二次函数背景下最值问题经典考题.pdf

1、二次函数背景下最值问题经典考题 【例题】 （2019绵阳）在平面直角坐标系中，将二次函数 yax2（a0）的图象向右平移 1 个单位，再向下 平移 2 个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与 x 轴交于点 A、B（点 A 在点 B 的左侧） ，OA1， 经过点 A 的一次函数 ykx+b （k0） 的图象与 y 轴正半轴交于点 C， 且与抛物线的另一个交点为 D， ABD 的面积为 5 （1）求抛物线和一次函数的解析式； （2）抛物线上的动点 E 在一次函数的图象下方，求ACE 面积的最大值，并求出此时点 E 的坐标； （3）若点 P 为 x 轴上任意一点，在（2）的结论下，求+ 3 5 P

2、EPA的最小值 【方法点睛】 （1）抛物线解经过点 A（1，0） ，由平移法可“秒杀”抛物线解析； 由ABD 的面积为 5 可求出点 D 的纵坐标， “秒杀”一次函数解析式 （2）由铅锤法“秒杀”ACE 面积的最大值，小心计算出错 （3）根据条件构造出“一条线段的长等于 3 5 AP”，转化为“两线段和最小”问题， 由将军饮马“秒杀” 3 + 5 PEPA的最小值 【解答】 （1）将二次函数 yax2（a0）的图象向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位， 得到的抛物线解析式为 2 (1)2ya x， OA1， 点 A 的坐标为（1，0） ，代入抛物线的解析式得，4a20， 1 2 a ，

3、 抛物线的解析式为 2 1 (1)2 2 yx，即 2 13 22 yxx 令 y0，解得 x11，x23， B（3，0） ， ABOA+OB4， ABD 的面积为 5， 1 5 2 ABDD SABy ， 5 D y， 代入抛物线解析式得， 2 513 222 xx，解得 x12，x24， D（4， 5 2 ） ， 设直线 AD 的解析式为 ykx+b， 5 4 2 0 kb kb ，解得： 11 22 kb， 直线 AD 的解析式为 11 22 yx （2）过点 E 作 EMy 轴交 AD 于 M，如图，设 2 13 () 22 E aaa，则 11 () 22 M aa ， 22 111

4、313 2 222222 EMaaaaa ， SACE SAMESCME 22 11131325 |(2) 1() 22224216 CA EMxxaaa ， 当 3 2 a 时，ACE 的面积有最大值，最大值是 25 16 ，此时 E 点坐标为 315 () 28 ， 注：直线 AE 的解析式未知，选 CF 为铅锤高，| EA xx为水平宽难度大 直线 AD 的解析式已求得，选 EM 为铅锤高，| CA xx为水平宽难度小 （3） 【构造与转化分析】 315 () 28 E， 35 1 22 AG ， 15 8 EG ， 5 4 2 15 3 8 AG EG ， 作PHAE于 H， 3 5

5、PHAP，求 3 + 5 PEPA的最小值转化为求 PE+PH 的最小值 两线段和最短，这是典型的“将军饮马”问题 作点 E 关于 x 轴的对称点 F，PF=PE， PE+PH=PF+PHFH 当 F、P、H 三点共线时，PE+PH=PF+PH=FH 最小 解答过程的表述： 作 E 关于 x 轴的对称点 F，连接 EF 交 x 轴于点 G，过点 F 作 FHAE 于点 H，交轴于点 P， 315 () 28 E，OA1， 35 1 22 AG ， 15 8 EG ， 5 4 2 15 3 8 AG EG ， AGEAHP90， 3 sin 5 PHEG EAG APAE ， 3 5 PHAP， E、F 关于 x 轴对称， PEPF， 3 5 PEAPFPHPFH时，FH 最小， 1515 2 84 EF ，AEGHEF， 4 sinsin 5 AGFH AEGHEF AEEF ， 415 3 54 FH ， 3 5 PEPA的最小值是 3 注：在书写表达上，有直角三角形时，用三角比更简捷！在平时练习要有意识运用三角比简化表达过程 【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力，构造能力与转化能数形 结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段 之间的关系，解决相关问题