双曲线精讲.docx
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- 双曲线
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1、双曲线定义 一、同步知识梳理 一双曲线的定义及双曲线的标准方程: 1 双 曲 线 定 义 : 到 两 个 定 点 F1 与 F2 的 距 离 之 差 的 绝 对 值 等 于 定 长 ( |F1F2| ) 的 点 的 轨 迹 ( PF ( a 为常数) 这两个定点叫双曲线的焦 点 1 PF 2a F F 2 1 2 要注意两点:(1)距离之差的绝对值.(2)2a|F1F2|,这两点与椭圆的定义有本质的不同. 当|MF1|MF2|=2a 时,曲线仅表示焦点 F2 所对应的一支; 当|MF1|MF2|=2a 时,曲线仅表示焦点 F1 所对应的一支; 当 2a=|F1F2|时,轨迹是一直线上以 F1、
2、F2 为端点向外的两条射线; 当 2a|F1F2|时,动点轨迹不存在. x y y x 2 2 2 2 2.双曲线的标准方程: 1和 1(a0,b0).这里b2 c2 a2 ,其中| a b a b 2 2 2 2 意这里的 a、b、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同. F 1 F |=2c.要注 2 3.双曲线的标准方程判别方法是:如果 x2 项的系数是正数,则焦点在 x 轴上;如果 y2 项的系数是正数,则焦点 在 y 轴上.对于双曲线,a 不一定大于 b,因此不能像椭圆那样,通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴 上. 4.求双曲线的标准方程,应注意两个问题: 正确判断焦点的位置;
3、设出标准方程后,运用待定系数法求解. 二双曲线的内外部: (1)点 P(x , y ) 在双曲线 0 0 x y x y 2 2 2 2 2 2 1( 0, 0) 的内部 a b 2 2 1 0 0 . a b a b x y x y 2 2 2 2 (2)点 P x y 在双曲线 2 2 1( 0, 0) 的外部 ( , ) a b 2 2 1. 0 0 0 0 a b a b 三.双曲线的方程与渐近线方程的关系 x y 2 2 (1)若双曲线方程为 1 a b 2 2 渐近线方程: x y 2 2 b 2 2 0 y x . a b a x y b (2)若渐近线方程为 y x 0 a a
4、 b x y 2 2 双曲线可设为 a b 2 2 . x y x y 2 2 2 2 (3)若双曲线与 1有公共渐近线,可设为 a b a b 2 2 2 2 上). 四双曲线的简单几何性质 ( 0 ,焦点在 x 轴上, 0 ,焦点在 y 轴 2 x 2 a 2 y 2 b =1(a0,b0) y M1 P M2 范围:|x|a,yR 对称性:关于 x、y 轴均对称,关于原点中心对称 顶点:轴端点 A1(a,0),A2(a,0) 渐近线: F1 K1 o A1 K2 A2 F2 x 1 x y 2 2 若双曲线方程为 1 a b 2 2 x y 2 2 渐近线方程 0 a b 2 2 y b
5、 a x x y b 若渐近线方程为 y x 0 a a b x y 2 2 双曲线可设为 a b 2 2 x y x y 2 2 2 2 若双曲线与 1有公共渐近线,可设为 a b a b 2 2 2 2 轴上) ( 0,焦点在 x 轴上, 0 ,焦点 在 y x y x y 2 2 2 2 与双曲线 1共渐近线的双曲线系方程是 a b a b 2 2 2 2 ( 0) x y x y 2 2 2 2 与双曲线 1共焦点的双曲线系方程是 1 a b a k b k 2 2 2 2 六.弦长公式:若直线 y kx b 与圆锥曲线相交于两点 A、B, 且 x1, x 2 分别为 A、B 的横坐标
6、,则 AB 1 k x x , 若 2 1 2 y1, y 2 分别为 A、B 的纵坐标,则 AB 1 1 y y 。 k 2 1 2 二、同步题型分析 题型 1:运用双曲线的定义 x y 2 2 例.、P 是双曲线 1的右支上一点,点 M , N 分别是圆(x 5)2 y2 4和 (x 5)2 y2 1上 的动点, 9 16 则 PM PN 的最小值为 ( ) A 1 B 2 C 3 D4 【答案】C 【解析】 由题已知,两圆圆心为双曲线的焦点 由此 PF 1 PF 2a 6 2 F 和 1 F , 2 M 和 N 分别为圆上点,所以 PM PN 最小值为 1 r PF r 2a r r 6
7、 3 3 PF 1 2 2 1 2 x y 2 2 举一反三、如图所示, F 为双曲线C : 1的左 9 16 焦点,双 曲线C 上的点 P7 i i 关于 y 轴对称, P 与 1,2,3 i 则 P1F P F P F P F P F P F 的值是( ) 2 3 4 5 6 A9 B16 C18 D27 【解析】 P1F P F P2F P5F P3F P4F 6 ,选 C 6 2 y 2 举一反三、设 P 为双曲线 x2 1上的一点 F1、F 2 是该双曲线的两个焦点,若|PF1|:|PF2|=3:2,则 PF1F2 12 的面积为 ( ) A 6 3 B12 C12 3 D24 【解
8、析】 a 1, 12, 13,由| 1 |:| | 3: 2 b c PF PF 2 又| 1 | | PF | 2a 2, PF 2 由、解得| PF 1 | 6,| PF | 4. 2 | P F 1 | PF | 52,| F F |2 | 2 2 2 1 2 52, 1F 为直角三角形, PF 2 1 1 PF | PF | | PF | 6 4 12.故选 B。 S F 1 2 1 2 2 2 举一反三、已知动圆 M 与圆 C1: ( x+4)2+y2=2 外切,与圆 C2: ( x-4)2+y2=2 内切,求动圆圆心 M 的轨迹方 程. 【解析】 设动圆 M 的半径为 r, 则由已
9、知|MC1|=r+ 2 , |MC2|=r- 2 , |MC1|-|MC2|=2 2 . 又 C1(-4,0) , C2(4,0) , |C1C2|=8,2 2 |C1C2|. 根据双曲线定义知,点 M 的轨迹是以 C1(-4,0) 、 C2(4,0)为焦点的双曲线的右支. a= 2 ,c=4, b2=c2-a2=14, 2 y 2 x 点 M 的轨迹方程是 2 14 =1(x 2 ). 题型 2 求双曲线的标准方程 例、已知双曲线 C : x 2 a 2 - y 2 b 2 =1 的焦距为 10 ,点 P (2,1)在 C 的渐近线上,则 C 的方程为 A x 2 20 - y 2 5 =1
10、 B. x 2 5 - y 2 20 =1 C. x 2 80 - y 2 20 =1 D. x 2 20 - y 2 80 =1 3 【答案】A 【解析】设双曲线 C : x 2 a 2 - y 2 b 2 =1 的半焦距为 c ,则 2c 10,c 5 . 又C 的渐近线为 b b y x ,点 P (2,1)在 C 的渐近线上,1 2 ,即 a 2b . a a 又 c2 a2 b2 ,a 2 5,b 5 ,C 的 方程为 x 2 20 - y 2 5 =1. 【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识,考查了数形结合的思想和基本运算能力,是 近年来常考题型. 举一反三、
11、已知双曲线 C 与双曲线 程 2 x 16 2 y 4 =1 有公共焦点,且过点(3 2 ,2).求双曲线 C 的方 【解析】设双曲线方程为 2 x 2 a 2 y 2 b =1.由题意易求 c=2 5 . 又双曲线过点(3 2 ,2), (3 2 2) 2 a 4 2 b =1. 又a 2+b 2,a2=12,b2=8. 2=(2 5 ) 故所求双曲线的方程为 2 x 12 2 y 8 =1. 举一反三、1 已知双曲线的渐近线方程是 x y ,焦点在坐标轴上且焦距是 10,则此双曲线的方 程 2 为 ; 【解析】设双曲线方程为 x2 4y2 , x y 5 2 2 当 0 时,化为 1,2
12、10 20 4 4 , y y 5 2 2 当 0 时,化为 1,2 10 20 , 4 4 综上,双曲线方程为 x y y x 2 2 2 2 1或 1 20 5 5 20 举一反三、已知点 M (3, 0) , N(3,0), B(1, 0) ,动圆C 与直线 MN 切于点 B ,过 M 、 N 与圆C 相切的两直 线相交于点 P ,则 P 点的轨迹方程为( ) A y 2 x2 1(x 1) B 8 y 2 x2 1(x 1) 8 4 y 2 C x2 1(x 0) D 8 y 2 x2 1(x 1) 10 【解析】 PM PN BM BN 2 , P 点的轨迹是以 M 、 N 为焦点,
13、实轴长为 2 的双曲线的右支,选 B 题型 3 与渐近线有关的问题 x 有相同的渐近线的双曲线方程是( ) y 2 例 3.焦点为(0,6),且与双曲线 1 2 2 x y B 1 y D 1 A 1 2 2 2 2 2 2 2 2 y C 1 x x x y 12 24 12 24 24 12 24 12 2 【解析】具有相同的渐近线的双曲线 y x , 2 焦点(0,6),推出 a b 2 2 , c 6 y x 得到 a 2 3,b 2 6 ,得到 1 12 24 2 2 1 举一反三、过点(1,3)且渐近线为 y x 的双曲线方程是 2 x 2 【 解 析 】 设 所 求 双 曲 线
14、为 y2 k 1 点 ( 1 , 3 ) 代 入 : 4 1 35 k 9 . 代 入 ( 1 ) : 4 4 x 2 35 4y x 2 2 2 y 1即为所求. 4 4 35 35 题型四、离心率 例、双曲线的渐近线方程为 3 y x 4 ,则双曲线的离心率是 。 5 5 3 或 4 【答案】 【解析】 双曲线焦点位置不固定,所以要分类讨论, 当焦点在 x 轴上, b a 3 4 5 ,得出 e 当焦点在 y 轴上, 4 a b 3 4 , 得 出 e 5 3 举一反三、若圆 (x 2)2 y2 2 与双曲线 x y 2 2 2 2 1( 0, 0) 的渐近线相 切,则双曲线的离心率是 .
15、 a b a b 【答案】 2 5 【解析】圆心坐标 2,0,半径 r 2 ,渐进线bx ay 0,由于圆与直线相切 2a 得出 d r 2 ,解得 e 2 a b 2 2 举一反三、如图,双曲线 x y 2 2 2 2 1 (a,b 0) 的两顶 点为 a b A , 1 A ,虚轴两端点为 2 B , 1 B ,两焦点为 2 F , 1 F . 若 2 以 A A 为直径的圆内切于菱形 1 2 F B F B ,切点分别为 A, B, C, D . 则 1 1 2 2 双曲线的离心率 e ; 5 1 【答案】 e ; 2 考点分析:本题考察双曲线中离心率及实轴虚轴的相关定义,以及一般平面几
16、何图形的面积计算. 【解析】()由于以 A A 为直径的圆内切于菱形 1 2 F B F B ,因此点 O 到直 线 1 1 2 2 F 的距离为 a ,又由于虚轴两 2 B 2 端 点 为 B , 1 B , 因 此 2 OB 的 长 为 b , 那 么 在 2 F 中 , 由 三 角 形 的 面 积 公 式 知 , 2OB 2 1 2 1 1 bc 2 ( ) ,又由双曲线中存在关系 c2 a2 b2 联立可得出 (e2 1)2 e2 ,根据 a | B F | a b c 2 2 2 2 5 1 e(1,) 解出 e ; 2 三、课堂达标检测 检测题 1:等轴双曲线C 的中心在原点,焦点
17、在 x轴上,C 与抛物线 y2 16x 的准线交于 A, B 两点,AB 4 3 ; 则C 的实轴长为( ) (A) 2 (B) 2 2 (C) (D) 6 检测题 2:双曲线 x y 2 2 2 1的右焦点与抛物线 y2 12x 的焦点重合,则该双曲线的焦点到 其渐近线的距 离等 4 b 于( ) A 5 B 4 2 C3 D5 检测题 3:由双曲线 2 y2 x =1 上的一点 P 与左、右两焦点 F1、F2 构成PF1F2,求PF1F 2 9 4 的内切圆与边 F1F2 的切点坐标. 【解析】 由双曲线方程知 a=3,b=2,c= 13 . 如右图,根据从圆外一点引圆的两条切线长相等及双
18、曲线定义可得 |PF1|-|PF2|=2a. 由于|NF1|-|NF2|=|PF1|-|PF2|=2a. |NF1|+|NF2|=2c. 由得|NF1|= 2 2a c =a+c. 2 |ON|=|NF1|-|OF1|=a+c-c=a=3. 故切点 N 的坐标为(3,0). 根据对称性,当 P 在双曲线左支上时,切点 N 的坐标为(-3,0). 7 检测题 4:根据下列条件,求双曲线的标准方程. (1)与双曲线 2 y2 x =1 有共同的渐近线,且过点(-3,2 3 ) ; 9 16 (2)与双曲线 2 y2 x =1 有公共焦点,且过点(3 2 , 2). 16 4 【解析】(1)设所求双
19、曲线方程为 2 y 2 x = ( 0), 9 4 将点(-3,2 3 )代入得 = 1 , 4 所以双曲线方程为 2 y2 x = 9 16 1 ,即 4 4x 2 y2 =1. 9 4 (2)设双曲线方程为 2 x 2 a 2 y =1.由题意易求 c=2 5 . 2 b 又双曲线过点(3 2 ,2), 2 3 2 2 a - 4 2 b =1. 又a 2,a2=12,b2=8. 2+b2=(2 5 ) 故所求双曲线的方程为 2 y2 x =1. 12 8 检测题 5:已知双曲线的渐近线的方程为 2x3y=0, (1)若双曲线经过 P( 6 ,2),求双曲线方程; (2)若双曲线的焦距是
20、2 13 ,求双曲线方程; (3)若双曲线顶点间的距离是 6,求双曲线方程. 【解析】(1)由双曲线的渐近线方程 y= 2 x 及点 P( 6 ,2)的位置可判断出其焦点在 y 轴上,(a0,b0) 3 2 2 y x . 故可设双曲线方程为 1 2 2 a b 依题意可得 a 2 b 3 4 6 2 b 2 a 1 2 a 2 b 4 3 . 3. 3 2 2 1 故所求双曲线方程为 y 1. x 4 3 2 2 x y . (2)若焦点在 x 轴上,可设双曲线方程为 1 2 2 a b 依题意 b 2 a 3 2 2 b a 13 2 a 2 b 9, 4. 此时所求双曲线方程为 2 y
21、2 x =1. 9 4 8 2 2 y . x 若焦点在 y 轴上,可设双曲线方程为 1 2 2 a b 依题意 a 2 b 3 2 b a 2 13 2 a 2 b 4, 9. 2 2 y . x 此时所求双曲线方程为 1 4 9 故所求双曲线方程为 2 y2 2 2 x y x . =1 或 1 9 4 4 9 (3)若焦点在 x 轴上,则 a=3,且 b = a 2 . 3 a=3,b=2,双曲线方程为 2 y 2 x =1. 9 4 若焦点在 y 轴上,则 a=3,且 a = b 2 . 3 a=3,b= 2 2 9 ,双曲线方程为 y 1. 4x 2 9 81 故所求双曲线方程为 2
22、 y2 2 2 x y 4x . =1 或 1 9 4 9 81 检测题 6:椭圆 x y 2 2 2 2 1 (ab0)的左、右顶点分别是 A,B,左、右焦点分别是 F1,F2。若|AF1|, |F1F2|, a b |F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为_. 【答案】 5 5 【解析】利用椭圆及等比数列的性质解题.由椭圆的性质可知: AF a c , 1 F F c , 1 2 2 F B a c .又 已 1 知 AF , 1 F F , 1 2 F B 成等比数列,故 (a c)(a c) (2c)2 ,即 a2 c2 4c2 ,则 a2 5c2 .故 1 e c 5 . a 5 即
23、椭圆的离心率为 5 5 . 【考点定位】本题着重考查等比中项的性质,以及椭圆的离心率等几何性质,同时考查了函数与方程,转化与化 归思想.求双曲线的离心率一般是通过已知条件建立有关 a,c 的方程,然后化为有关 a,c 的齐次式方程,进而转 化为只含有离心率 e 的方程,从而求解方程即可. 体现考纲中要求掌握椭圆的基本性质.来年需要注意椭圆的长 轴,短轴长及其标准方程的求解等. 检测题 7:在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线 x y 2 2 2 1 的离心率为 5 ,则 m 的值为 m m 4 【答案】2。 【考点】双曲线的性质。 9 【解析】由 x y 2 2 2 1得 a= m,b= m
24、2 4,c= m m2 4 。 m m 4 c m m2 4 e= = = 5 a m ,即 m2 4m 4=0 ,解得 m=2 。 设点和设直线的解法 一、专题精讲 题型一、弦中点问题设而不求法 例 1:双曲线 x2 y2 1的一弦中点为(2,1),则此弦所在的直线方程为 ( ) A. y 2x 1 B. y 2x 2 C. y 2x 3 D. y 2x 3 A x y B x y .则 有: 【解析】设弦的两端分别为 1, 1 , 2, 2 x y 1 y y x x 2 2 1 1 1 2 1 2 x x y y 0 2 2 2 2 1 2 1 2 x y 1 x x y y 2 2 2
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