椭圆基础大题训练25道.docx

1、椭圆基础大题训练 25 道 椭圆基础大题训练 25 道 1.已知动点 M(x,y)到直线 l:x = 4 的距离是它到点 N(1,0)的距离的 2 倍. () 求动点 M 的轨迹 C 的方程; () 过点 P(0,3)的直线 m 与轨迹 C 交于 A, B 两点. 若 A 是 PB 的中点, 求直线 m 的斜率. y A 2.设椭圆 C: x 2 a2 + y 2 b2 = 1a b 0 的左焦点为 F,上顶 F O P Q x 点为 A,过点 A 作垂直于 AF 直线交椭圆 C 于另外一 点 P,交 x 轴正半轴于点 Q,且 PQ AP = 8 5 求椭圆 C 的离心率; 若过 A, Q,

2、F 三点的圆恰好与直线 l : x + 3y - 5= 0 相切,求椭圆 C 的方程. 3.已知椭圆 E : x 2 a2 + y 2 b2 2 2 = 1 ( a b 0)过点 A (3,1 ),左,右焦点分别为 F , 1, F2,离心率为 3 经过 F1的直线 l 与圆心在 x 轴上且经过点 A 的圆 C 恰好相切于点 B (0,2). (1)求椭圆 E 及圆 C 的方程; (2) 在直线 l 上是否存在一点 P,使 PAB 为以 PB 为底边的等腰三角形?若存在,求点 P 的 坐标,否则说明理由. 4. 已知 F 1, F2 是椭圆 x2 1, F2 是椭圆 x2 + y2 = 1 的

3、左,右焦点,过 F 2 作倾斜角为 2 作倾斜角为 4 的直线与椭圆相交于 A,B 两 2 点. (1)求 F1AB 的周长; (2)求 F 1AB 的面积. 椭圆基础大题训练 25 道 5.已知椭圆与双曲线 2x2-2y2=1 共焦点,且过( 2, 0) (1)求椭圆的标准方程. (2)求斜率为 2 的一组平行弦的中点轨迹方程; 6.已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,焦距为 8,且经过点(0,3) (1)求此椭圆的方程 (2)若已知直线 l : 4x - 5y + 40=0,问:椭圆 C 上是否存在一点,使它到直线 l 的距离最小?最 小距离是多少? 7.已知椭圆 y 2 a2

4、+ x2 b2 = 1(ab0)的焦点分别是 F1(0,-1),F2(0,1),且 3a 2=4b 2. ()求椭圆的方程; ()设点 P 在这个椭圆上,且 PF1 -PF2 =1,求 F1PF2的余弦值. 8.已知动点 P 与直线 x =4 的距离等于它到定点 F (1,0)的距离的 2 倍， （1）求动点 P 的轨迹 C 的方程； （2） 点 M1, 1 在所求轨迹内，且过点 M 的直线与曲线 C 交于 A,B， 当 M 是线段 AB 中点时， 求直线 AB 的方程. 9.已知直线 y = - x + 1与椭圆 x 2 a2 + y2 b2 = 1 ( a b 0)相交于 A,B 两点，且

5、线段 AB 的中点在 直线 l： x -2y =0 上. （）求此椭圆的离心率； （）若椭圆的右焦点关于直线 l 的对称点在圆 x2+y2=4 上，求此椭圆的方程. 椭圆基础大题训练 25 道 1- 2 10.已知曲线 上任意一点 P 到两个定点 F 3,0 和 F 3,0 的距离之和为 4 （1）求曲线 的方程； （2）设过 0, -2 的直线 l 与曲线 交于 C, D 两点，且OC OD = 0（O 为坐标原点），求直线 l 的方程 11.设 F 1,F2分别 是椭圆 x 1,F2分别是椭圆 x 2 4 +y2=1 的左,右焦点，若 P 是该椭圆上的一个动点，求 PF1 PF2的最 大值

6、和最小值 12.已知椭圆 C 的焦点分别为 F 1( -22,0),F2(22,0)，长轴长为 6，设直线 y =x +2 交椭圆 C 于 A,B 两点。 (1)求线段 AB 的中点坐标； (2)求 OAB 的面积。 13.设 P 是椭圆 x 2 a2 +y2=1(a 1)短轴的一个端点，Q 为椭圆上一个动点，求|PQ|的最大值。 14.已知椭圆 x + y 2 2 = 1a b 0 的左焦点 F 为圆 x2+ y2+ 2x = 0 的圆心,且椭圆上的点到点 a2 b2 F 的距离最小值为 2 - 1. (I)求椭圆方程; (II)已知经过点 F 的动直线 l 与椭圆交于不同的两点 A,B,

7、点 M - 5 4 , 0 ,证明:MA MB 为定 值. 15.已知椭圆 C 的中心在坐标原点焦点在 x 轴上,左,右焦点分别为 F 1,F2,且 F1F2 =2,点 P 1, 3 2 在椭圆 C 上. (I)求椭圆 C 的方程; 2 B 的面积为 12 2 (II)过 F ,求直线 l 的方程. 1的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,且 AF 7 椭圆基础大题训练 25 道 16.已知椭圆 x + y 2 2 =1(a b 0)的焦距为 4，设右焦点为 F1，离心率为 e a2 b2 （1） 若 e = ，求椭圆的方程； 2 2 （2） 设 A,B 为椭圆上关于原点对称的两点，A

8、F1的中点为 M， B F1的中点为 N，若原点 O 在以 线段 MN 为直径的圆上 证明点 A 在定圆上； 设直线 AB 的斜率为 k， 若 k 3， 求 e 的取值范围 17. 已知椭圆 x 2 a2 + y2 b2 = 1 ( a b 0 )的一个顶点为 B0, 4 ，离心率 e = 5 5 ，直线 l 交椭圆于 M, N 两点 （1）若直线 l 的方程为 y =x -4，求弦 MN 的长； （2）如果 BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点 F，求直线 l 方程的一般式 18.已知椭圆 E 的焦点在 x 轴上，离心率为 1 ，对称轴为坐标轴，且经过点 1, 3 2 2 （I）求椭圆 E 的方

9、程； （II）直线 y = kx - 2 与椭圆 E 相交于 A, B 两点 ，O 为原点，在 OA,OB 上分别存在异于 O 点的点 M,N，使得 O 在以 MN 为直径的圆外，求直线斜率 k 的取值范围 19.设椭圆 C : x 2 a2 + y2 b2 =1(a b 0)过点 M ( 1,1 ),离心率 e = ,O 为坐标原点. 6 3 (I)求椭圆 C 的方程. ()若直线 l 是圆 O : x2 + y2 = 1 的任意一条切线,且直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,求证: OA OB 为定值. 椭圆基础大题训练 25 道 20.已知椭圆 x + y 2 2 = 1a 0,

10、 b 0 的左右焦点分别为 F1和 F2,由 4 个点 M(-a,b),N(a,b),F a2 b2 2 和 F 3 的等腰梯形. 1组成了一个高为 3 ,面积为 3 (1)求椭圆的方程; (2)过点 F 2AB 面积的最大值. 1的直线和椭圆交于两点 A,B,求 F 21.已知椭圆 C: x 2 a2 + y 2 b2 =1(a b 0)的离心率为 2 ,其中左焦点 F-2, 0 . 2 ()求出椭圆 C 的方程; () 若直线 y =x +m 与曲线 C 交于不同的 A,B 两点,且线段 AB 的中点 M 在圆 x 2+y2=1 上,求 m 的值. 22.已知椭圆 C : x 2 a2 +

11、 y 2 b2 = 1a 0, b 0 的焦距为 4,且与椭圆 x 2+ y2 2+ y2 2 = 1 有相同的离心率,斜率 为 k 的直线 l 经过点 M(0,1),与椭圆 C 交于不同两点 A,B. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)当椭圆 C 的右焦点 F 在以 AB 为直径的圆内时,求 k 的取值范围. 23.已知椭圆 C: x 2 a2 3 . 5 + y2 b2 = 1 ( a b 0)的离心率为 1 ,右焦点到直线 l1:3x + 4y = 0 的距离为 2 ()求椭圆 C 的方程; ()若直线 l 2: y =kx +m (km 0 ) 与椭圆 C 交于 A,B 两点,且线

12、段 AB 中点恰好在直线 l 1 上,求 OAB 的面积 S 的最大值.(其中 O 为坐标原点). 椭圆基础大题训练 25 道 24. 设椭圆 M: y 2 a2 + x 2 b2 = 1(a b 0)的离心率与双曲线 x2 - y2 = 1 的离心率互为倒数,且内切于 圆 x2+ y2= 4. (1)求椭圆 M 的方程; (2)若直线 y = 2x + m 交椭圆于 A, B 两点,椭圆上一点 P ( 1, 2 ),求 PAB 面积的最大 值. 25. 已知椭圆 x 2 a2 + y2 =1(a b 0)的左焦点为F ( -2, 0 ),点 F 到右顶点的距离为3 + =1(a b 0)的左

13、焦点为F ( -2, 0 ),点 F 到右顶点的距离为3 + 2. b2 (1)求椭圆的方程; (2)设直线 l 与椭圆交于 A,B 两点,且与圆 x2 + y2 = 3 4 相切,求 AOB 的面积为 3 2 时直线 l 的斜率. 椭圆基础大题训练 25 道 椭圆基础大题训练 25 道参考答案 |x 4|= 2 (x 1) 2+y2 x2 +y = 1. 1. 解() 点 M(x,y)到直线 x=4 的距离,是到点 N(1,0)的距离的 2 倍,则 2 4 3 所以,动点 M 的轨迹为 椭圆,方程为 x 2 4 +y 2 3 =1 () P(0, 3), 设 A(x1,y1),B(x2,y2

14、),由题知： 2x1=0+x2， 2y1=3+y2 椭圆的上下顶点坐标分别是 (0,3 ) 和 (0,- 3 ),经检验直线 m 不经过这 2 点,即直线 m 斜率 k 存在.设 + 直 2线 m方程为 :y=kx+ 3.联立椭圆和直线方程,整理得: （ 3+4k2)x2+ 24kx+24=0 x ,x1 x 3+4k2 3+4k2 1+x2= 2= 24k 24 x + x =1 = 5 = 9 k= 3 (x1+x2) 2 2x1 x ( 24k) 2 1 2 2 x2 x1 2 2 2 2 2 所以,直线 m 的斜率 k= 3 2 2.解:设 Q(x 0,0),由 F(-c,0) (0,

15、b)知 0= b2 c 设 P(x1,y1),由 PQ,得 x b 5 13c 13 AP = 8 1= 8b2 ,y1= 5 因为点 P 在椭圆上,所以 + ( 8b =1 2 ( 5 )2 b)2 13c 13 a2 b2 整理得 2b2= 3ac,即 2a2- c2 = 3ac,2e 2+ 3e-2=0,故椭圆的离心率 e= 1 2 由知 2b2= 3ac,得 b = 3a;又 c = 1,得 c= 1 c 2 a 2 2 2 2 2 1 3 a, 0 a,于是 F - a, 0 , Q |FQ|=a 所以 1 a- 5 AQF的外接圆圆心为 1a, 0 ,半径 r= 1 = a,解得

16、a=2, 2 2 2 2 3, 所求椭圆方程为 x 2 + y2 c=1,b= =1 4 3 3.解:(1) c a 3 = ,则 a2= 9b2, 2 2 椭圆 E: x 2 + y = 1,F1(c,0 ),B(0,2) l:y= 2 2 (x+c) 9b2 b2 c 设圆心 M(m,0 ),半径 r,则由 MA = MB ,得 m=1,r= MA = 5 圆 C:x-1 2+y2= 5,又 MB BF 1 2 c 2 -m = -1,从而 c= 4,结合 a2= 9b2得 a2=18,b2=2 椭圆基础大题训练 25 道 椭圆 E: x 2 18 +y 2 2 =1 (2)假设存在一点

17、P,使 PAB为以 PB 为底边的等腰三角形,则有 PA = AB , 由(1)知 l:y= 2 (x+4),即 y= 1 x+ 2,设直线 l 上的点 P(2t,t+2), 4 2 PB 中点 H(t, t ,kPB= 1 + 2),又 k , 由 kPBkAH=-1 得 t=2 AH= t +1 2 2 t-3 2 所求的点为 P(4,4) 4.解:(1) F1AB 的周长为|AF1|+|AF2|+|B F1|+|B F2|=2a+ 2a= 4a= 4 2 1( -1,0 )到 y=x-1 的距离为 d= = (2)F1(-1,0),F2( 1,0 ),而 kAB= tan = 1, 得

18、AB 的方程为 y=x-1. 4 |-1-1-0| 故点 F 2 2 y=x-1 设 A(x x , 1,y1),B(x2,y2),又 2 +y2=1 2 4 得 x 1=0,x2= 4 ,所以 A(0,-1),B( 4, 1 2 ),|AB|= 3 3 3 3 F1AB= 1 S 2 |AB| d= 4 3 5.解:(1)依题意得,将双曲线方程标准化为 x - y 2 2 = 1,则 c=1 1 1 2 + 2 椭 圆与双曲线共焦点设椭圆方程为 x 2 y2 =1 a2 a2-1 0 椭圆过（ 2 ， 0） 2 + =1，即 a2=2 a2 a2-1 椭圆方程为 x 2 2 +y2=1 (2

19、) 依题意,设斜率为 2 的弦所在直线的方程为 y=2x+b,弦的中点坐标为(x,y),则 y=2x+b x 2 2 +y2=1 得 9x2+8xb+2b 2 2=0 x 1+x2= - 8b,y1+y2=2b 9 9 即 x= - 4b ,y= b 9 9 两式消掉 b 得 y=- 1 x 4 令=0,64b 2-36(2b2-2)=0,即 b=3,所以斜率为 2,且与椭圆相切的直线方程为 y=2x3 即当 x= 4 3 时斜率为 2 的直线与椭圆相切. 所以平行弦得中点轨迹方程为:y=- 1x(- 4 4 3 6.(1) x + y 2 2 =1 25 9 x 4 ) 3 (2)由直线 l

20、 的方程与椭圆的方程可以知道,直线 l 与椭圆不相交 椭圆基础大题训练 25 道 设直线 m 平行于直线 l,则直线 m 的方程可以写成 4x -5y +k =0 (1) 由方程组 4x -5y +k =0 2 2 x + y =1 25 9 消去 y,得 25x2+ 8kx +k2-225=0 (2) 令方程(2)的根的判别式 =0,得 64k2-425(k2-225)=0 (3) 解方程(3)得 k1=25 或 k2=-25, 由图可知,当 k1=25 时,直线 m 与椭圆交点到直线 l 的距离最近,此时直线 m 的方程为 直线 m 与直线 l 间的距离 d = = 15 41 所以,最小

21、距离是 15 41 4x -5y +25=0 40- 25 42+ 52 41 41 7.解:()由已知 c=1,则 a 2-b 2=1. 又 3a 2=4b 2, 故 a 2=4,b 2=3. 所求椭圆方程为 x + y 2 2 =1 3 4 PF1 + PF2 =4， 解得 PF ()由 1 =- 5 2 = 3 于是 cosF . 1PF2= ， PF . 又 F1F2 = 2, = 3 PF1 -PF2 =1， 2 2 25 + 9 -4 8（. 1）设动点 P(x,y)， 由 + y2 =1 即为轨迹 C 的方程。 4 4 2 5 3 5 2 2 x -4 = 2，平方整理得 x 2

22、 4 3 (x - 1)2+y2 （2）当直线 AB 的斜率不存在时，直线 x =1 与椭圆交于两点，由图形的对称性， 线段 AB 的中点应在 x 轴上，M 点不满足题意。故直线 AB 的斜率存在， 设直线 AB 的方程为 y -1=k (x -1)设 Ax 1， y 1 ， Bx 2， y 2 =- x + y 2 2 1 1 =1 x12-x 2 2-y 2 y1 4 3 2 2 x + y 2 2 4 3 2 2 =1 k = =- 3 =- 3 4 3 y1-y2 x1+x2 x1-x2 4 y1+y2 4 直线 AB 的方程为： y -1=- 3 (x -1) 4 即 3x + 4y

23、 -7=0 9（. 1） 设 A,B 两点的坐标分别为 A (x1,y1),B (x2,y2)， 则由 y =-x +1， x 2 + y2 =1 a2 b2 得：(a2+b2)x2-2a2x +a2-a2b2= 0, 椭圆基础大题训练 25 道 根据韦达定理，得 x , a2+b2 a2+b2 1+x2= ,y1+y2=-(x1+x2)+2= 2a2 2b2 且 =4a2b2(a2+b2-1)0 即 a2+b2-10 (*) 线段 AB 的中点坐标为 , a2 b2 . 由已知得 - a2+b2 a2+b2 a2 2b2 =0 a2+b2 a2+b2 a2= 2b2=2(a2-c2) a 2

24、= 2c2 故椭圆的离心率为 e= 2 2 （2） 由 （ 1） 知 b=c,从而椭圆的右焦点坐标为 F(b,0), 设 F(b,0)关于直线 l:x 2y=0 的对称点为(x 0,y0)， 则 =-1且 y0-0 -2y 0= 4 1 0= 3 x0+b 0 = 0,解得 x b 且 y b。 x0-b 2 2 2 5 5 由已知得 x20+y 2= 4，代入(1)中(*)满足条件 2 0=4, ( 3b)2+( 4 b)2=4, b 5 5 故所求的椭圆方程为 x 2 8 +y2 4 =1 . 10.解 （ ： 1）根据椭圆的定义，可知动点 M 的轨迹为椭圆， 3， 则 b= 其中 a=

25、2， c= a2-c2 = 1 所以动点 M 的轨迹 +y2= 1 方程为 x 2 4 （2）当直线 l 的斜率不存在时，不满足题意 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y=kx-2， 设 C(x1,y1)， D(x2,y2)， OC OD = 0， x1x2+y1y2= 0 y1=kx1-2， y2=kx2-2， y1y2=k2x 2-2k(x1+x2)+4 (1+k2)x1x2-2k(x1+x2)+4=0 1 x x 2 +y2= 1, 由方程组 得 1+4k2 x2- 16kx+12=0 4 则 x ， x ， 1+x2= 2= 1 x y=kx-2. 16k 12 代入，得

26、 1+k2 -2k 1+4k2 1+4k2 +4=0 12 16k 1+4k2 1+4k2 即 k2= 4，解得 ，k=2 或 k=-2所以，直线 l 的方程是 y= 2x-2 或 y=-2x-2 11.解：易知 a= 2, b= 1, c= 1(-3,0),F2( 3，所以 F 3,0). 设 P （x, y） ， 则 PF1 PF2=(-3 -x,-y) ( 3 -x,-y) =x2+y2-3=x2+ 1- x2 4 -3= 1 4 (3x 2-8). 椭圆基础大题训练 25 道 因为 x -2,2，故当 x=0，即点 P 为椭圆短轴端点时，PF1 PF2有最小值-2. 当 x =2，即点

27、 P 为椭圆长轴端点时， PF1 PF2有最大值 1. 12.解：设椭圆 C 的方程为 x + y 2 2 = 1（1 分），由题意 a =3,c =2 2，于是 b =1，所以椭圆 C a2 b2 y=x+2 的方程为 x 2 +y2=1 由 ， 得 10x2+ 36x +27=0（6 分）， x 2 9 +y2=1 9 由于该二次方程的 0，所以点 A,B 不同。 设 。 A (x 1,y1),B (x2,y2)， 则 x1+x2= - 18 解一,设点 O 到直线 y = x + 2 的距离为 d， 则 d = ，故线段 AB 的中点坐标为 - , 1 9 1x2 = 27 5 5 5

28、|0-0+2| = 2 x ， 又 |AB|= 1+k2 (x1+x2)2-4x 2 ，所以 1x2 = = ， 10 2 6 - -4 27 18 3 2 5 10 5 6 3 所以 SAOB = 1 2 = 3 6 2 5 5 解二,设直线 y =x +2 与 x 轴交于点 M (-2,0)， 则 SOAB =SOAM +SOBM， 由可知，y 1+y2=(x1+2)+(x2+2)=x1+x2+4 = 2 , 5 y1y2=(x1+2)(x2+2)=x1x2+2(x1+x2)+4=- 1 , = (y1-y2) (y1+y2)2-4y1y2 2 = 2 则 S OAB = 1 1|+ 1

29、2|y 2|y 2|=|y1-y2| 2 2 = = 。 3 2 -4- 2 1 6 5 2 5 13.解: 依题意可设 P(0,1),Q(x,y),则 |PQ|=,又因为 Q 在椭圆上, 所以,x 2=a 2(1-y 2) , |PQ|2= a 2(1-y 2)+y 2-2y+1=(1-a 2)y 2-2y+1+a 2 =(1-a 2) y- - 1 2 1 2 +1+a 2 . 1- a 1- a 2 时, |PQ|取最大值 2 a2 2, 则 2 1, 当 y= a2- 1 1 1 因为|y| 1,a1, 若 a 2 ; 1- a 1- a 1- a 若 10，所以 2e2-10， e4

30、-2e2+1 2e2-1 e4-8e2+4 0, 化简，得 2e2-10. 解之，得 1 0) 由 c = 1 a = 2c,b 2=a2-c2= 3c2 a 2 椭圆经过点(1, 3 2 4c2 12c2 + 9 = 1，解得 c2=1 )， 则 1 椭圆的方程为 x 2 4 +y 2 3 = 14 （II）联立方程组 y =kx -2 x + y 2 2 =1 4 3 ，消去 y 整理得(4k2+3)x2- 16kx +4=0 5 直线与椭圆有两个交点， = (-16k ) 2- 16(4k2+3)0，解得 k2 1 2-16(4k2+3)0，解得 k2 1 4 6 原点 O 在以 MN

31、为直径的圆外， MON 为锐角，即OM ON 0 而 M,N 分别在 OA,OB 上且异于 O 点，即 OA OB 08 设 A,B 两点坐标分别为 A (x1,y1),B (x2,y2)， 椭圆基础大题训练 25 道 则 2,y2)=x1x2+y1y2=(k2+1)x1x2-2k (x1+x2)+4 OA OB =(x1,y1) (x =(k2+1 ) -2k +40 4 16k 4k2+3 4k2+3 解得 k2 0 -23 m 2 3 = - 2m x1+ x x , y0= x 0= 0+ m= m 2 2 3 3 点 Mx0, y0 在圆 x2+ y2= 1 上, - =1，即 m=

32、 2m + m 2 2 5 3 3 3 5 22. 解:(1)焦距为 4, c=2 = 1的离心率为 又 x2+ y 2 2 2 2 e= c = 2 a a 2 = 2 , a=2 2 ,b=2 标准方程为 x 2 8 + y2 4 = 1 (2)设直线 l 方程:y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2), y= kx+ 1 得 1+ 2k2 x2+ 4kx- 6= 0 由 x 2 + y 2 = 1 1+x2=- 2 ,x1x2=- 8 4 4k 6 x 1+ 2k 1+ 2k 2 椭圆基础大题训练 25 道 由(1)知右焦点 F 坐标为(2,0), 右焦点 F 在圆内部, AF BF 0 (x 1 -2)(x2- 2)+ y1y20 1 -2)(x2-2)+ y1y20 即 x1x2-2(x1+x2)+4+k 2 x 1x2+k(x1+x2)+10 2 - 2 + k - 2 - 2 + 5= 6 4k 8k- 1 2 0 k 1 1+ k 1+ 2k 1+ 2k 1+ 2k 8 经检验得 k 0 成立. 24. 椭圆基础大题训练 25 道 2 椭圆基础大题训练 25 道