高等代数课件(北大版)第五章二次型§51.ppt

1、12/4/2022数学与计算科学学院数学与计算科学学院数学与计算科学学院解析几何中解析几何中选择适当角度选择适当角度,逆时针旋转逆时针旋转坐标轴坐标轴 (标准方程标准方程)中心与坐标原点重合的有心二次曲线中心与坐标原点重合的有心二次曲线 222faxbxycy cossincossinxxyyxy22fa xc y 数学与计算科学学院代数观点下代数观点下作适当的作适当的非退化线非退化线性替换性替换 只含平方项的多项式只含平方项的多项式二次齐次多项式二次齐次多项式11111221211112211122nnnnnnnnnnxc yc yc yxc yc yc yxc ycycy (标准形标准形)

2、12(,)nf x xx数学与计算科学学院：设设P为数域，为数域，称为数域称为数域P上的一个上的一个n元二次型元二次型212111121211(,)22nnnf xxxa xa x xa x x n个文字个文字 的二次齐次多项式的二次齐次多项式12,nx xx,1,2,ijaP i jn 2222222nna xax x2333332nna xa x x 2nnnax 数学与计算科学学院注意注意2)式式 也可写成也可写成21211(,)2nniiiijijiij nf x xxa xa x x 1)为了计算和讨论的方便为了计算和讨论的方便,式式中中 的系数的系数()ijxij 写成写成 2.i

3、ja数学与计算科学学院1）约定约定中中aij=aji，ij，由，由 xixjxjxi，有有212111121211(,)nnnf xxxa xa x xa x x 2212122222nna x xa xa x x 21122nnnnnnna x xa x xa x 11nnijijija xx 数学与计算科学学院111212122212.nnnnnnaaaaaaAaaa 令令()n nAp 则矩阵则矩阵A称为称为二次型二次型 的矩阵的矩阵.12(,)nf x xx数学与计算科学学院12,nxxXx 2 2令令)由由1112112122221212.(,.,).nnnnnnnnaaaxaaax

4、X AXx xxxaaa 1121211(,.,)njjjnjjnjnnjjja xa xx xxa x 数学与计算科学学院于是有于是有12(,.,).nf xxxX AX 1122111nnnjjjjnnjjjjjxa xxa xxa x 11()nniijjijxa x 11nnijijija xx 数学与计算科学学院注意注意:2）二次型与它的矩阵相互唯一确定，即二次型与它的矩阵相互唯一确定，即正因为如此，讨论二次型时正因为如此，讨论二次型时矩阵是一个有力的工具矩阵是一个有力的工具.AB 若若 且且 ，则，则X AXX BX ,AABB 1）二次型的矩阵总是对称矩阵二次型的矩阵总是对称矩阵

5、,即即.AA （这表明在选定文字下，二次型（这表明在选定文字下，二次型 完全由对称矩阵完全由对称矩阵A决定决定.)12(,.,)nf x xxX AX 12,.,nx xx数学与计算科学学院例例11）实数域）实数域R上的上的2元二次型元二次型 3）复数域复数域C上的上的4元二次型元二次型它们的矩阵分别是：它们的矩阵分别是：2）实数域实数域R上的上的3元二次型元二次型222faxbxycy222,)123112132233(,246537f x x xxx xx xxx xx 2)12341214223(,35(3)f x xxxix xx xxi x x ,a bb c32322 232 5,

6、3732232232320050.000000iiii 数学与计算科学学院：是两组文字是两组文字,，关系式，关系式1212,;,nnx xxyyy11111221211112211122nnnnnnnnnnxc yc ycyxc yc ycyxcycycy ,1,2,.ijcP i jn称为由称为由的一个的一个线性替换线性替换;1212,nnx xxyyy到到若系数行列式若系数行列式|c|cij|0,0,则称则称为为非退化线性替换非退化线性替换.数学与计算科学学院.0 xy它是非退化的它是非退化的.系数行列式系数行列式 cossin1.sincos 例例2 解析几何中的坐标轴按逆时针方向解析几

7、何中的坐标轴按逆时针方向旋转解角度旋转解角度 cossinsincosxxyyxy 即变换即变换x y 数学与计算科学学院则则可表示为可表示为X=CY若若|C|00，则则为非退化线性替换为非退化线性替换.注注1）或或为非退化的为非退化的 为可逆矩阵为可逆矩阵.ij=cn nC 1112111222122212.,.nnnnnnnncccxyxycccXYCxyccc 令令2）若）若XCY为非退化线性替换为非退化线性替换，则有非退化则有非退化线性替换线性替换.1YCX 数学与计算科学学院即，即，B为对称矩阵为对称矩阵.B CAC令|0C XCY事实上，事实上，12(,.,)nf x xxX AX

8、 ()BC ACC A CC ACB 又又()Y C AC Y ()()CYA CY 12(,.,)nY BYg yyy 12(,.,)nY BYg yyy 是一个是一个 二次型二次型.12,nyyy数学与计算科学学院1）合同具有合同具有对称性：对称性：传递性传递性:即即C1C2可逆可逆.反身性反身性:注注:：设设 ，若存在可逆矩阵，若存在可逆矩阵,n nA BP 使使 ，则称，则称A与与B合同合同.,n nCP BC AC AE AE ,|0BC AC C 11()()ACB C 112212,|0,|0BC AC DC BCCC 2112()DCC AC C 1212()()C CA C

9、C 1212|0,C CCC 数学与计算科学学院3）与对称矩阵合同的矩阵是与对称矩阵合同的矩阵是对称矩阵对称矩阵.2）合同矩阵具有相同的秩合同矩阵具有相同的秩.A与与B合同合同.二次型二次型X AX可经非退化线性替换化为二次型可经非退化线性替换化为二次型Y BY进而，有进而，有:C可逆可逆()()BA 秩秩秩秩,BC AC ,AA BC ACC 可可逆逆()BC ACC A CC ACB ,若若AABB 数学与计算科学学院例例2证明：矩阵证明：矩阵A与与B合同，其中合同，其中1122,iininAB ,12,ni ii是是1,2,n的1,2,n的一个排列一个排列.证：作二次型证：作二次型222

10、121122(,)nnnf x xxX AXxxx 数学与计算科学学院故矩阵故矩阵A与与B合同合同.1212niiniyxyxyx 对作非退化线性替换对作非退化线性替换12(,)nf x xx121212(,)nniiinf x xxX AXyyy 则二次型化为（注意则二次型化为（注意 的系数为的系数为）jixji Y BY 数学与计算科学学院 写出下列二次型的矩阵写出下列二次型的矩阵1213231.422x xx xx x 1123231 3 52.(,)2 4 67 8 5xx xxxx 2113.niijiij nxx x 其中其中214.(),niixx 11.niixxn 数学与计算

11、科学学院02 11.201110 111111111111.4.nnnnnnnnnnnnnnn 5252162.4 767 51112221112221112221.1.3.1 数学与计算科学学院-4.解：解：222111()2nnniiiiiixxxxxnx 22221111()()nnniiinniiixxx22111()nniiniixx221111(2)nniiijniiij nxxx x 21211nniijnniij nxx x 数学与计算科学学院，或，或X=CY，|C|0.基本概念基本概念,.n nBCACCP可逆1211(,)nnnijijijf x xxa x xX AX (),ijn nAaAA 11111221211112211122nnnnnnnnnnxc yc ycyxc yc ycyxcycycy 数学与计算科学学院基本结论基本结论1、二次型经过非退化线性替换仍为二次型、二次型经过非退化线性替换仍为二次型.3、矩阵的合同关系具有反身性、对称性、传递性、矩阵的合同关系具有反身性、对称性、传递性.2、二次型二次型X AX可经非退化线性替换化为二型可经非退化线性替换化为二型Y BYBC AC ,n nABCP 与与 合合同同,即即存存在在可可逆逆使使