线性控制系统极零点及稳定性课件.ppt

1、第二章第二章 多变量系统的极点、零点和稳定性多变量系统的极点、零点和稳定性 Poles,Zeros and Stability of Multivariable Feedback Systems本章内容：本章内容：传递函数的传递函数的Smith-McMillan标准形标准形 传递函数的极点和零点传递函数的极点和零点 传递函数的矩阵分式描述传递函数的矩阵分式描述(MFD)系统的内稳定系统的内稳定 奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据2.1 Introduction多变量系统的传递函数矩阵多变量系统的传递函数矩阵transfer-function matrix最基本的系统的连接最基本的系统的连接(co

2、nnection)connection)：串联：串联(series)(series)、并联、并联(parallel)(parallel)和反馈和反馈 (feedback)(feedback)连接。另外，逆系统也用于系统分析与设计中。连接。另外，逆系统也用于系统分析与设计中。是有理真分式是有理真分式(rational proper fraction)，对，对 多变量系统的研究很多时候采用状态空间模型。多变量系统的研究很多时候采用状态空间模型。()ijgs求两个系统乘积 乘积表示系统串联 使用关系 时 得乘积系统 111222121122(),(),()()yG s uyG s uuyyG s G

3、 s u11 11 111 11 1xAxBuyC xDu2222222222xA xB uyC xD u11121122222211 11221220 xABCxB DuxAxByC xDC xD D u12uy 反馈系统，有关系式反馈系统，有关系式(画出其结构图画出其结构图)1112221212(),(),yG s uyGs uuuyyu则则111211121()()()()()()()()()y sIG s G sG s u sG s IG s G su s回差回差(return difference)：1221()(),()()IG s G sIG s G s回比回比(return r

4、atios)：1221()(),()()G s G sG s G s逆系统Inverse Systems 系统 的逆系统（实质是把状态方程中的u，y互换）如果两个系统表示为：则（实质为两系统串联），画出结构图，列输入输出的状态方程，由梅森公式得出求逆系统 转换关系 变换 得逆系统 1()()yG s uuGs yxA xB uyC xD u11xAxBuuD CxD y 1111()xABD C xBD yuD CxD y 1111111111()()(,)GsD C sIABD CBDDABD C BDD C D2.2 传递函数的传递函数的Smith-McMillan形式形式对极点、零点的一

5、般化研究，需要对极点、零点的一般化研究，需要Smith-McMillan标准形式标准形式.单模阵单模阵(幺模阵幺模阵,unimodular)：与与 常数常数(与与s无关无关)都是多项都是多项 式矩阵式矩阵.或或初等矩阵初等矩阵(elementary matrix)(elementary matrix)：单位矩阵经过：单位矩阵经过一次初等变换一次初等变换(elementary operations)后的矩阵。后的矩阵。初等变换初等变换 交换两行交换两行(或列或列)；用常数乘以某行用常数乘以某行(或列或列)；某行某行(或列或列)乘一多项式加到另一行乘一多项式加到另一行(或列或列)上。上。两个矩阵等

6、价，两个矩阵等价，()P s与与()Q s等价，记为等价，记为()()P sQ s11()()()()()()lrP sL sL s Q s R sRs定理定理2.1：任意多项式矩阵等价于一个伪对角多：任意多项式矩阵等价于一个伪对角多 项式，形式为项式，形式为SmithSmith标准型标准型 Smith formSmith form (pseudo-diagonal polynomial matrix)(pseudo-diagonal polynomial matrix)：12()()diag(),(),(),0,0rP sS ssss()is是首一是首一(monic)多项式，是多项式，是()

7、P s的不变因子的不变因子，且满足：且满足：1()(),1,2,1iissir(整除特性整除特性divisibility property)()is是是()P s的不变因子的不变因子(invariant factors)。012()1,(),(),(),iDsD sDsD s行列式因子行列式因子1()()/()iiisD sDs (determinantal divisors)(determinantal divisors)例例1：化下面多项式矩阵为化下面多项式矩阵为Smith标准形式标准形式 (怎样怎样化标准形？化标准形？)1234221011(),(),010110(),0111(),01

8、31ssP sP ssssP ssssP sssss5222112()123,123P sssssssss()G s定理定理2.2(Smith-McMillan form):如果如果 是有理函数是有理函数矩阵矩阵rational matrix，具有一般秩，具有一般秩 ,则可以通过系列则可以通过系列初等变换化为初等变换化为Smith-McMillan 标准形：标准形：r1212()()()()()diag,0,0()()()rrsssG sM ssss11()(),1,2,1()()iiiissirss解释一般秩：解释一般秩：Normal rank例例2 222222113232428()323

9、222412ssssssssG sssssssss2210322()()03200sssG sM sss例例2 22222111()428324224G ssssssssss 222221001111/20.50.542801(48)/6(34)/6(2)/24224100200sssssssssssss 例例2 22222111()428324224G ssssssssss 222221001111/20.50.542801(48)/6(34)/6(2)/242241002,()()()()00sssssssssssssG sL s M s R s 2.3 传递函数的极点和零点传递函数的极点

10、和零点Poles and Zeros of a transfer function matrix定义定义1212()()()()()diag,0,0()()()rrsssG sM ssss极点多项式：极点多项式：12()()()()rp ssss零点多项式：零点多项式：12()()()()rz ssss与与的根的根(roots)称为传递函数称为传递函数的极点和零点的极点和零点传递函数传递函数的极点和零点的含义：的极点和零点的含义：极点：极点：的分母中有因子的分母中有因子(以该点为根以该点为根)零点：零点：的分子中不一定有因子，但该点使的分子中不一定有因子，但该点使的秩下降，但重数不能这样简单确

11、定。的秩下降，但重数不能这样简单确定。极点多项式极点多项式的次数称为传递函数的次数称为传递函数的的McMillan次次(degree)零点：通常称为传递零点：通常称为传递(输输)零点零点(transmission zeros)上面例上面例2中，零点中，零点2,极点极点-1,-1,-2,都是都是简单的简单的(simple)。推论：如果推论：如果是方的，则是方的，则。det()()/()G sc z sp s2.4 矩阵分式描述矩阵分式描述Matrix Fraction Description(MFD)设 是严格真(strictly proper)有理传递函数，和 是单模阵，可化为Smith-Mc

12、Millan标准型：()G s()L s()R s()G s1212()()()()()()()()diag,0,0()()()()rrG sL s M s R ssssL sR ssss12121()()()()diag,0,0()()()()()rrsssM ssssN s D s12()diag(),(),(),0,0rN ssss12()diag(),(),(),1,1rD ssss上式被称为 的右矩阵分式描述(right matrix fraction description).(同理有左矩阵分式描述)-分子矩阵(numerator matrix)-分母矩阵(denominator

13、matrix)111()()()()()()()()()()G sL s M s R sL s NsRs D sN s D s()G s()N s()D s (1)z is a zero of if and only if loses rank (2)p is a pole of if and only if loses rankMFD表示不是唯一的定义：定义：右互质(right coprime)如果只对单模阵 成立，则称 与 右互质这时称 是不可约的(irreducible)()G s()G s()N z()D p11()()()()()()()G sN s X sD s X sN s D

14、s()()()N sN s U s()()()D sD s U s()U s()N s()D s1()()()G sN s D s怎样判定怎样判定 与与 右互质？右互质？存在多项式矩阵 使得 。如果 是不可约的(irreducible)，则 的极点多项式：(),()X s Y s()()()()X s N sY s D sI1()()()G sN s D s()G s()det()p sD s()N s()D s2.5 状态空间实现状态空间实现State Space Realization显然有 定理定理2.3：设 有最小实现 ，是 的首一极点多项式，则 1adj()()()det()CsIA

15、 BG sC sIABDDsIA()G s(,)A B C D()p s()G s()p ssIA例例3：最小实现，下面的第二步G（s）这样写是不对的。12()3ssG sss(1)(3)1()(2)(2)(3)ssG ss sss0103 11,6516 31ABCD 2.6 多少零点？多少零点？How Many Zeros?有零点的非方形传递函数是特殊的，一般的非方形传递函数无零点例例4：怎样判定下面传递函数是否有零点？132411()563142sssssGssssssSISO传递函数情况：零点和极点：有m个有限(finite)零点，有n个有限极点如果 ，在无穷远处(at infinit

16、y)有 个零点如果 ，在无穷远处(at infinity)有 个极点 在 的极点和零点，通过 在 的极、零点来定义.1111()mmmnnnsb sbG sksa sanmnmnmnm()G ss()(1/)HG0传递函数是方阵情况：定理定理2.4：如果 是方阵，那么它的极点和零点一样多()G s11()(),()()mniiiiz sszp ssp11(1/)(1),(1/)(1)mnmniiiizzpp11det()(1)/(1)mnn miiiiHkzp设 在0有 个零点，个极点，则总的极点数与总的零点数相等：非方形传递函数上面结论不成立。非方形传递函数上面结论不成立。()Hzpzpnm

17、ffppzz例例5：13()24ssG sss有两个极点，没有零点。关于零点的进一步讨论关于零点的进一步讨论(further discussion)(介绍介绍)设 是方形，维数 ，最小实现：()G smm12()()CBCABG sDC sIABDss2()HDCBCAB若 ，则 在 至少有 个零点rankD()H0m这样 至少有 个零点在无穷远处因此至多 个有限零点但当 时，一般情况，的秩在无穷远处不下降，所以得 有n个有限零点。()G smnmm()G s()G s若 ，至多有 个有限零点，至少m个零点在无穷远处0D()G snm当 时，恰有 个有限零点rankCBmnm当 时，至多有 个

18、有限零点rankCBmdnmd更精确计算有限零点的数目需要检查马可夫(Markov)参数：.更详细讨论Kailath(1980),MacFarlane(1976)-IJC1iCAB2.7 内部稳定性内部稳定性 Internal Stability定义：定义：指数稳定指数稳定(exponentially stable)：正则(proper)且没有闭右半复平面(CRHP)极点.()G s 内部稳定内部稳定(internally stable)：如图所示反馈系统反馈系统是内部稳定的，当且仅当传递函数11122122()()()()()euHsHsHsHsHs111121221222eHHueHHu是

19、指数稳定的。(相对于外部稳定外部稳定)这时称这时称 是内部稳定的，或是内部稳定的，或 镇镇定定 。(),()G sKs()Ks()G s可求出两点说明：定义中排除了 与 不稳定的极零点相消；(2)检验四个传函 都是指数稳定的。内部稳定-指反馈系统，指数稳定-指传递函数。1111()()()()()euIKGIKGKHsG IKGIGK()G s()K s()ijHs定理定理2.5：如果 指数稳定，则图2所示反馈系统内部稳定当且仅当 指数稳定。(存在指数 稳定时，称 是可强镇定的strong stabilizable)证明：证明：()Ks121()()HsG IKG()K s()G s11121

20、()()()HsIKG IKGIKHs1211()()()HsHs K s 12221()()()()HsIG IKGKIHs K s定理定理2.6：如果 指数稳定，则 指数稳定当且仅当 在闭右半平面上没有零点(包括无穷远点including infinity)；在 的闭右半平面极点处解析(analytic)(包括无穷远极点)。【更详细(细致)的结果，了解】()K s121()()HsG IKGdet()()IG s Ks21()Hs()G s例例6：11(),()21sK sG sss1det1()()2sG s K ss121(1)(1)sGKGss因此，不能镇定 .正反馈：换为 .()K

21、s()G s()K s()Ks设计者应遵循的原则：设计者应遵循的原则：不能引入右半平面的极零点对不能引入右半平面的极零点对消消.附加作业：附加作业：设设 求出求出 并证明并证明 指数稳定的充要条件是指数稳定的充要条件是 指数稳定。指数稳定。11111212221222()yuyuWWuWsyuWWu ()yuWs()yuWs()euHs2.8 一般一般Nyquist稳定判据稳定判据 The Generalized Nyquist Stability Criterion取反馈 (负反馈)，并设 在闭右半平面上有 个极点和 个零点，则由幅角原理(the principle of the argum

22、ent)()K skI det()IkG sopcpargdet()2()coIkG spp:注意：注意：的极点就是 的极点闭环系统稳定性分析：闭环系统稳定性分析：闭环系统稳定 如果 是 的特征值，则 是 的特征值()IkG s()G s0cp()is()G s1()iks()IkG sdet()1()iIkG sksargdet()arg1()iIkG sks所以判定稳定性问题转化为计算 的Nyquist图围绕原点的圈数问题，进一步得 绕 点的圈数问题(与经典判据一样了)。的图被称为特征轨迹特征轨迹characteristic loci 1()iks()iks10j()is例例7：(取 )2

23、()j1k 01()101G sss1,2()(1)/(1)sss 1,2()(1)/(1)jjj 下面的问题：数圈 和 一起形成一个封闭曲线是一个单位圆(和 分别构成上半圆弧和下半圆弧)。1()j2()j1()j所以 时系统稳定，时系统不稳定。1k 1k 22(1)(1)(1)det()1(1)(1)ssk sI kG skss 定理定理2.7(Generalized Nyquist Theorem)如果 有 个不稳定Smith-McMillan极点，则具有回比为 的闭环系统稳定，当且仅当 的特征轨迹一起起逆时针包围 点 圈，假设没有隐藏不稳定模(没有极零点对消)。()G sop()kG s

24、()kG s10jop例例8：11()621.25(1)(2)ssG ssss1,223124()2.5(1)(2)jjsjj特征轨迹见下图：下图：的的Nyquist图。图。1,2()s分析：,再计算一个点(确定分支).1,20,()(31)/50.4,0.8s 1,2,()0s 设 ，取 ,则 时,取 2124()jj12,2/120.11785 0.11785(2)jj 1,2()0.33610.0941,0.81880.3946jj 1/0.8k 系统稳定 系统不稳定 系统稳定 系统不稳定系统稳定 0.81/0.4k 0.41/0k 01/0.53k 0.531/k 当k变化时系统的稳定性:总结总结 Summary 掌握多项式矩阵的掌握多项式矩阵的Smith标准形及传递函数的标准形及传递函数的Smith-McMillan标准形标准形(会求会求)；掌握传递函数的极点和零点的概念；掌握传递函数的极点和零点的概念；掌握传递函数的左、右互质及矩阵分式描述；掌握传递函数的左、右互质及矩阵分式描述；熟练掌握系统的内稳定概念及相关运算；熟练掌握系统的内稳定概念及相关运算；了解一般奈奎斯特稳定判据；了解一般奈奎斯特稳定判据；尝试使用计算机绘制特征轨迹，并判别系统稳定性。尝试使用计算机绘制特征轨迹，并判别系统稳定性。