂直于绳方

10、向分速度 v的变化量v分解为v1、vn1， v1沿绳方向分速度 vn的变化量vn分解为v2、 vn2，由于小环的加速度为 0，必有： vvn 则有：v1v2，vn1vn2 其中，vn1产生的加速度大小为： 2223 n111 n1 (cos )cos /cos vvvvvvv a ttlldd 方向由小环指向滑轮，即为向心加速度。 vn2产生的加速度大小为： 23 n2n11 n2n1 cos vvv aa ttd 其中负号表示该加速度沿绳向左下方。 故此时重物上升的加速度为： 23 1 n2 cos | v aa d ，可知绳中张力大于 2mg. d v2 v1 y v d v2 v1 y v1 v2 v2 v1 v2 v l v v v d v2 v1 y v1 v2 v2 v1 v2 v l v v1 vn1 vn v2 vn2