线性多变量系统线性系统理论完整课件.pptx

1、线性多变量系统选用教材：郑大钟 线性系统理论 清华大学出版社教学参考书：陈启宗著 线性系统理论与设计 科学出版社 何关钰著 线性控制系统理论 辽宁人民出版社第一章第一章 绪绪 论论第二章第二章 线性系统的状态空间描述线性系统的状态空间描述第三章第三章 线性系统的运动分析线性系统的运动分析第四章第四章 线性系统的能控性和能观测性线性系统的能控性和能观测性第五章第五章 线性系统的稳定性线性系统的稳定性第六章第六章 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合线性系统的时间域理论线性系统的复频率域理论第一章 绪论 1.1系统控制理论的研究对象系统控制理论的研究对象系统是系统控制理论的研究对象 系

2、统:是由相互关联和相互制约的若干“部分”所组成的具有特定功能的一个“整体”系统具有如下3个基本特征:(1)整体性 所决定系统行为和功能由整体结构上的整体性.ba(2)抽象性 作为系统控制理论的研究对象,系统常常抽去了具体系统的物理,自然和社会含义,而把它抽象为一个一般意义下的系统而加以研究.(3)相对性 在系统的定义中,所谓“系统”和“部分”这种称谓具有相对属性1/3,1/51/3,1/5动态系统:所谓动态系统,就是运动状态按确定规律或确定统计规律随时间演化的一类系统动力学系统 系统变量可区分为三类形式 输出变量组内部状态变量组输入变量组.cba系统动态过程的数学描述),()(输出变量组的关系

3、输入外部描述黑箱描述状态方程和输出方程内部描述白箱描述动态系统的分类 从机制的角度 DEDSCVDS离散事件动态系统连续变量动态系统从特性的角度 非线性系统线性系统属于无穷维系统分布参数系统属有穷维系统集中参数系统:从作用时间类型的角度 离散时间系统连续时间系统uxy2/3,2/52/3,2/5线性系统理论的研究对象为线性系统,其模型方程具有线性属性即满足叠加原理.若表征系统的数学描述为L)()()(22112211uLcuLcucucL系统模型是对系统或其部分属性的一个简化描述 系统模型的作用模型类型的多样性数学模型的基本性建立数学模型的途径系统建模的准则 3/3,3/53/3,3/51.2

4、 线性系统理论的基本概貌线性系统理论的基本概貌线性系统理论是一门以研究线性系统的分析与综合的理论和方法为基本任务的学科 主要内容:数学模型 分析理论 综合理论 发展过程:经典线性系统理论,现代线性系统理论 主要学派:状态空间法几何理论 把对线性系统的研究转化为状态空间中的相应几何问题,并采用几何语言来对系统进行描述,分析和综合 代数理论 把系统各组变量间的关系看作为是某些代数结构之间的映射关系,从而可以实现对线性系统描述和分析的完全的形式化和抽象化,使之转化为纯粹的一些抽象代数问题 多变量频域方法 二是多项式矩阵方法一是频域方法1/2,4/51/2,4/51.3 本书的论述范围本书的论述范围

5、1：状态空间法 2：多项式矩阵法 2/2,5/52/2,5/5第一部分第一部分:线性系统时间域理论线性系统时间域理论 第二章第二章 线性系统的状态空间描述线性系统的状态空间描述 2.1 状态和状态空间 线性系统时间域理论是以时间域数学模型为系统描述,直接在时间域内分析和综合线性系统的运动和特性的一种理论和方法 系统动态过程的数学描述 2u1upuqy2yqynxxx,211/4,1/501/4,1/50(1).系统的外部描述 外部描述常被称作为输出输入描述例如.对SISO线性定常系统:时间域的外部描述:ubububyayayaynnnnn0)1(1)1(10)1(1)1(1)(复频率域描述即传

6、递函数描述 01110111)()()(asasasbsbsbsusysgnnnnn(2)系统的内部描述 状态空间描述是系统内部描述的基本形式,需要由两个数学方程表征,状态方程和输出方程(3)外部描述和内部描述的比较 一般的说外部描述只是对系统的一种不完全描述,不能反映黑箱内部结构的不能控或不能观测的部分.内部描述则是系统的一种完全的描述,能够完全反映系统的所有动力学特性.2u1upuqy2yqynxxx,212/4,2/502/4,2/50状态和状态空间的定义 状态变量组:状态（向量）一个动力学系统的状态定义为由其状态变量组 )(,),(21txtxtxn所组成的一个列向量 一个动力学系统的

7、状态变量组定义为能完全表征其时间域行为的一个最小内部变量组)()()()(21txtxtxtxn状态空间 状态空间定义为状态向量（取值）的一个集合,状态空间的维数等同于状态的维数 几点解释（1）状态变量组对系统行为的完全表征性 只要给定初始时刻 t0 的任意初始状态变量组)(,),(00201txtxtxn和tt0 各时刻的任意输入变量组 )(,),(21tututup那么系统的任何一个内部变量在tt0各时刻的运动行为也就随之而完全确定 2u1upuqy2yqynxxx,213/4,3/503/4,3/50(2).状态变量组最小性的物理特征(3).状态变量组最小性的数学特征(4).状态变量组的

8、不唯一性(5).系统任意两个状态变量组之间的关系(6)有穷维系统和无穷维系统(7)状态空间的属性 状态空间为建立在实数域R上的一个向量空间R n4/4,4/504/4,4/502.2 线性系统的状态空间描述 电路系统状态空间描述的列写示例)(te1RLCcU2R2RULiCiedtdiLdtduCRiRdtdiLdtduCRuLcLLcc1120eRRRiuRRRRRRRueRRLRCRRiuRRLRRRRLRCRRRCRRiuLcRLcLc2122121212212212121211211212)()(1)()()()(1以上方程可表为形如 DuCXYBuAXX描述系统输入、输出和状态变量之

9、间关系的方程组称为系统的状态空间表达式（动态方程或运动方程），包括状态方程（描述输入和状态变量之间的关系）和输出方程（描述输出和输入、状态变量之间的关系）。1/7,5/501/7,5/50机电系统状态空间描述的列写示例)(teaRaLconstifFJ,aaaMaeaaaaMeaaaaieLiJfJcLcLRidtdJficecdtdiLiR1001上式可表为形如 DuCXYBuAXX2/7,6/502/7,6/50连续时间线性系统的状态空间描述 动态系统的结构1u2upu1x2xnx1y2yqy动力学部件输出部件连续时间线性系统的状态空间描述 线性时不变系统 DuCXYBuAXX线性时变系统

10、 utDXtCYutBXtAX)()()()(3/7,7/503/7,7/50连续时间线性系统的方块图)(tB)(tC)(tDXYUX)(tA4/7,8/504/7,8/50人口分布问题状态空间描述的列写示例假设某个国家,城市人口为107,乡村人口为9x107,每年4%的城市人口迁移去乡村,2%的乡村人口迁移去城市,整个国家的人口的自然增长率为1%设k为离散时间变量,x1(k)、x2(k)为第k年的城市人口和乡村人口,u(k)为第k年所采取的激励性政策控制手段,设一个单位正控制措施可激励5x104城市人口迁移乡村,而一个单位负控制措施会导致5x104乡村人口去城市,y(k)为第k年全国人口数)

11、(10501.1)(04.001.1)()02.01(01.1)1()(10501.1)(02.001.1)()04.01(01.1)1(41224211kukxkxkxkukxkxkx写成矩阵形式)()()()()()1()()(11)()(1005.51005.5)()(9898.00404.00202.09696.0)1()1(21442121kDukCxkykHukGxkxkxkxkykukxkxkxkx亦可表为5/7,9/505/7,9/50离散时间线性系统的状态空间描述状态空间描述形式离散时间线性时不变系统)()()()()()1(kDukCxkYkHukGxkX传输矩阵阵输出矩阵

12、阵输入矩阵阵系统矩阵阵:DpqCnqHpnGnn离散时间线性时变系统)()()()()()()()()()1(kukDkxkCkYkukHkxkGkX6/7,10/506/7,10/50状态空间描述的特点一是:状态方程形式上的差分型属性二是:描述方程的线性属性三是:变量取值时间的离散属性 离散时间线性系统的方块图)(kH)(kC)(kD)1(kx)(ky)(ku)(kx)(kG单位延迟7/7,11/507/7,11/502.3.连续变量动态系统按状态空间描述的分类 线性系统和非线性系统 设系统的状态空间描述为),(),(tuxgytuxfx向量函数),(),(),(),(),(),(),(),

13、(2121tuxgtuxgtuxgtuxgtuxftuxftuxftuxfqn，若f(x,u,t),g(x,u,t)的全部或至少一个组成元为x、u的非线性函数,该系统称为非线性系统 若f(x,u,t),g(x,u,t)的全部组成元为x、u的线性函数,该系统称为线性系统 对于线性系统 utDXtCYutBXtAX)()()()(非线性系统可以用泰勒展开方法化为线性系统 1/2,12/501/2,12/50时变系统和时不变系统 若向量f,g不显含时间变量t,即),(),(uxgguxff该系统称为时不变系统 若向量f,g显含时间变量t,即),(),(tuxggtuxff该系统称为时变系统 连续时间

14、系统和离散时间系统 当且仅当系统的输入变量,状态变量和输出变量取值于连续时间点,反映变量间因果关系的动态过程为时间的连续过程,该系统称为连续时间系统 当且仅当系统的输入变量,状态变量和输出变量只取值于离散时间点,反映变量间因果关系的动态过程为时间的不连续过程,该系统称为离散时间系统.确定性系统和不确定性系统 称一个系统为确定性系统,当且仅当不论是系统的特性和参数还是系统的输入和扰动,都是随时间按确定的规律而变化的.称一个动态系统为不确定性系统,或者系统的特性和参数中包含某种不确定性,或者作用于系统的输入和扰动是随机变量 2/2,13/502/2,13/502.4 由系统输入输出描述导出状态空间

15、描述 由输入输出描述导出状态空间描述 对于单输入,单输出线性时不变系统,其微分方程描述 ububububyayayaymmmmnnn0)1(1)1(1)(0)1(1)1(1)(其传递函数描述 011101111)()()(asasasbsbsbsbsUsYsgnnnmmmm可以导出其状态空间描述为 1111RdRcRbRARxducxybuAxxnnnnn1/18,14/501/18,14/50结论1 给定单输入,单输出线性时不变系统的输入输出描述,ububububyayayaymmmmnnn0)1(1)1(1)(0)1(1)1(1)(其对应的状态空间描述可按如下两类情况导出 01110111

16、1)()()(asasasbsbsbsbsUsYsgnnnmmmm(1)m=n,即系统为真情形ubxabbabbabbyuxaaaaXnnnnnnn)(,),(),(100010000000101111001210设 zazazunnn0)1(1)(2/18,15/502/18,15/50)()()(0)1(1)(0)1(0)1(1)(1)(0)1(1)(00)1(10)(0)1(01)22(11)12(1)(0)12(1)2(0)1(1)(0)1(1)(zbzbzbazbzbzbazbzbzbzabzabzbzabzabzbzabzabzbubububyayaynnnnnnnnnnnnnnn

17、nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn可见 zbzbzbynnnn0)1(1)(3/18,16/503/18,16/50)1(21nnzxzxzx令 ubxbabxbabxbabxbxbuxaxaxabzbzbzbyuxaxaxauzazazazxxxxxxxnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn)()()()(11211100101102110)1(1)(1021101)1(1)(13221有 zbzbzbynnnn0)1(1)(zazazunnn0)1(1)(4/18,17/504/18,17/50(2)mn,即系统为严真情形 xbbbyuxaaaaXmn0010001

18、000000010101210写成矩阵形式：ubxxxxbabbabbabbabyuxxxxaaaaxxxxnnnnnnnnnnnnnnnn1211122110012112101211000100001000010011101111)()()(asasasbsbsbsbsUsYsgnnnmmmm5/18,18/505/18,18/50结论2 给定单输入,单输出线性时不变系统的输入输出描述,其对应的状态空间描述可按如下两类情况导出(1)m=0情形此时输入输出描述为:ubyayayaynnn00)1(1)1(1)(01110)(asasasbsgnnn选取n个状态变量)1(21nnyxyxyx6/

19、18,19/506/18,19/50其对应的状态空间描述为:xyubxaaaaxn0,0,10001000000010012100bs1s1s11xy2x1nxnxnx u1na2na0a1a7/18,20/507/18,20/50(2)m0情形此时输入输出描述为:ububububyayayaynnnnnnn0)1(1)1(1)(0)1(1)1(1)(011101111)(asasasbsbsbsbsgnnnnnnnuuuyuxxuuuyuxxuuyuxxuyxnnnnnnn1)2(1)1(0)1(112102231011201 a:8/18,21/508/18,21/50其对应的状态空间描述

20、为:uxyuxaaaaxnnn012112100,0,11000000010其中00112211011022201110aaaabaababbnnnnnnnnnnn9/18,22/509/18,22/50b:ubububyayaynnnnnnn0)1(1)(0)1(1)(ubyaubyaubyaubynnnnn00)1(11)1(11)()()()(改写为 令 ubyaxxubyaxxubyxnnnnn11111121ubxxxxyubabbabbabbabxxxxaaaaxxxxnnnnnnnnnnnnnnnnn121001122111210121121000100010001000110/

21、18,23/5010/18,23/50结论3 给定单输入单输出线性时不变系统的传递函数描述为：01110111)(asasasbsbsbsbsgnnnmmmm其极点即分母方程的根 n,21为两两互异实数，则对应的状态空间描述可按如下两类情形导出：(1)m t0的有限时间区间t0,t1内，存在一个无约束的控制矢量u(t)，使x(t1)=0，则称系统是状态完全能控的，简称系统是能控的。可见系统的能控性反映了控制矢量u(t)对系统状态的控制性质,与系统的内部结构和参数有关。定义s1s12)0(1x1xy1x)0(2x2x2x uu1C1x2C1R2R2x则系统不能控，若2121,CCRR1/3,1/

22、451/3,1/45能控性，能达性定义 对连续时间线性时变系统 JtutBxtAx,)()(如果存在一个时刻 011,ttJt以及一个无约束的容许控制u(t),10ttt 使系统状态由x(t0)=x0转移到x(t1)=0，则称非零状态X0在t0时刻为能控。如果存在一个时刻t1J,t1t0,以及一个无约束的容许控制u(t),tt0,t1,使系统状态由x(t0)=0转移到x(t1)=xf0,则称非零状态xf在t0时刻为能达。*对连续时间线性时不变系统，能控性和能达性等价；对离散时间线性时不变系统和线性时变系统，若系统矩阵为非奇异，则能控性和能达性等价；对连续时间线性系统，能控性和能达性一般为不等价

23、。定义：对连续时间线性时变系统 JtutBxtAx,)()(和指定初始时刻t0J，如果状态空间中所有非零状态在时刻t0J都为能控/能达，称系统在时刻t0为完全能控/能达。2/3,2/452/3,2/45定义：对连续时间线性时变系统 JtutBxtAx,)()(和指定初始时刻t0J，如果状态空间中存在一个非零状态或一个非空状态集合在时刻t0J为不能控/能达，称系统在时刻t0为不完全能控/能达。定义：若系统的能控/能达性与初始时刻t0的选取无关，或系统在任意初始时刻t0J均为完全能控/能达，则称系统为一致完全能控/能达。能观测性定义对连续时间线性时变系统和指定初始时刻t0J,如果存在一个时刻t1J

24、，t1t0，使系统以x(t0)=x0为初始状态的输出y(t)恒为零，即y(t)0，tt0,t1，则称非零状态x0在时刻t0为不能观测；如果状态空间中所有非零状态在时刻t0都不为不能观测，则称系统在时刻t0为完全能观测；如果状态空间中存在一个非零状态或一个非零状态集合在时刻t0为不能观测，则称系统在时刻t0为不完全能观测；如果系统对任意时刻均为完全能观测，即能观测性与初始时刻t0的选取无关，则称系统为一致完全能观测。s1s1)(tu12)(ty)0(1x)0(2x1x2x该系统是不完全能观测的由于 ttdButtxtttx0)()()()()(00可见系统的状态x(t)的能观测性与x(t0)的能

25、观测性是等价的。3/3,3/453/3,3/4542 连续时间线性系统的能控性判据 结论1：线性时变系统utBxtAx)()(在t0时刻是状态完全能控的充分必要条件是下列格兰姆矩阵10),()()(),(),(0010ttTTcdtBBtttW为非奇异矩阵 证明 充分性 为非奇异时，系统能控),(10ttWc)(),(),()()(01010txttWtttBtucTT0)(),(),(),()(),()(),(),()()(),(),()(),()(),(),()()(),()(),()()(),()(),()(0101100100101010001001010101001100111010

26、10txttWttWtttxttdtxttWtBBttttxttdtxttWtBBttxttduBttxtttxccttcTTttTTtt说明系统是能控的 1/8,4/451/8,4/45反证法 必要性),(10ttWc是奇异的，且系统能控，看能否导出矛盾的结果。由于),(10ttWc是奇异的，故)(),(0tBtt的行向量在t0,t1上线性相关，必存在非零的行向量，使在t0,t1区间成立 ，若选择非零的初始状态x(t0)=T,则 0)()(),()()(),()()(),(),()()()(),()(),(0)()(),()(),()(1010101010001100100110011ttT

27、ttTttttttduBtduBtduBttttxduBttxttduBttxtttx说明=0,矛盾 2/8,5/452/8,5/450)(),(0tBtt结论2：连续时间线性时不变系统：0)0(0txxBuAxx 完全能控的充分必要条件是，存在时刻t10，使格拉姆矩阵 101,0ttATAtcdteBBetWT为非奇异。结论3：n 维连续时间线性时变系统 JttxtxutBxtAx000,)()()(设A(t),B(t)对t为n-1阶连续可微，定义)()()()()()()()()()()()()()(2211120010tMdtdtMtAtMtMdtdtMtAtMtMdtdtMtAtMtB

28、tMnnn则系统在时刻t0J完全能控的一个充分条件为，存在一个有限时刻t1J，t1t0，,使 ntMtMtMrankn)(,),(),(1111103/8,6/453/8,6/45结论4 对n 维连续时间线性时不变系统，系统完全能控的充分必要条件为能控性判别矩阵,12BABAABBQnc 满秩，即rankQ c=n 结论5n 维连续时间线性时不变系统完全能控的充分必要条件为：rankSI-A B=n,Cs或为系统特征值iinBAIrank结论6：n 维连续时间线性时不变系统完全能控的充分必要条件为：矩阵A不存在与B所有列正交的非零左特征向量，即对矩阵A所有特征值i，使同时满足TA=i T ，T

29、B=0 的左特征向量T=0。4/8,7/454/8,7/45结论7：对n维线性时不变系统，若A为对角阵，且其特征值两两相异，系统完全能控的充分必要条件是B中不包含零行向量。结论8：对n维线性时不变系统，若A为约当阵，系统完全能控的充分必要条件是：特征值互异的约当块最后一行对应的B阵中，该行元素不全为零。特征值相同的各约当块最后一行对应的B阵各行向量线性无关。5/8,8/455/8,8/45例例 图示电路，判断系统能控性条件 uL1R2R3R4RCLiCu解解 选取状态变量x1=iL，x2=uC，得系统的状态方程为：2432114342122243321114343212111111111xRR

30、RRCxRRRRRRCxuLxRRRRRRLxRRRRRRRRLx6/8,9/456/8,9/454342124343212121011,RRRRRRLCRRRRRRRRLLAbbQC434212RRRRRR（R1R4=R2R3）时，系统不能控。否则系统能控。例例 211312112211111100111100211010001000111llllbbbbuxx系统能控的充分必要条件是向量组bl11、bl12、bl13线性无关以及bl21线性无关（即不为零）。7/8,10/457/8,10/45定义：令,1BAABBQkk对完全能控连续时间线性时不变系统，定义能控性指数为：使“rankQk=

31、n”成立的最小正整数k。结论9：对完全能控单输入连续时间线性时不变系统，状态维数为n，则系统能控性指数n。结论结论10：对完全能控多输入连续时间线性时不变系统，状态维数为：对完全能控多输入连续时间线性时不变系统，状态维数为n，输入维数，输入维数为为p，设，设rankB=r，则能控性指数满足，则能控性指数满足 1rnpn设 n为矩阵A的最小多项式次数，则 1,minrnnpn结论11：多输入连续时间线性时不变系统，状态维数为n，输入维数为p，且rankB=r,则系统完全能控的充分必要条件为：nBAABBrankrankQrnrn,18/8,11/458/8,11/4543 连续时间线性系统的能观

32、测性判据 结论1：线性时变系统在t0时刻是状态完全能观测的充分必要条件是下列格兰姆矩阵为非奇异矩阵 10),()()(),(,00100ttTTdttttCtCttttW结论2：连续时间线性时不变系统完全能观测的充分必要条件是，存在时刻t10，使格拉姆矩阵 为非奇异。1010,0tAtTtAdtCeCetWT1/5,12/451/5,12/45结论3：n 维连续时间线性时变系统设A(t),C(t)对t为n-1阶连续可微，定义 则系统在时刻t0J完全能观测的一个充分条件为，存在一个有限时刻t1J，t1t0，,使)()()()()()()()()(2210010tNdtdtAtNNtNdtdtAt

33、NtNtCtNnnnntNtNtNrankn)()()(1111102/5,13/452/5,13/45结论4 对n 维连续时间线性时不变系统，系统完全能观测的充分必要条件为能观测性判别矩阵 满秩，即rankQ o=n 结论5n 维连续时间线性时不变系统完全能观测的充分必要条件为：或为系统特征值结论6：n维连续时间线性时不变系统完全能观测的充分必要条件为：矩阵A不存在与C所有行正交的非零右特征向量，即对矩阵A所有特征值，使同时满足10nCACACQCSnCASIrankninCAIrank,210,CAi的右特征向量 03/5,14/453/5,14/45结论7：对n维连续时间线性时不变系统，

34、若A为对角阵，且其特征值两两相异，系统完全能观测的充分必要条件是C阵中不包含零列向量。结论8：对n维连续时间线性时不变系统，若A为约当阵，系统完全能观测的充分必要条件是：特征值互异的约当块第一列对应的C阵中，该列元素不全为零。特征值相同的约当块第一列对应的C阵中，各列向量线性无关。4/5,15/454/5,15/45定义：令 完全能观测n维连续时间线性时不变系统的能观测性指数定义为 使“rankQk=n”成立的最小正整数。结论9：对完全能观测单输出连续时间线性时不变系统，状态维数为n，则能观测性指数为n。结论10：对完全能观测多输出连续时间线性时不变系统，状态维数为n，输入维数为q，设rank

35、C=m，则 设 n为矩阵A的最小多项式次数，则 结论11：对多输出连续时间线性时不变系统，设rankC=m，则系统完全能观测的充分必要条件是：1kkCACACQ1mnqn)1,min(mnnqnnCACACrankQrankTmnTTTTmn)(,15/5,16/455/5,16/454.4 离散时间线性系统的能控性和能观性判据 时变系统的能控性和能观性判据定义 离散时间线性时变系统 kJkkukHkXkGkX)()()()()1(如果对初始时刻hJk 和任意非零初始状态X(h)=X0都存在时刻lJk,lh和对应输入u(k),使输入作用下系统状态在时刻lJk达到原点，即有X(l)=0,则称系统

36、在时刻h完全能控；如果对初始时刻h和任意非零状态Xl，都存在时刻lJk,lh和对应输入u(k)，使输入作用下由初始状态X(h)=0出发的系统运动在时刻lJk达到Xl，则称系统在时刻h完全能达。结论1 离散时间线性时变系统在时刻h完全能达的充分必要条件为，存在时刻lJk,lh，使格兰姆矩阵 1)1,()()()1,(,lhkTTcklkHkHkllhW为非奇异 1/8,17/451/8,17/45结论2 若系统矩阵G(k)对所有 kh,l-1 非奇异，则离散时间线性时变系统在时刻hJk完全能控的充分必要条件为，存在时刻lJk ,lh，使格兰姆矩阵 1)1,()()()1,(,lhkTTcklkH

37、kHkllhW为非奇异 若系统矩阵G(k)对一个或一些kh,l-1奇异。格兰姆矩非奇异为系统在时刻h完全能控的一个充分条件。若系统矩阵G(k)对所有kh,l-1非奇异，则系统能控性和能达性等价。若离散时间线性时变系统为连续时间线性时变系统的时间离散化，则系统的能控性和能达性等价。2/8,18/452/8,18/45时不变系统的能控性和能达性判据 结论3 离散时间线性时不变系统)()()1(kHukGXkX系统完全能达的充分必要条件为，存在时刻l 0，使格兰姆矩阵 10)(,0lkkTTkcGHHGlW为非奇异。若系统矩阵G非奇异，则系统完全能控的充分必要条件为存在时刻l 0，使格兰姆矩阵为非奇

38、异。若系统矩阵G奇异，则上述格兰姆矩阵非奇异为系统完全能控的充分条件。10)(,0lkkTTkcGHHGlW3/8,19/453/8,19/45结论4 n维离散时间线性时不变系统)()()1(kHukGXkX系统完全能达的充分必要条件为矩阵 HGGHHQnkc1,满秩 若系统矩阵G非奇异，则系统完全能控的充分必要条件为 rankQkc=n。若系统矩阵G奇异，rankQkc=n 为系统完全能控的一个充分条件。结论5 对于单输入离散时间线性时不变系统，当系统完全能控时，可构造如下一组输入控制 0121,)1()1()0(XhGhGhGnuuun则系统必可在n步内由任意非零初态X(0)，转移到状态空

39、间原点，通常称这组控制为最小拍控制。若系统矩阵G非奇异，则离散时间线性时不变系统能控性和能达性等价。若离散时间线性时不变系统为连续时间线性时不变系统的时间离散化，则系统的能控性和能达性等价。4/8,20/454/8,20/45例例 设单输入线性离散系统的状态方程为)(101)(011220001)1(kukxkx试判断系统的能控性，若初始状态x(0)=2,1,0T，确定使x(3)=0的控制序列u(0),u(1),u(2)；研究x(2)=0的可能性。解解 33112201112kckcrankQhGGhhQ系统是能控的)2(101)1(121)0(3214122)2()2()3(uuuhuGxx

40、5/8,21/455/8,21/45令0)3(x8115)2()1()0(4122)2()1()0(101121321uuuuuu若令0)2(x062)1()0(101121uu无解。即不存在控制序列u（0），u（1）能够使系统从初始状态x(0)=2,1,0T转移到x(2)=0。6/8,22/456/8,22/45时变系统的能观测性判据结论6 离散时间线性时变系统在时刻hJk完全能观测的充分必要条件为，存在一个离散时刻lJk,l h,使格兰姆矩阵 10),()()(),(),(lhkTThkkCkChklhW为非奇异 时不变系统的能观测性判据 结论7 离散时间线性时不变系统完全能观测的充分必要

41、条件为，存在一个离散时刻l0,使格兰姆矩阵 100)(,0lkkTkTCGCGlW为非奇异 7/8,23/457/8,23/45结论8 n 维离散时间线性时不变系统完全能观测的充分必要条件为 1nokCGCGCQ满秩 结论9 若单输出离散时间线性时不变系统完全能观测，则利用n步输出值就可构造出相应的初始状态)1()1()0(110nyyycGcGcXn8/8,24/458/8,24/454.5 对偶性定义：对连续时间线性时变系统 XtcYutBXtAX)()()(其对偶系统定义为如下形式的一个连续时间线性时变系统TTTTTTTTtBtCtA)()()(其中,状态X为n维行向量,协状态为n维行向

42、量 输入u为p维列向量,输入为q 维行向量 输出Y为q维列向量,输出为p 维行向量 结论10 :原构系统的状态转移矩阵),(0tt与对偶系统的状态转移矩阵),(0ttd之间满足如下关系),(),(00ttttTd1/2,25/451/2,25/45结论11 设为原构线性系统,d为对偶线性系统,则有 完全能控 d 完全能观测 完全能观测 d 完全能控 2/2,26/452/2,26/454.6离散化线性系统保持能控性和能观测性的条件 设连续时间线性时不变系统 CXYBuAXX对应的时间离散化系统)()()()()1(kCXkYkHukGXkX其中G=eAT H=TAtdtBe0,21jiA的特征

43、值 ji n结论12 如果连续系统（A、B、C）不能控（不能观测），则对任意采样周期T离散化后的系统（G、H、C）也是不能控（不能观测）的。证明 用反证法 设连续系统不能控，而对于某采样T离散化后的系统却是能控的。则rankH、GH、G2H、Gn-1H=n 1/3,27/451/3,27/45TAATBdeHeG0,nBdeeBdeeBderankTATnATAATTA,0)1(00容易验证 TAATdee0,为可交换阵，故 nBeBeBderankTnAATTA,)1(0nBeBeBrankTnAAT,)1(由于eAiT可用I、A、A2、An-1线性表示，故,1)1(BAABBrankBeB

44、eBranknTnAATnBAABBrankn,1连续系统是能控的，矛盾。本定理也可叙述为：如果离散化后的系统是能控（能观测）的，则离散化前的连续系统一定是能控（能观测）的。2/3,28/452/3,28/45结论13：设连续系统（A、B、C）能控（能观测），则离散化后的系统也能控（能观测）的必要条件是：jTk2不是A的特征值。其中k为非零整数 结论14 对时间离散化，使采样周期T的值)(2jimIlT则时间离散化系统能控的充分必要条件是 eATB为行线性无关 结论15 连续时间线性时不变系统，其时间离散化系统保持完全能控/完全能观测的一个充分条件为，采样周期T满足如下条件：对A的任意两个特征

45、值1、2，不存在非零整数k，使jTk221成立对于单输入单输出系统，本定理是充分必要的。3/3,29/453/3,29/454.7能控性、能观测性与传递函数的关系 结论16 如果A的特征值互不相同，则系统（A、B、C）为能控且能观测的充分必要条件是：传递矩阵G（s）的分母|sI-A|与分子之间不发生因子相消 结论17 单输入、单输出系统（A、b、c）是能控且能观测的充分必要条件是：传递函数G（s）的分母|sI-A|与分子之间不发生因子相消。结论18 单输入、单输出系统（A、b、c），如果A的特征值互不相同，若传递函数存在零、极点对消，则系统或是状态不能控或是状态不能观测的；若传递函数不存在零、

46、极点对消，则系统是状态完全能控且完全能观测的。证明：单输入、单输出系统动态方程为 cxybuAxx如果A的特征值互不相同，则一定可利用非奇异线性变换，使A成为对角阵。即：xcyubxAx1/4,30/451/4,30/45nnnfffcbA212121uxxiiii状态方程可写为：在初始条件为零的情况下，拉氏变换得)()(sUssXiii对输出方程拉氏变换 niiiiniiisUsfsXfscXsY11)()()()(此式即为传递函数的部分分式 2/4,31/452/4,31/45若传递函数存在零、极点对消，传递函数的部分分式中应缺少相应项。如传递函数中相消的零、极点为s-k，则说明fkk=0

47、，k=0，fk 0系统是不能控的；fk=0，k0，系统是不能观测的；k=0，fk=0，系统是既不能控也不能观测的。若传递函数不存在零、极点对消，传递函数的部分分式中，应有fkk0（k=1、2、n）系统是既能控又能观测的。3/4,32/453/4,32/45例 设单输入、单输出系统的传递函数 231)(2ssssG由于存在零、极点对消，系统不可能是既能控又能观测的。结论19 如果多输入、多输出系统的状态向量与输入向量之间的传递矩阵 BAsI1的各行在复数域上线性无关，则系统是能控的。（充分必要条件）结论20 如果多输入、多输出系统的输出向量与初始状态向量X（0）之间的传递矩阵 1 AsIC的各列

48、在复数域上线性无关，则系统是能观测的。（充分必要条件）4/4,33/454/4,33/4548能控规范形和能观测规范形：SISO情形 结论21：连续时间线性时不变系统的能控性和能观测性在线性非奇异变换下保持不变。能控性指数，能观测性指数也保持不变。定义 一个单输入系统，如果其A、b阵具有如下形式：10001000010000101210baaaaAn则系统一定能控。这种形式的A、b阵称为能控标准形 1/5,34/451/5,34/45结论22：对完全能控n维单输入单输出连续时间线性时不变系统 cXybuAXX:0111)det(SSSAsInnn则通过变换矩阵 1,1,1,1111nnnbAb

49、bAP1011111212112nnnnaaaaaabAbAAbbP2/5,35/452/5,35/45可将系统变换成能控规范形，即XPX1导出 XcyubXAXccc11011010010ncaaaAPPA1001bPbc110,nccPccbabcAabcAcbabcAabcAcbacAbcbnnnnnnnnn12110231211213/5,36/453/5,36/45定义 一个单输出系统，如果其A、c阵具有如下形式：10001000100010001210caaaaAn则系统一定能观测，此时的A、c阵称为能观测标准形 结论23：对完全能观测的n 维单输入单输出连续时间线性时不变系统，其

50、能观测规范形可基于线性非奇异变换 QXX 导出 XcyubXAX0004/5,37/454/5,37/45其中ccAcAQnnn11111,11110011010nQAQA1100nQbb10010cQc1211212110111nnnncAcAcAcaaaaaaQ5/5,38/455/5,38/4549 能控规范形和能观测规范形MIMO情形 旺纳姆能控规范形，旺纳姆能观测规范形龙伯格能控规范形，龙伯格能观测规范形 1/1,39/451/1,39/451.Luenberger 可控标准形可控标准形定理定理3-33-3 设系统(3-15)可控，则存在等价变换将其化为(3-16)所示的可控标准形。