第四章-线性系统的根轨迹法-102页资料课件.ppt

1、本本章章内内容容14.1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念24.2 根轨迹绘制的基本法则根轨迹绘制的基本法则34.3 广义根轨迹广义根轨迹44.4 系统性能的分析系统性能的分析1 1、正确理解根轨迹的概念；、正确理解根轨迹的概念；2 2、掌握根轨迹的绘制法则，能熟练绘制根轨迹；、掌握根轨迹的绘制法则，能熟练绘制根轨迹；3 3、了解广义根轨迹；、了解广义根轨迹；4 4、能根据根轨迹定性分析系统指标随参数变化的趋势；、能根据根轨迹定性分析系统指标随参数变化的趋势；5 5、掌握确定闭环零极点及计算系统动态指标的方法。、掌握确定闭环零极点及计算系统动态指标的方法。一、根轨迹定义一、根轨迹定义 开环

2、传递函数的某个参数由开环传递函数的某个参数由0时，闭环特征时，闭环特征根在根在s平面上移动的轨迹。平面上移动的轨迹。例例1：如图所示二阶系统，：如图所示二阶系统，试绘制其根轨迹图。试绘制其根轨迹图。解：解：系统开环传递函数为：系统开环传递函数为：()(0.51)KG sss2(2)Ks s闭环传递函数：闭环传递函数：22()22KsssK(0.51)Kss)(sR)(sC-jw-2-112-1-2s闭环特征方程为：闭环特征方程为：2220ssK1112sK 特征根为：特征根为：211 2sK 讨论讨论：.当当K=0时，时，s1=0,s2=-2当当K=0.125时，时，s1=-0.13,s2=-

3、1.866当当K=0.25时，时，s1=-0.29,s2=-1.707当当K=0.5时，时，s1=-1,s2=-1当当K=1时，时，s1=-1+j,s2=-1-j当当K=2.5时，时，s1=-1+2j,s2=-1-2j当当K=时，时，s1=-1+j,s2=-1-j二二.根轨迹与系统性能根轨迹与系统性能根轨迹没有穿越虚轴进入根轨迹没有穿越虚轴进入s的的右半平面，则系统稳右半平面，则系统稳定，如果根轨迹越过虚轴进入定，如果根轨迹越过虚轴进入s s右半平面，此时根右半平面，此时根轨迹与虚轴交点处的轨迹与虚轴交点处的K K值，就是临界开环增益。值，就是临界开环增益。由坐标原点处的极点数确定系统类型；由

4、坐标原点处的极点数确定系统类型；若给定系统的稳态误差要求，则可以确定若给定系统的稳态误差要求，则可以确定闭环极点位置的容许范围。闭环极点位置的容许范围。1.稳定性稳定性2.稳态性能稳态性能jw-2-112-1-2s.3.动态性能动态性能K=0时，根轨迹均在时，根轨迹均在s平面的左半部分平面的左半部分，系统始终稳定系统始终稳定；(1)0K0.5时，时，一对共轭复根，一对共轭复根，欠阻尼系统欠阻尼系统，阶跃响应为阻尼振荡过程。阶跃响应为阻尼振荡过程。jw-2-112-1-2s.K=0.5K=1K=2.5K=0K=1K=2.5K K 三、闭环零极点与开环零极点的关系三、闭环零极点与开环零极点的关系典

5、型闭环系统结构图典型闭环系统结构图前向通路前向通路传函传函：)(sG)(sH)(sC)(sRqiifiiGGpszsKsTsTsTssssKsG11*222221212221)()()12)(1()12)(1()(：前向通路增益：前向通路增益 ：前向通路根轨迹增益：前向通路根轨迹增益 GK*GK22121*TTKKGG 2系统特征方程为系统特征方程为0)()(1sHsG反馈通路反馈通路传函传函：hjjljjHpszsKsH11*)()()(*HK：反馈通路根轨迹增益：反馈通路根轨迹增益1111()()()()()()()flijijKqhijijszszGsG s H sKspsp*,GHnq

6、hmflKK KK*-开环系统根轨迹增益开环系统根轨迹增益闭环传递函数为：闭环传递函数为：)()(1)()(sHsGsGs11*11()()()()fhijijGnmijijszspKspKsz开环传递函数为：开环传递函数为：(1)闭环系统根轨迹增益，等于开环系统前向通路根轨迹增益。闭环系统根轨迹增益，等于开环系统前向通路根轨迹增益。对于单位反馈系统，闭环系统根轨迹增益等于开环系统根轨迹对于单位反馈系统，闭环系统根轨迹增益等于开环系统根轨迹增益。增益。(2)闭环零点由开环前向通路传递函数的零点和反馈通路传递数闭环零点由开环前向通路传递函数的零点和反馈通路传递数的极点所组成。的极点所组成。对于单

7、位反馈系统，闭环零点就是开环零点。对于单位反馈系统，闭环零点就是开环零点。(3)闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益均有关。闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益均有关。根轨迹任务：如何由已知的开环零极点分布及根轨迹增益通过根轨迹任务：如何由已知的开环零极点分布及根轨迹增益通过图解方法找出闭环极点图解方法找出闭环极点结结 论论11*11()()()()fhijijGnmijijszspKspKsz四、根轨迹方程四、根轨迹方程闭环特征方程即令闭环传递函数分母等于零闭环特征方程即令闭环传递函数分母等于零11()1()mjjniiszKsp-根轨迹方程根轨迹方程Zj已知的开环零点；已知的开

8、环零点；Pi为已知的开环极点；为已知的开环极点；K*为为开环系统根轨迹增益，从零变化到无穷。开环系统根轨迹增益，从零变化到无穷。1 1、根轨迹相角条件根轨迹相角条件（充分必要条件）（充分必要条件）根轨迹方程实质是向量方程，考虑到根轨迹方程实质是向量方程，考虑到 则相角条件为：则相角条件为：(21)11jke,2,1,0k11()()(21)mnjijiszspk,2,1,0k五、模值条件方程和相角条件方程五、模值条件方程和相角条件方程2 2、根轨迹模值条件根轨迹模值条件 用来确定根轨迹上各点得用来确定根轨迹上各点得 值值模值条件为模值条件为根据这两个个条件，可以完全确定根据这两个个条件，可以完

9、全确定s s平面上的根平面上的根轨迹和根轨迹上对应的轨迹和根轨迹上对应的 值。值。mjjniizspsK11*K*K11|()|1|()|mjjniiszKsp11()()(21),0,1,2.mnjijiszspkk 模值条件：模值条件：相角条件：相角条件：注释：注释：1.根轨迹上的点应同时满足上两个方程；根轨迹上的点应同时满足上两个方程；2.相角条件是决定根轨迹的相角条件是决定根轨迹的充要条件充要条件，s平面上一点平面上一点s1若满若满足相角条件即为根轨迹上的一点。足相角条件即为根轨迹上的一点。3.绘制根轨迹时只需使用相角条件；绘制根轨迹时只需使用相角条件；4.需要确定根轨迹上各点的需要确

10、定根轨迹上各点的K*值时，才使用模值条件；值时，才使用模值条件；11|()|1|()|mjjniiszKsp绘制根轨迹方法：绘制根轨迹方法：1.试探法：任选试探法：任选s1点看是否满足相角条件；点看是否满足相角条件；2.按基本规则按基本规则(如下节讲述如下节讲述)手工绘制；手工绘制；3.计算机绘制。计算机绘制。在根轨迹图中，在根轨迹图中，“”表示表示极点极点，“”表示开环表示开环零零点点。粗线表示根轨迹，箭头表示某一参数增加的方向。粗线表示根轨迹，箭头表示某一参数增加的方向。“.”.”表示根轨迹上的点。表示根轨迹上的点。一些约定一些约定：一、绘制根轨迹的基本法则一、绘制根轨迹的基本法则法则法则

11、1.根轨迹的起点和终点根轨迹的起点和终点 根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点，若根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点，若nm，则有则有n-m条根轨迹终止于无穷远处。条根轨迹终止于无穷远处。证明：证明：设闭环系统特征方程为设闭环系统特征方程为 式中式中 可以从零变到无穷。当可以从零变到无穷。当 时，有时，有 说明说明 时，闭环特征方程式的根就是开环传递时，闭环特征方程式的根就是开环传递函数函数G(s)H(s)的极点，所以的极点，所以根轨迹必起于开环极点根轨迹必起于开环极点。mjjniizsKps1*10)()(*K0K;ips,2,1in,0K 将特征方程两边除以将特征方程两边除以 改写为如下

12、形式：改写为如下形式：当当 时，由上式可得时，由上式可得 所以所以根轨迹必终于开环零点根轨迹必终于开环零点。nimjiizspsK11*0)()(1*K;isz1,2,jm*K若若n=m，n条起始于极点，条起始于极点，m条终止于零条终止于零点，那么剩余的点，那么剩余的n-m个终点在哪里？个终点在哪里？答案：在无穷远处。答案：在无穷远处。n-m个无限远点个无限远点 根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点，根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点，若若nm，则有，则有n-m条根轨迹终止于无穷远处。条根轨迹终止于无穷远处。若若nm)，或与开环，或与开环有限零点数有限零点数m相等相等(nm时：时：n-m条根

13、轨迹沿着条根轨迹沿着渐近线渐近线趋向无穷远处。趋向无穷远处。这些根轨迹趋向无穷远的渐近线由与实轴的夹角和交点来确定这些根轨迹趋向无穷远的渐近线由与实轴的夹角和交点来确定与实轴的交点：与实轴的交点：(21)0,1,.,1akknmnm与实轴的夹角：与实轴的夹角：180as1mn090902mnas060601803mnas045454mnas011mnijijapznmsnm例例2.系统开环传递函数为：系统开环传递函数为：，试确定根轨，试确定根轨迹分支数、起点和终点。若终点在无穷远处，求渐近线与实迹分支数、起点和终点。若终点在无穷远处，求渐近线与实轴的交点和夹角。轴的交点和夹角。()(1)(5)

14、KKGss ss解解：（1 1）根轨迹有）根轨迹有3条；条；（2）起点为）起点为开环极点：开环极点：p1=0，p2=-1，p3=-5；因无有限值零点，所以因无有限值零点，所以3条根轨迹条根轨迹都趋向无穷远都趋向无穷远,就有就有3条渐近线条渐近线（3）与实轴的交点：）与实轴的交点：(21)60,180,300aknm与实轴的夹角：与实轴的夹角：零极点分布和渐近线如图所示：零极点分布和渐近线如图所示：606018001251 523 11mnijijapznmsnm法则法则5.根轨迹的分离点与分离角根轨迹的分离点与分离角分离点：将根轨迹离开实轴进入复平面的点称分离点分离点：将根轨迹离开实轴进入复平

15、面的点称分离点会合点：将根轨迹离开复平面进入实轴的点称会合点会合点：将根轨迹离开复平面进入实轴的点称会合点 一般常见的分离点多位于实轴上一般常见的分离点多位于实轴上,但有时也产生于共轭但有时也产生于共轭复数对中复数对中(即在复平面上即在复平面上).分离点在两极点之间，会合点在两零点之间。分离点在两极点之间，会合点在两零点之间。AB1p2p1z*0K*0K*K*K A-分离点分离点 B-会合点会合点注：（注：（1 1）根轨迹出现分离点说明对应是特征根出现了重根。）根轨迹出现分离点说明对应是特征根出现了重根。（2 2）若实轴上的根轨迹的左右两侧均为开环零点（包括）若实轴上的根轨迹的左右两侧均为开环

16、零点（包括 无限零点）或开环极点（包括无限极点），则在此无限零点）或开环极点（包括无限极点），则在此 段根轨迹上必有分离点。段根轨迹上必有分离点。（3 3）分离点若在复平面上，则一定是成对出现的。）分离点若在复平面上，则一定是成对出现的。1111mniijidzdp例例3例例4-1.系统结构图如图所示，系统结构图如图所示，试绘制该系统概略根轨迹。试绘制该系统概略根轨迹。1.开环零极点：开环零极点：12310231pppz ，解：解：分离角：分离角：(21)dklql-根轨迹分支数根轨迹分支数分离点的坐标分离点的坐标d是下列方程的解：是下列方程的解：当开环传递函数没有有限零点当开环传递函数没有有

17、限零点时时,分离点分离点d的值由下式计算的值由下式计算:011njjpd90(21)2702ak3.渐近线：渐近线：(023)(1)23 1as 2.实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：-3,-2 -1,04.分离点：分离点：实轴区域实轴区域-2,-3 必有必有一个根轨迹的分离点一个根轨迹的分离点d，d 满足分离点方程：满足分离点方程：1111123dddd 解得：解得：247.d (21)dklq法则法则6.根轨迹的起始角和终止角根轨迹的起始角和终止角ipq起始起始(出射出射)角角pi：起始于开环极点的根轨迹在起点处的切线与起始于开环极点的根轨迹在起点处的切线与正实轴正实轴的夹角的夹角11(21

18、)();0,1,2.ij ij imnpz pp pjjj ikkqq 终止终止(入射入射)角角 zi：终止于开环零点的根轨迹在终点处终止于开环零点的根轨迹在终点处的切线与的切线与正实轴正实轴的夹角。的夹角。11(21)();0,1,2.ij ij imnzz zp zjji ikkq iz例例6.如图，试确定根轨迹离开复数共轭极点的起始角。如图，试确定根轨迹离开复数共轭极点的起始角。p1=-1+j1，p2=-1-j1，p3=0，p4=-3，z1=-21(21)459013526.6226.6pkkq根据对称性，可知根据对称性，可知 p2点的出射角为：点的出射角为：注意：注意：相角要注意符号：

19、逆时针为正，顺时针为负；相角要注意符号：逆时针为正，顺时针为负；注意矢量的方向。注意矢量的方向。解：解：tan 1 1=1 1 1=452=903=135tan4=0.54=26.6取取k=0(考虑到周期性考虑到周期性)：p1=-26.6p2=-p1=26.61p2p4p3p1z11pq2q4q3q1123*(1.5)(2)(2)()(2.5)(0.51.5)(0.51.5)KK ssj sjG ss ssjsj 例例7例例4-3.系统系统开环传递函数如下，试绘制该系统概略根轨迹。开环传递函数如下，试绘制该系统概略根轨迹。3.渐近线：渐近线：解：解：12341230,2.5,0.51.5,0.

20、51.51.5,2,2pppjpjzzj zj 2.实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：1.开环零极点：开环零极点：n-m=1，只有一条，只有一条180o渐进线。渐进线。4.分离点：分离点：无分离点。无分离点。(，-2.5 -1.5，0起始角：起始角：5.起始角起始角和终止角和终止角：-1.5-2+j108.59059371956.5-0.5-2-j-2.5-0.5+1.5j-0.5-1.5jp1p2p3p4z1z2z342156 519591008 5903779q()(.)(.)()pkk 取取3794pq终止角：终止角：9012115319963.5117-1.5-2+j-0.5-2-j-2

21、.5-0.5+1.5j-0.5-1.5jp1p2p3p4z1z2z33219011763515319912151149()()(.)-.()zkk 取取25.1493z概略根轨迹图概略根轨迹图 法则法则7.根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点 根轨迹和虚轴相交时，系统处于临界稳定状态。则根轨迹和虚轴相交时，系统处于临界稳定状态。则闭环特征方程至少有一对共轭虚根，这时的增益称为闭环特征方程至少有一对共轭虚根，这时的增益称为临临界根轨迹增益界根轨迹增益。交点和交点和临界根轨迹增益临界根轨迹增益的求法：的求法：(1)由劳斯稳定判据求解；由劳斯稳定判据求解；(2)令令s=jw w，代入闭环特征方程中，

22、使实、虚部分，代入闭环特征方程中，使实、虚部分别为零，求出别为零，求出w w 和和K*。解：解：方法一方法一32*650jjKwww2*36050Kwww*()(1)(5)kKGss ss例例8.，单位负反馈系统，试求根轨迹，单位负反馈系统，试求根轨迹 与虚轴的交点。与虚轴的交点。*0,50,30KwK*=0 w w=0 舍去舍去(根轨迹的起点根轨迹的起点)*1 25(30)sjjKw ，此时与虚轴的交点与虚轴的交点:*32*(1)(5)650s ssKsssK闭环系统的特征方程为：闭环系统的特征方程为：s=jw w方法二：用劳思稳定判据确定方法二：用劳思稳定判据确定交点交点的值。的值。劳思表

23、为：劳思表为：3*2*10*15630060sKsKssK s2的辅助方程：的辅助方程：2*266300sKs1,25sjjw K*=30 当当s1行等于行等于0时，时，特征方程可能出现纯虚根。特征方程可能出现纯虚根。*3006K即即法则法则8.根之和根之和当当n-m2时：时：11nniiiisp常数对于任意的对于任意的K*闭环极点之和等于开环极点之和为常数。闭环极点之和等于开环极点之和为常数。表明：表明：当当K*变化时，部分闭环极点在复平面上向右移动变化时，部分闭环极点在复平面上向右移动(变大变大)，则另一些极点必然向左移动则另一些极点必然向左移动(变小变小),以保持代数和为常数。以保持代数

24、和为常数。该规则的作用：该规则的作用：(1)定性判断根轨迹的走向定性判断根轨迹的走向(2)已知几个闭环根可以求出其他一个或两个根。已知几个闭环根可以求出其他一个或两个根。小结小结需掌握绘制根轨迹的需掌握绘制根轨迹的8 8个准则个准则根轨迹的起点和终点；根轨迹的起点和终点；根轨迹的分支数、对称性和连续性；根轨迹的分支数、对称性和连续性；根轨迹的渐近线；根轨迹的渐近线；实轴上根轨迹；实轴上根轨迹；根轨迹的分离点与分离角；根轨迹的分离点与分离角；根轨迹的根轨迹的起始角和终止角；起始角和终止角；根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点；根之和。根之和。(21)0,1,.,1akkn mn m11mniji

25、japznmsnm11(21)();0,1,2.ij ij imnpz pp pjjj ikkqq 11(21)();0,1,2.ij ij imnzz zp zjji ikkq (21)dklq1111mniijidzdp1.标注开环极点和零点标注开环极点和零点(纵、横坐标用相同的比例尺纵、横坐标用相同的比例尺)；2.实轴上的根轨迹；实轴上的根轨迹；3.n-m条渐近线与实轴交点和交角；条渐近线与实轴交点和交角；4.根轨迹的根轨迹的起始角和终止角起始角和终止角（复根情况）（复根情况）；5.根轨迹与虚轴的交点；根轨迹与虚轴的交点；6.根轨迹的分离点和分离角；根轨迹的分离点和分离角；结合根轨迹的连

26、续性、对称性、根轨迹的分支数、结合根轨迹的连续性、对称性、根轨迹的分支数、起始点和终点、根之和等性质画出根轨迹。起始点和终点、根之和等性质画出根轨迹。根轨迹作图步骤根轨迹作图步骤*2()()(3)(22)KG s H ss sss例例9例例4-4系统系统开环传递函数如下，试绘制该系统概略根开环传递函数如下，试绘制该系统概略根轨迹。轨迹。21180451354(),oooak 3.渐近线：渐近线：03 111 254s.ajj 4.起始角：起始角：371 6q.op 1.开环零极点：开环零极点：123,40,3,1pppj 2.实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：解：解：-3，0471 6q.op

27、5.分离点：分离点：11110311dddjdj 23.d 6.与虚轴的交点：与虚轴的交点：4325860*()D sssssK 劳思表为：劳思表为：43201856345204 25340*()/sKssKsKsK 当当s1行等于行等于0时，时，特征方程可能出现纯虚根。特征方程可能出现纯虚根。*204250K即即K*=8.16 s2的辅助方程：的辅助方程：23481605.s 1 21 095,.sj 概略根轨迹图概略根轨迹图3.渐近线：渐近线：例例10设单位反馈控制系统的开环传递函数如下，试绘制闭环设单位反馈控制系统的开环传递函数如下，试绘制闭环系统根轨迹。系统根轨迹。4.起始角：起始角：

28、1.开环零极点：开环零极点：p1，2=(-1j),z1=-22.实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：解：解：15.0)15.0()(2 sssKsG首先将G(s)写成零、极点标准形式。)1)(1()2()(*jsjssKsG -2,-)-2,-)135q.iop 5.与虚轴的交点：与虚轴的交点：特征方程：特征方程：0)2()1)(1(*sKjsjs将将s=jw带入上式中另实部等于零，虚部等于带入上式中另实部等于零，虚部等于零，无解，说明根轨迹与虚轴没有交点。零，无解，说明根轨迹与虚轴没有交点。6.分离点：分离点：jdjdd111121经整理得0242 dd求得求得d=-3.414或或d=-0.58

29、6，显然，显然d=-0.586不在根轨迹上，故取不在根轨迹上，故取d=-3.414。-6-5-4-3-2-10-1.5-1-0.500.511.5Root LocusReal AxisImaginary Axis14111111mnzpnjmiijs135454)12(180或l画出开环零、极点分布图画出开环零、极点分布图 2.根轨迹有四条分支。根轨迹有四条分支。3.根轨迹对称实轴。根轨迹对称实轴。例例11 某负反馈控制系统的开环传递函数为某负反馈控制系统的开环传递函数为解解:-13110101230)181)(181()1(3,21232jsssssdsjsjssd解上式得得由分分离离点点k

30、sksksskskssss19014448419140404192410194024401234234，试绘制根轨迹图。，试绘制根轨迹图。)181)(181()1()()(2jsjssksHsG484-4 =0得 =121kk0140142s =121-j11.2k4.实轴上没有根轨迹分布。实轴上没有根轨迹分布。j11.2 =121k5.渐近线和实轴的交点。渐近线和实轴的交点。6.分离点和会合点。分离点和会合点。7.根轨迹与虚轴的交点。根轨迹与虚轴的交点。22.11js例例12 若一正反馈控制系统的开环传递函数为若一正反馈控制系统的开环传递函数为求该系统的闭环根轨迹求该系统的闭环根轨迹。)2)

31、(1()()(sssKsHsG解:-1.58正反馈正反馈 此时为零度根轨迹此时为零度根轨迹 渐近线和实轴方向渐近线和实轴方向的夹角为的夹角为2l/（n-m)，即即 0,2/3 实轴上的根轨迹为实轴上的根轨迹为(-2,-1)及线段及及线段及(0,+)线段线段.故故-1.58为分离点。为分离点。-1-2-0.42j1.414k=6k=6-j1.414与负反馈比较与负反馈比较例例13 试确定系统的根轨迹图。试确定系统的根轨迹图。解：解：1）开环零、极点）开环零、极点 p2.3=-4j2p1=0s(s2+8s+20)G(s)H(s)=Kr 2）实轴上的根轨迹段）实轴上的根轨迹段 p1-8n-m=3 3

32、）根轨迹的渐近线）根轨迹的渐近线 3=-4-4=-2.67 3(2k+1)+=+180O+60O=,4）根轨迹的出射角）根轨迹的出射角 2 2=-1-3=-153.4-90=-63.4系统闭环特征方程为系统闭环特征方程为 5）与虚轴的交点）与虚轴的交点S3+8S2+20S+Kr=0代入代入 S=j-j33-82+j20+Kr=033+20=0-82+Kr=0Kr=0 Kr=160 2,34.471=06）分离点和会合点）分离点和会合点解得解得 3S2+16S+20=0S1=-2S2=-3.33A(s)B(s)=A(s)B(s)7）系统根轨迹）系统根轨迹j0p1 p2p3-2.7153.4 90

33、-63.44.47-4.47-2-3.3例例14 s(s2+8s+20)G(s)H(s)=Kr试确定系统的根轨迹图。试确定系统的根轨迹图。解：解：1）开环零、极点）开环零、极点 P3.4=-2j4p1=0p2=-42）实轴上根轨迹段）实轴上根轨迹段 p1p2 3）根轨迹的渐近线）根轨迹的渐近线 n-m=44=-4-2-2=-2 4(2k+1)+=+135O+45O=,4）根轨迹的出射角）根轨迹的出射角 3 3=-1-2-4=-180-90=-904=90 5）根轨迹与虚轴的交点）根轨迹与虚轴的交点闭环特征方程为闭环特征方程为 s4+8s3+36s2+80s+Kr=0得得 4-j83-362+j

34、80+Kr=0-83+80=04-362+Kr=0Kr=0 Kr=260 2,33.161=06）分离点和会合点）分离点和会合点4S3+24S2+72S+80=0A(s)B(s)=A(s)B(s)解得解得 S1=-2S2.3=-2j2.45 S1在根轨迹段上在根轨迹段上为分离点为分离点,S 2.3必须判必须判断才能确定断才能确定.j0p1 p2p3 p4-2-22 90-903.16-3.16S2点的相角为点的相角为:(S2-p1)-(S2-p2)-(S2-p3)-(S2-p4)-=-180+90-90=-180为根轨迹上的点为根轨迹上的点 7）系统根轨迹）系统根轨迹返回返回开环极点、零点分布

35、及其相应的根轨迹开环极点、零点分布及其相应的根轨迹-变化的参数不是开环根轨迹增益变化的参数不是开环根轨迹增益K*的根轨迹的根轨迹一、参数根轨迹一、参数根轨迹()1()()0D sG s H s()1()P sAQ s 闭环特征方程：闭环特征方程：变换变换当系统有两个参数变化时，所绘出的根轨迹称当系统有两个参数变化时，所绘出的根轨迹称根轨迹簇根轨迹簇。11()()()()P sG s H sAQ s等效开环传递函数：等效开环传递函数：利用此式画出的根轨迹，就是以参数利用此式画出的根轨迹，就是以参数A为变量的参数根轨迹。为变量的参数根轨迹。在负反馈系统中，在负反馈系统中，K*变化时的根轨迹叫做常规

36、根轨迹。变化时的根轨迹叫做常规根轨迹。其他情况下的根轨迹称广义根轨迹。其他情况下的根轨迹称广义根轨迹。列出系统的闭环特征方程；列出系统的闭环特征方程；以特征方程中不含参变量的各项除特征方以特征方程中不含参变量的各项除特征方程，得等效的系统根轨迹方程。该参数称为程，得等效的系统根轨迹方程。该参数称为等效系统的根轨迹增益；等效系统的根轨迹增益；用已知的方法绘制等效系统的根轨迹，即用已知的方法绘制等效系统的根轨迹，即为原系统的参数根轨迹。为原系统的参数根轨迹。绘制参数根轨迹的步骤绘制参数根轨迹的步骤2(1)()ss sa-)(sR)(sC 解解：2220sass例例1 1：绘制如下系统以：绘制如下系

37、统以a为参数的根轨迹。为参数的根轨迹。2(22)0ssas闭环特征方程为：闭环特征方程为：21022asss等效的开环传递函数为：等效的开环传递函数为：112()()22asG s H sss(1)(1)assj sj 1.开环零极点：开环零极点：112011zpjpj ，2.实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：(，03.渐近线：渐近线：n-m=1,n-m=1,即有一条根轨迹终止于无穷远，即实轴即有一条根轨迹终止于无穷远，即实轴上的根轨迹。上的根轨迹。4.起始角：起始角：118013590225q 2225q 5.分离点：分离点：-2-10-2-1012jdjdd11111)(.?41414141

38、21dd舍去舍去例例2例例4-7设单位反馈系统的开环传递函数设单位反馈系统的开环传递函数如下，其中开环如下，其中开环增益可自行选定。试分析时间常数增益可自行选定。试分析时间常数Ta 对系统性能的影响。对系统性能的影响。)1)(1()(sTssKsGa 解解：(1)(1)0as sT sK2(1)(1)0as sKT ss闭环特征方程为：闭环特征方程为：2(1)10(1)aT sss sKKp41212,1等效开环极点：等效开环极点：选定不同选定不同K值，然后将值，然后将G1(s)的零、极点画在的零、极点画在 s 平面上，平面上，再令再令Ta=0 绘制出绘制出Ta变化时的参数根轨迹。变化时的参数

39、根轨迹。等效的开环传递函数为：等效的开环传递函数为：211(1)()()(1)aT ssG s H ss sK2(1)1111()()2424aT sssKsK0aT2K 1K 1 2/K 2K 1K 1 2/K 1 0aT aT 0aT 1 2/KssssTsGa)1()1()(210swj25.0K21(1)()(1)0.098aT ssGss s参数根轨迹簇参数根轨迹簇Ta=1三、零度根轨迹三、零度根轨迹常规根轨迹的相角条件：常规根轨迹的相角条件：(2k+1)=180o+2k-180o根轨迹根轨迹零度根轨迹的相角条件：零度根轨迹的相角条件：2k=0o+2k 负反馈系统根轨迹称为负反馈系统

40、根轨迹称为180根轨迹根轨迹或简称为根轨迹；或简称为根轨迹；正反馈系统根轨迹称为正反馈系统根轨迹称为0根轨迹根轨迹。因此：因此：-0o根轨迹根轨迹零度根轨迹的来源零度根轨迹的来源具有正反馈性质的根轨迹具有正反馈性质的根轨迹1.非最小相位系统中包含非最小相位系统中包含s最高次幂的系数为负的因子；最高次幂的系数为负的因子；2.控制系统中包含有正反馈内回路。控制系统中包含有正反馈内回路。零度根轨迹的绘制零度根轨迹的绘制+)(sR)(sC)(sG)(sH闭环传递函数：闭环传递函数：()()()()1()()C sG ssR sG s H s根轨迹方程：根轨迹方程：()()()1KG sG s H s模

41、值条件：模值条件：11|()|()1|()|mjjKniiszGsKsp相角条件：相角条件：11()(),0,1,2.2mnjijis zspkk 具有正反具有正反馈性质馈性质绘制绘制0 0度根轨迹的准则度根轨迹的准则(修改的准则修改的准则)法则法则4.实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：法则法则3.渐近线的夹角：渐近线的夹角：法则法则6.初始角和终止角：初始角和终止角：20,1,2.,1akknmnm 112()ijijimnpz pp pjjj ikqq112()ij ij imnzz zp zjjj ikq初始角：初始角：终止角：终止角：其其右侧右侧实轴上的开环零、极点个实轴上的开环零、极点

42、个数之和为数之和为偶数偶数(包括包括0)的区域的区域。例例1：设：设单位正反馈单位正反馈系统的开环传递函数为：系统的开环传递函数为：()(1)(5)KKGss ss试绘制系统的根轨迹。试绘制系统的根轨迹。1.开环零极点：开环零极点：1 523ijapznms 220,3aknm解解：2.实轴上：实轴上：3.渐近线：渐近线：p1=0 p2=-1 p3=-5-5，-1 0，+)4.分离点：分离点：123.520.48()ss 舍 去根轨迹图根轨迹图1111mniijidzdp05123,0511112ddddd例例2例例4-8 设具有正反馈回路系统的内回路传递函数分别如设具有正反馈回路系统的内回路

43、传递函数分别如下，试绘制该回路的根轨迹图。下，试绘制该回路的根轨迹图。1)(,)22)(3()2()(2*sHssssKsG1.开环零极点：开环零极点：20,1803 1ooak解解：2.实轴上：实轴上：3.渐近线：渐近线：11232,1,1,3zpjpjp (-，-3，-2，+)4.分离点：分离点：11112311dddjdj 经整理：经整理：8.0doooooptgarctgarc6.71)906.26(45)9021(11q5.起始角：起始角：op6.712q10swj23jj6.确定临界开环增益：确定临界开环增益：1122 332*|niimjjspKsz s=0时时*3K13/*kK

44、1K ：前向通路增益：前向通路增益 ：前向通路根轨迹增益：前向通路根轨迹增益 GK*GK22121*TTKKGG 2比较正负反馈的根轨迹方程：比较正负反馈的根轨迹方程：若开环传递函数为：若开环传递函数为：11()()()mjjKniiszGsKsp则正负反馈的根轨迹方程分别为：则正负反馈的根轨迹方程分别为：11()1()mjjniiszKsp11()1()mjjniiszKsp 可见，正反馈根轨迹相当于负反馈根轨迹的可见，正反馈根轨迹相当于负反馈根轨迹的K*从从0-时的根轨迹。所以，可将正负反馈系统的根轨迹时的根轨迹。所以，可将正负反馈系统的根轨迹合并，得合并，得-K*+时的整个区间的根轨迹。

45、时的整个区间的根轨迹。正反馈正反馈(0度度)根轨迹图根轨迹图将例将例1给出的开环传递函数分别绘制正负根轨迹图如下：给出的开环传递函数分别绘制正负根轨迹图如下：()(1)(5)KKGss ss负反馈负反馈(180度度)根轨迹图根轨迹图二、附加开环零、极点的作用二、附加开环零、极点的作用 根轨迹的形状、位置完全取决于系统的开环零、极根轨迹的形状、位置完全取决于系统的开环零、极点，因此可以通过增加开环零、极点来改造根轨迹，从点，因此可以通过增加开环零、极点来改造根轨迹，从而实现改善系统的目的。而实现改善系统的目的。1.增加开环极点增加开环极点一般说，在一般说，在s左半平面增加极点，左半平面增加极点，

46、对根轨迹的影响对根轨迹的影响：(1)改变根轨迹在实轴上的分布；改变根轨迹在实轴上的分布；(2)改变根轨迹渐近线的条数、倾角；改变根轨迹渐近线的条数、倾角；(3)改变根轨迹的分支数；改变根轨迹的分支数；(4)促使根轨迹右移，降低系统的相对稳定性。促使根轨迹右移，降低系统的相对稳定性。*()(1)KKGss s*()(1)(2)KKGss ss实例实例(1)增加一个实数极点增加一个实数极点 轨迹向右弯曲，极点对系统稳定不利轨迹向右弯曲，极点对系统稳定不利，极点越靠近虚极点越靠近虚轴影响越大。轴影响越大。稳定稳定K*小时稳定小时稳定K*大时可能不稳定大时可能不稳定0-10-1-2*()(1)(21)

47、(21)KKG ss ssjsj (2)增加一对共轭复数极点增加一对共轭复数极点*()(1)KKGss s2.增加开环零点增加开环零点(1)在控制系统设计中，常用附加位置适当的开环零点的在控制系统设计中，常用附加位置适当的开环零点的方法来改善系统性能。方法来改善系统性能。(2)当开环极点位置不变，而在系统中附加开环负实数零当开环极点位置不变，而在系统中附加开环负实数零点，将使系统的根轨迹向点，将使系统的根轨迹向s左半平面方向弯曲，而且这种影左半平面方向弯曲，而且这种影响将随开环零点接近坐标原点的程度而加强。响将随开环零点接近坐标原点的程度而加强。(3)只有恰当选择附加零点的位置，才能使系统的稳

48、定性只有恰当选择附加零点的位置，才能使系统的稳定性得到明显改善。得到明显改善。(4)促使根轨迹左移，系统的稳定性增强。促使根轨迹左移，系统的稳定性增强。z1Z1=-3Z1=-2Z1=0增加零点使根轨迹左偏，对系统稳定有利，增加零点使根轨迹左偏，对系统稳定有利，越靠近虚轴影响越大。越靠近虚轴影响越大。(1)增加一个增加一个实数实数零点零点)22()()()(21*ssszsKsHsG*(21)(21)()(1)KK sjsjGss s *()(1)KKGss s(2)增加一对共轭复数零点增加一对共轭复数零点一、稳定性一、稳定性 如果闭环极点全部位于如果闭环极点全部位于s左半平面，则系统一定是稳定

49、左半平面，则系统一定是稳定的，即稳定只与闭环极点位置有关，而与闭环零点位置无关。的，即稳定只与闭环极点位置有关，而与闭环零点位置无关。二、运动形式二、运动形式如果闭环系统无零点，且闭环极点均为实数极点，则时间如果闭环系统无零点，且闭环极点均为实数极点，则时间响应一定是单调的；响应一定是单调的；如果闭环极点均为复数极点，则时间响应一般是振荡的。如果闭环极点均为复数极点，则时间响应一般是振荡的。三、超调量三、超调量四、调节时间四、调节时间 调节时间主要取决于最靠近虚轴的闭环复数极点的调节时间主要取决于最靠近虚轴的闭环复数极点的实数绝对值实数绝对值s s1=wwn，如果实数极点距虚，如果实数极点距虚

50、 轴最近，并且轴最近，并且它附近没有实数零点，则调节时间主要取决于该实数极它附近没有实数零点，则调节时间主要取决于该实数极点的模值。点的模值。超调量主要取决于闭环复数主导极点的衰减率超调量主要取决于闭环复数主导极点的衰减率 ，并与其它闭环零、极点接，并与其它闭环零、极点接 近坐标原近坐标原点的程度有关。点的程度有关。211/wsd零点减小系统阻尼，使峰值时间提前，超调量增大；极零点减小系统阻尼，使峰值时间提前，超调量增大；极点增加系统阻尼，使峰值时间滞后，超调量减小。它们点增加系统阻尼，使峰值时间滞后，超调量减小。它们的作用，随着其本身接近坐标原点的程度而加强。的作用，随着其本身接近坐标原点的