万有引力与航天.docx

1、第六章 万有引力与航天 知识点一 天体的运动 1人类对天体运动的认识过程 托勒密：地心说。 哥白尼：日心说 第谷：大量观测数据 开普勒：行星运动三大定律 2开普勒三定律 开普勒第一定律：又称轨道定律，所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦 点上 开普勒第二定律：又称面积定律，对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间 内扫过的 面积相等 开普勒第三定律：又称周期定律，所有行星轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的 比值相等用 公式表示： R 3 T 2 k ，其中比例常数 k 与行星无关只与太阳有 关 知识点二 万有引力定律 1 万有引力定律 定律内容：自然界中任何两个

2、物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比， 跟它们距离的二次方成反比 2 公式： mm F G 公式中的 G 叫做引力常量， G 6.6710 11 N m2 / kg2 r 2 物理意义：对于任何物体来说，G 值都是相同的，它在数值上等于质量为 1kg 的两个物体，相距1m 时 的相互作用 力 3对万有引力定律 的理解 （1）适用条件： 当两个物体间的距离远远大于每个物体的尺寸时，物体可以看成质点，直接使用万有引力定律计 算 当两物体是质量分布均匀的球体时，它们之间的引力也可直接用公式计算，但式中 r 是指两球 心间 距离 当研究物体不能看成质点时，可以把物体假想分割成无

3、数个质点，求出两个物体上每个质点 与另一 物体上所有质点的万有引力，然后求合力 （2）万有引力的性质： 普遍性：相互性：一般物体之间虽然存在万有引力，但是很小，天体与物体之间或天体之间的 万有引力才比较显著因此在涉及天体运动时，才考虑万有引力 知识点三 重力、重力加速度与万有引力的关系 1地球上的重力和万有引力的关系 在地球表面上的物体所受的万有引力 F引 可以分解成物体所受的重力 mg 和 随地球自转而做圆周运动的向心力 F ，如图所示，其中 F mr ， 2 Mm F G 引 ，而 R 2 （1）当物体在赤道上时，F 引 、mg 、F 三 力同向，此时 F 达到最大值 引 、mg 、F 三

4、力同向，此时 F 达到最大值 F F M 重力加速度达到最小值 g 引 G R 2 ； min 2 m R F mr 2 max （2）当物体在两极的极点时， F 0 ， F mg 引 ，此时重力等于万有引力，重力加速度达到最大值，此最 大值为 M g G ； max 2 R 因为地球自转角速度很小， Mm G mR mg G 2 R 2 ，所以在一般情况下计算时认为 Mm R 2 。 2天体表面的重力和重力加速度 在质量为 M 、半径为 R 的天体表面上，若忽略天体自转影响，质量为 m 的物体的重力加速度 g 可以认为 1 是由万有引力产生的，则 Mm mg G ， 得： R 2 M g G

5、 （ R 为天体半径， M 为天体质 量）。 R 2 由此可得不同星球表面重力加速度的关系为： 3求某高度处的重力加速度 g R M 2 1 2 1 g R M 2 2 1 2 设离星球表面高度为 h 处的重力加速度为 重力加速度随高度的增加而减小。 g ，则 h mg G h Mm (R h) ， 则 2 g G h M ( ) ， R h 2 星球表面的重力加速度和某高度处的重力加速度之间的关系为： 知识点四 天体质量和密度的计算 1天体质量的计算 g R 2 h g (R h) 2 （1）已知行星的公转半径 r ，公转周期T ，设行星的质量为 m ，中心天体质量为 M 那么由万有引力定律

6、得： 2 2 2 F m r m( ) r 向 T 根据圆周运动规律， F向 F ， 即 万 Mm 2 G m( ) r 2 r T 2 ，所以 M 4 r 2 3 GT 2 mg G （2）已知天体：半径 R 和天体表面的重力加速度 g ，根据 Mm R 2 得 M gR 2 G GMm v 2 m ， 得： r r 2 M rv 2 G （3）已知行星绕中心天体做匀速圆周运动的线速度 v 和轨道半径 r ，根据 （5）已知行星绕中心天体运行的线速度 v 和周期T ，根据 GMm 2 mv r T 2 和 GMm mv 2 r r 2 得： M v T 3 2G 2天体密度的测定 （1）天体

7、质量测出后，如果能求出天体的体积，那么天体的密度可以测定，即 M 4r 3r 3 3 V 4 R GT R 3 2 3 GT 2 3 式中 r 为行星的公转轨道半径， R 为中心天体的半径，T 为行星的公转周期 若行星为中心天体的近地卫星，则 r R ，中心天体的密 度 3 GT 2 M gR 2 G M ，求出天体质量 gR 2 G （2）天体半径与天体表面的重力加速度已知时，根据 ，则天体密度 M gR 3g 2 V G R GR 4 4 3 3 3“星体自转不解体”模型 指星球表面上的物体随星球自转而绕自转轴（某点） 做匀速圆周运动，其特点为： 具有与星球自转相同的角速度和周期； 万有引

8、力除提供物体做匀速圆周运动 所需的向心力外，还要产生重力 知识点五 圆周运动各物理量与轨道半径的关系 1.基本方法：将天体运动或卫星运动看成匀速圆周运动，向心力由万有引力提供，因此可以根据万有引力 定律、牛顿第二定律及向心力公式来求解各类问题 Mm v 4 r 2 2 2 F G m mr m r r T 2 2 1. 2 式中 M 为中心天体的质量， m 为环绕天体的质量， a 、v、 和T 分别表示环绕天体做圆周运动的向心 加 n 速度、线速度、角速度和周期根据问题的特点条件，灵活选用的相应的公式进行分析求 解 2.当天体做稳定的匀速圆周运动时，天体 a 、 v 、 、T 、 、 r 间的

9、关系如下： GM 1 ma a a (轨道所在处重力加速度 g ) r r 2 2 v GM 1 2 m v v r r r Mm F G F 万 向 r GM 1 2 2 m r 3 3 r r 2 2 3 4 4 r m r T T r 3 T GM 2 2. 口诀：高轨低速大周期 知识点六 人造卫星和宇宙速度 1如图所示三种轨道中， b 、 c 轨道经过地心，可以存在，而 a 轨道不存在 2人造卫星的运动学特征（ m1 为地球质量， r 为卫星轨道半径） 人造卫星绕地球做圆周运动时，由万有引力提供环绕地球做圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律： （1）由 m m v 2 G 1 2 m 2

10、 2 r r Gm 得 v 1 ， r 越大， v 越 小 r （2）由 m m G m r 1 2 2 Gm 2 2 r 得 1 ， r 越大， 越 小 r m m 4 （3）由 G 1 2 m r 得 T 2 r T 2 2 4 r 2 3 ， r 越大，T 越大 Gm 1 取 r R 6400km 代入有 min 84 min T 这是地球卫星的最小周期，任何实际卫星的周期均大于该值 3三种宇宙速度 （1）第一宇宙速度（环绕速度） 卫星绕地球做匀速圆周运动的最大环绕速度 1 7.9km/s v ，此值为人造卫星在地面附近做匀速圆周运动所 必须具有的速度，叫第一宇宙速度同时它也是发射卫星的

11、最小速度，小于这个速度，不可能发射卫星 求第一宇宙速度有两种方法： Mm v 2 G m R R 2 由 v ，得 GM R ； v 2 mg m R ，得 v gR 由 其他星球的第一宇宙速度计算方法同上，M 为该星球的质量，R 为该星球的半径，g 为该星球表面的重力 加速度依据已知条件，灵活选用计算公式 （2）第二宇宙速度（脱离速度） 3 卫星或飞船要想脱离地球的引力束缚，成为绕太阳运动的人造行星或飞到其他行星上去所必需的最小发射 速度，称为第二宇宙速度，其大小为11.2km/s （3）第三宇宙速度（逃逸速度） 地面上的物体发射出 去，使之最后能脱离太阳的引力范围，飞到太阳系以外的宇宙空间

12、所必需的最小发射 速度，称为第三宇宙速度，其大小为16.7km/s （4）地球同步卫星是指，位于赤道上方，相对于地面 静止的、运行周期与地球的自转周期 (T 24h) 相等 的卫星，这种卫星主要用于全球通信和转播电视信号又叫做同步通信卫星 同步卫星：概括为“六个一定” 位置一定（必须位于地球赤道的上空） 周期一定 (T 24h) 高度一定 (h 3.610 km) 速率一定（v 3.1km/s） 4 向心加速度一定 ( 0.228m/s ) a 运行方向一定（自西向东运 行） 2 n 知识点七 变轨问题及卫星追及问题 1稳定运行：卫星稳定运行时万有引力提供了卫星做圆周运动的向心力。 2变轨运行

13、：当卫星的速 度突然发生变化时，向心力与万有引力不再相等，解答这一模型的有关问题， 可根据圆周运动的向心力供求平衡关系进行分析求解： 3 2 Q P 1 若 F F 供 求 ，供求平衡物体做匀速圆周运动； 若 F F 供 求 ，供不应求物体做离心运动； 若 F F 供 求 ，供过于求物体做向心运动 知识点八 卫星及天体相遇问题 两天体（行星、卫星或探测器）相遇，实际上是指两天体相距最近 设卫星1（离地球近些）与卫星 2某时刻相距最近，如果经过时间t ，两卫星与地心连线半径转过的角度相 差 2 的整数倍，则两卫星又相距最近，即 ；如果经过时间 t ，两卫星与地心连 1t 2t 2n (n 1,

14、2,3, ) 线半径转过的角度相差 的奇数倍，则两卫星相距最远，即 ，（ ） 1t 2t (2n 1) n 1, 2,3, 知识点九 双星问题 对于双星问题要注意： 两星球所需的向心力由两星球间万有引力提供，两星球圆周运动向心力大小相等； 两星球绕两星球间连线上的某点（转动中心）做圆周运动的角速度 或周期T 的大小相等； 两星球绕共同中心转动的半径 r1 、 r 的和等于两星球间的距离 L ，即 r r L 2 1 2 4 L 2 3 若已知双星间距 L，周期 T，则双星总质量为： M M 1 2 2 GT 知识点十 经典力学的局限性： 4 1. 经典力学的适用范围： 只适用于低速运动，不适用于高速运动； 只适用于宏观世界，不适用于微观世界； 只适用于弱引力情况，不适用于强引力情况 2. 相对质量 m m 0 2 v 1 c 5