高中数学人教A版必修阅读与思考中外历史上的方程求解精讲课件-导学课件.ppt

1、数学史是研究数学发展规律的科学数学史是研究数学发展规律的科学 问题：因沙坪坝城市创卫发展需要，某运输公司要把26吨垃圾全部运到某垃圾处理站，决定调载重3吨和载重4吨的两种汽车共7辆，问这两种汽车各调多少辆刚好运完？(1)请用小学的算术解法解出答案?(2)请用列方程的解法解出答案？阅读思考一、阅读我们收集到的“方程的发展”材料回答下列问题：一元一次 方程一元二次 方程一元三次 方程四次、五次 方程发现时间 地点 有哪些相关著作 哪些有贡献的人 有何进展 时间：公元前时间：公元前20002000年年-公元前公元前18001800年年地点：古埃及地点：古埃及纸草书上的方程纸草书上的方程一元一次方程出

2、现21133327xxx x 422833149797x“试位法试位法”247xx如778248 37 3217x ，兰德纸草书第兰德纸草书第31题题 有一堆，它的有一堆，它的 ，它的，它的 ，它的，它的 ，它的全部，加起来总共是它的全部，加起来总共是33322171时间：公元前时间：公元前20002000年前后年前后地点：古巴比伦地点：古巴比伦泥版书上的方程泥版书上的方程一元二次方程的出现 英国大不列颠博物馆英国大不列颠博物馆13901号泥版记载了这样一个问号泥版记载了这样一个问题：题：我把我的正方形的面积加上正方形边长的我把我的正方形的面积加上正方形边长的 得得 ，求该正方形的边长求该正方

3、形的边长.2335601 的23是4060，其一半是2060，将它自乘得26406060，并把它加到3560上，得241406060，其平方根是5060，再从中减去4060的一半，得3060，于是12就是所求正方形的边长.2235360 xx这个问题相当于求解方程这个问题相当于求解方程 这一解法相当于将方程这一解法相当于将方程2xpx q的系数代入公式求解的系数代入公式求解 222ppxq时间：公元时间：公元3 3世纪前后世纪前后地点：古希腊地点：古希腊墓志铭上的方程墓志铭上的方程算术算术共共13卷，尚存卷，尚存6卷，是一部问题集，其中收集卷，是一部问题集，其中收集了许多实际问题，大约有了许多

4、实际问题，大约有290个题目，此外还有十几个个题目，此外还有十几个引理和推论，合起来共有三百多个问题。引理和推论，合起来共有三百多个问题。卷卷问题问题27：求两数使其和为：求两数使其和为20，其乘积为，其乘积为96.设所求两数之差为2x，于是两数为10,10 xx，故有210096x，得2x.所求两数为 12 和 8.卷卷问题问题8：把一给定平方数分成两个平方数：把一给定平方数分成两个平方数.给定的数取 16，分成的平方数分别为216()5和212()5.方法是，设所求之一为2x，则另一为2(24)x，于是2x+2(24)x=16，解得2x=216()5=25625，2(24)x=212()5

5、=14425.时间：公元时间：公元9 9世纪世纪-12-12世纪世纪地点：印度地点：印度2()axbxc婆罗摩笈多婆罗摩笈多 242acbbxa摩诃毗罗摩诃毗罗 2222444a xabxbacb22(2)4axbacb婆什迦罗婆什迦罗 列举了各种二次方程的求解，列举了各种二次方程的求解，并认为二次方程有两根并认为二次方程有两根 时间：公元时间：公元820820年年地点：阿拉伯地点：阿拉伯人物：花拉子米人物：花拉子米ilm al-jabr wal-muqabala algebra 还原与对消的科学还原与对消的科学 原意是原意是“还原还原”，根据上下文的意，根据上下文的意思，是指把负项移到方程另

6、一端变思，是指把负项移到方程另一端变成正项，方程才能平衡成正项，方程才能平衡 意即意即“化简化简”或或“对消对消”，是指方，是指方程两端可以消去相程两端可以消去相同的项或合并同类同的项或合并同类项项 代数学代数学系统地论述了六种类型的一次和二次系统地论述了六种类型的一次和二次方程的解法。这些方程由下列三种量构成：方程的解法。这些方程由下列三种量构成：根根、平方平方、数数。根相当于现在的未知数。根相当于现在的未知数x，平方就是，平方就是x2，数是常数，数是常数项。项。1平方等于根平方等于根 ax2=bx2平方等于数平方等于数 ax2c3根等于数根等于数 ax=c4平方和根等于数平方和根等于数 a

7、x2bx=c5平方和数等于根平方和数等于根 ax2cbx6根和数等于平方根和数等于平方 bxcax2对于一般方程对于一般方程 x2pxq 222ppxq解之得：0t25/7数学史是研究数学发展规律的科学所以y=(100-7x)/4=25-2x+x/4李锐（1769-1817）罗士琳（1789-1853）人物四：卡当(Cardan,1501-1576)医生，哲学家，数学家人物四：卡当(Cardan,1501-1576)医生，哲学家，数学家书中收集了246个应用问题和其他问题的解法，分为九章。从理论上围绕简化模式和原始多层斜压模式的建立与应用，求解涡度方程、平衡方程和原始方程的差分格式，分析了各种

8、初值处理方法与边界条件对预报效果的影响等问题。这个问题相当于求解方程给出了形如的二次方程的求解步骤时间：公元1世纪东汉初年-19世纪初清朝x3+mx=n(m,n0)请求下面古代画板方程的解的范围：（）原意是“还原”，根据上下文的意思，是指把负项移到方程另一端变成正项，方程才能平衡并认为二次方程有两根因为x,y,z大于等于0本章中方程的解法主要有“方程术”和“正负术”等。ilm al-jabr wal-muqabala算术共13卷，尚存6卷，是一部问题集，其中收集了许多实际问题，大约有290个题目，此外还有十几个引理和推论，合起来共有三百多个问题。代数学系统地论述了六种类型的一次和二次方程的解法

9、。时间：公元时间：公元1 1世纪东汉初年世纪东汉初年-19-19世纪初清朝世纪初清朝地点：中国地点：中国九章算术九章算术方程方程 介绍了一次方程组的解法介绍了一次方程组的解法 公元公元3世纪世纪 赵爽赵爽 勾股圆方图说勾股圆方图说 给出了形如的二次方程的求解步骤给出了形如的二次方程的求解步骤公元公元7世纪世纪 王孝通王孝通 缉古算经缉古算经 解决了不少三次方程求解的实际问题解决了不少三次方程求解的实际问题 公元公元1113世纪世纪 在古代开平方、开立方、开带从平方、开带从立方等算在古代开平方、开立方、开带从平方、开带从立方等算法的基础上，创立了一种具有中国古代数学独特风格的新算法的基础上，创立

10、了一种具有中国古代数学独特风格的新算法，即高次方程的数值解法法，即高次方程的数值解法.九章算术九章算术上承先秦数学发展之源流，入汉之后又经许上承先秦数学发展之源流，入汉之后又经许多学者的整理、删补和修订，大约于东汉初年（公元一世纪）多学者的整理、删补和修订，大约于东汉初年（公元一世纪）成书，它汇总了战国和西汉时期的数学成果，是几代人共同劳成书，它汇总了战国和西汉时期的数学成果，是几代人共同劳动的结晶。书中收集了动的结晶。书中收集了246个应用问题和其他问题的解法，分个应用问题和其他问题的解法，分为九章。为九章。“方程方程”是其中的第八章，主要研究线性方程组的解是其中的第八章，主要研究线性方程组

11、的解法，其基本思想是消元。法，其基本思想是消元。程，课程也。群务总杂，程，课程也。群务总杂，各列有数，总言其实，令每行各列有数，总言其实，令每行为率为率.二物者二程，三物者三程，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故皆如物数程之，并列为行，故谓之谓之“方程方程”。刘刘 徽徽 本章中方程的解法主要有本章中方程的解法主要有“方程术方程术”和和“正负正负术术”等。等。“方程术方程术”的解题方法与现代利用线性方的解题方法与现代利用线性方程组的系数增广矩阵通过初等变换求解十分接近。程组的系数增广矩阵通过初等变换求解十分接近。这是中国古算一项了不起的成就，超前世界其他国这是中国古算一项了不起的

12、成就，超前世界其他国家上千年。有些问题不能用家上千年。有些问题不能用“方程术方程术”求解，进一求解，进一步的探究探索导致了正、负数概念的产生及正负数步的探究探索导致了正、负数概念的产生及正负数运算法则的建立，形成了新的求解方法运算法则的建立，形成了新的求解方法“正负术正负术”。宋元之际的战乱年代宋元之际的战乱年代 洞渊九容洞渊九容 测圆海镜测圆海镜 李冶李冶“中土数学之宝书中土数学之宝书”具体程序具体程序：“立天元一为某某立天元一为某某”根据已知条件，列出两个相等的多项式根据已知条件，列出两个相等的多项式 把这两个多项式相减，便得到了一个一端为零的方程把这两个多项式相减，便得到了一个一端为零的

13、方程 元代元代 朱世杰朱世杰 四元表示法四元表示法四元消元法四元消元法列出含有四个未知数的方程组列出含有四个未知数的方程组 消去三个元，使它变成一个一元高次方程消去三个元，使它变成一个一元高次方程 解出这个一元高次方程的数值解出这个一元高次方程的数值 具体程序具体程序：中国古代的数学家不止一次地攀登上当时世界数中国古代的数学家不止一次地攀登上当时世界数学发展的高峰，对于方程的研究作出了当时无与伦比学发展的高峰，对于方程的研究作出了当时无与伦比的成就，为世界数学史和文明史作出了伟大的贡献的成就，为世界数学史和文明史作出了伟大的贡献.这这是中华民族的骄傲。当然，任何事物都是可以一分为是中华民族的骄

14、傲。当然，任何事物都是可以一分为二的二的.我国古代对方程的研究往往局限于解决实际问题，我国古代对方程的研究往往局限于解决实际问题，不重视基础理论特别是方程性质的研究，因此，也存不重视基础理论特别是方程性质的研究，因此，也存在不容忽视的缺点。在不容忽视的缺点。十八世纪末十九世纪初十八世纪末十九世纪初 焦循（焦循（1763-1820）汪莱（汪莱（1768-1813）李锐（李锐（1769-1817）罗士琳（罗士琳（1789-1853）根和系数的判别法：根和系数的判别法：当方程系数有一次变号的时候，可以有一个正根；当方程系数有一次变号的时候，可以有一个正根；有二次变号的时候，有两个正根；有二次变号的时

15、候，有两个正根；有三次变号的时候，有三个或一个正根；有三次变号的时候，有三个或一个正根；有四次变号的时候，有四个或两个正根。有四次变号的时候，有四个或两个正根。时间：时间：1616世纪世纪-19-19世纪世纪地点：欧洲地点：欧洲方程解法的重大突破方程解法的重大突破1494年，意大利数学家帕西奥利对三次方程进行过艰辛年，意大利数学家帕西奥利对三次方程进行过艰辛的探索后作出极其悲观的结论，他认为在当时的数学，求的探索后作出极其悲观的结论，他认为在当时的数学，求解三次方程，犹如化圆为方问题一样，是根本不可能的。解三次方程，犹如化圆为方问题一样，是根本不可能的。序曲序曲人物一：人物一：费罗费罗(Fer

16、ro,1465-1526)大学教授大学教授人物二：人物二：菲奥菲奥(Fior)费罗的学生费罗的学生 人物三：人物三：冯那塔冯那塔(Fontana,1499-1557)“塔塔利亚塔塔利亚”人物四：人物四：卡当卡当 (Cardan,1501-1576)医生，哲学家，数学家医生，哲学家，数学家人物五：人物五：费拉里费拉里(Ferrari,1522-1565)卡当的学生卡当的学生x3+mx=n(m,n0)x3+mx2=n(m,n0)3(,0)xmxn m n形如形如 的方程的方程233233223223xabnnmannmb其中同学们知道同学们知道“历史上最早的数学竞赛历史上最早的数学竞赛”是哪场竞赛

17、吗是哪场竞赛吗？这场竞赛对数学方程有什么突破这场竞赛对数学方程有什么突破?我国古代我国古代“天元术天元术”的表示方法：的表示方法：在等式的在等式的一次项一次项旁边记一个旁边记一个“元元”字，字，或者在常数项旁边记一个或者在常数项旁边记一个“太太”字。字。32336418424883200 xxx挑战极限，开发大脑挑战极限，开发大脑32336418424883200 xxx请求下面古代画板方程的解的范围：（请求下面古代画板方程的解的范围：（）元元A A、（、（-1,1-1,1）B B、（、（-4,-3-4,-3）C C、（、（-3,-2-3,-2）D D、（、（1,21,2）C C 这个画板表示

18、哪个方程？这个画板表示哪个方程？时间：现代时间：现代方程的应用方程的应用借助工具：计算机借助工具：计算机 1954年至年至1960年，中科院地球所与中央气象台开展了数值年，中科院地球所与中央气象台开展了数值天气预报研究。从理论上围绕简化模式和原始多层斜压模式的天气预报研究。从理论上围绕简化模式和原始多层斜压模式的建立与应用，建立与应用，求解涡度方程、平衡方程和原始方程的差分格式求解涡度方程、平衡方程和原始方程的差分格式，分析了各种初值处理方法与边界条件对预报效果的影响等问题。分析了各种初值处理方法与边界条件对预报效果的影响等问题。同期，中央气象科学研究所将泛函分析理论引入数值天气预报，同期，中

19、央气象科学研究所将泛函分析理论引入数值天气预报，利用希尔伯特空间理论，论证了微分方程的利用希尔伯特空间理论，论证了微分方程的“广义解广义解”更接近更接近方程所描述物理现象的实况，给出了实际可行的使用多时刻资方程所描述物理现象的实况，给出了实际可行的使用多时刻资料的短期数值天气预报模式。料的短期数值天气预报模式。法国法国 天才数学家天才数学家 伽罗瓦伽罗瓦（Galois，18111832）关于五次方程的代数解法问题关于五次方程的代数解法问题 关于用根式解方程的可解性条件关于用根式解方程的可解性条件 柯西（柯西（Cauchy,1789-1875）傅立叶（傅立叶（Fourier，1768-1830）

20、泊松（泊松（Poisson，1781-1840）“你可以公开地请求雅可比（你可以公开地请求雅可比（Jacobi）或高斯，不是对于）或高斯，不是对于这些定理的真实性而是对于其重要性表示意见，将来我希望有这些定理的真实性而是对于其重要性表示意见，将来我希望有人会发现这堆东西注释出来对于他们是有益的。人会发现这堆东西注释出来对于他们是有益的。”刘维尔（刘维尔（Liouville，1809-1882）若当（若当（Jordan，1838-1892）10110nnnna xa xaxa当当n5时不可能用根号求根时不可能用根号求根 挪威挪威 天才数学家天才数学家 阿贝尔（阿贝尔（Abel Niels Hen

21、rik 1802-1829）“要想在数学上取得进展，就应该阅读要想在数学上取得进展，就应该阅读大师的而不是他们的门徒的著作。大师的而不是他们的门徒的著作。”“如果一个方程可以根式求解，则出现在根的表达式中如果一个方程可以根式求解，则出现在根的表达式中的每个根式都可表示成方程的根和某些单位根的有理数。的每个根式都可表示成方程的根和某些单位根的有理数。”阿比尔定理：一般高于四次的方程不可能代数地求解。阿比尔定理：一般高于四次的方程不可能代数地求解。五次方程代数解法不可能存在五次方程代数解法不可能存在 这个故事对你有什么启发？这个故事对你有什么启发？谈谈你的收获谈谈你的收获?课后涨知识：课后涨知识：

22、可查找可查找 如二如二分法、牛顿法、拟牛顿法、分法、牛顿法、拟牛顿法、弦截法等弦截法等 资料。资料。可在维普、知网查阅可在维普、知网查阅 今有鸡翁一，直（值）钱五；鸡母今有鸡翁一，直（值）钱五；鸡母一，直钱三；鸡雏三，直钱一。凡百钱一，直钱三；鸡雏三，直钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁母雏各几何？买鸡百只，问鸡翁母雏各几何？张丘建算经张丘建算经下卷第三十八题下卷第三十八题 问题问题2 2 解：设公鸡、母鸡、小鸡分别为x、y、z只。则,由题意知:xyz 100 5x3y(1/3)z 100 令3得:7x4y100所以y=(100-7x)/4=25-2x+x/4令x/4=t,（t为整数）所以x=4t 把x=4t代入7x+4y=100得到：y=25-7t 易得z=75+3t 所以：x=4t y=25-7t z=75+3t 因为x,y,z大于等于0所以4t025-7t075+3t0解之得：0t25/7又t为整数 所以t=0,1,2,3 当t=0时 x=0,y=25,z=75 当t=1时 x 4；y 18；z 78 当t=2时 x 8；y 11；z 81 当t=3时 x 12；y 4；z 84