高等数学及其应用电子教案第二版数学系ch23课件.pptx

1、本节要点本节要点一、反函数的求导法则一、反函数的求导法则二、复合函数的求导法则二、复合函数的求导法则 牛牛文库文档分享一、反函数的导数一、反函数的导数yI 设函数设函数 在区间在区间 内单调、连续内单调、连续,则其反函则其反函()xy内单调内单调,连续连续:若设若设 在区间在区间 内可导内可导,且且 ()xyyI 今来讨论今来讨论 的可导性的可导性.()0,y yf x 给给 以增量以增量 由由 的的()yf xx0,xxxxI ()yf x yIx xyyI数数 在对应的区间在对应的区间单调性单调性,知知 牛牛文库文档分享()()0,yf xxf x 变形得到变形得到1,yxxy又由函数的连

2、续性又由函数的连续性,当当 时必有时必有 从而有从而有0 x 0,y 0011limlim.()xyyxxyy 牛牛文库文档分享由此说明了函数由此说明了函数 在在 处可导处可导,且有且有()yf xx1().()fxy简单地说简单地说,反函数的导数等于直接函数的导数的倒数反函数的导数等于直接函数的导数的倒数 牛牛文库文档分享例例2.15 求反正弦函数求反正弦函数arcsinyx解解 是是 的反函数的反函数.arcsin11yxx sinxysincos0,yy1arcsin,cosyxy 注意到在区间注意到在区间 内，内，从而有从而有,2 2yI 2cos1,yx所以所以.在区间在区间 内点点

3、可导内点点可导,且有且有arcsinyx1,1sinxy,2 2yI 而而 在区间在区间 内单调、可导内单调、可导,并且并且 的导数的导数 牛牛文库文档分享 牛牛文库文档分享例例2.16 求反正切函数求反正切函数arctanyx解解 函数函数 是是 在在arctanyxx tanxy,2 2yI 区间内的反函数，在区间内单调、可导区间内的反函数，在区间内单调、可导,且且2tansec0,yy所以所以 在在 内每一点可导内每一点可导,且有且有:arctan (,)yx 211arctan.sectanyxyy有有的导数的导数 牛牛文库文档分享注意到：注意到：从而有从而有222sec1tan1,y

4、yx 21arctan.1xx同理可得其它几个反三角函数的导数公式同理可得其它几个反三角函数的导数公式:2211arccos,arccot.11xxxx 牛牛文库文档分享例例2.17 求对数函数求对数函数log0,1ayx aa解解 是是 的反的反log0ayxx yx ay ln0,yyaaa注意到注意到,yax1log,lnaxxa特别地特别地,当当 时时,有有ea 1ln.xx函数函数,且直接函数在定义域内单调、可导且直接函数在定义域内单调、可导,且且的导数的导数.从而有从而有 牛牛文库文档分享三、复合函数的导数三、复合函数的导数 在众多的函数中在众多的函数中,我们遇见的更多的是复合函数

5、我们遇见的更多的是复合函数.例例sin22 sin cosxxx2 cos cossin sin2cos2.xxxxxsin2yx如函数如函数 ,这是一个极为简单的函数这是一个极为简单的函数,但我们但我们要求它的导数就没那么简单要求它的导数就没那么简单.事实上事实上,由导数的乘积公由导数的乘积公式式,得得 牛牛文库文档分享 对一个如此简单的函数对一个如此简单的函数,求其导数都那么困难求其导数都那么困难,这就这就提示我们有必要讨论复合函数的求导法则提示我们有必要讨论复合函数的求导法则.利用相应的利用相应的法则来简化某些复杂函数的导数计算法则来简化某些复杂函数的导数计算 牛牛文库文档分享复合函数求

6、导法则复合函数求导法则 如果函数如果函数 在点在点 可导可导,()ux0 x证证 设自变量设自变量 在在 处有增量处有增量 ,则函数则函数x0 xx()ux()yf u00()ux而函数而函数 在在 处可导处可导,则复合函数则复合函数 ()yfx0 x在在 处可导处可导,并且有关系并且有关系00(),uxxx 有增量有增量 相应地相应地,函数函数()yf x有增量有增量 000d().dx xyfuxx（2.4） 牛牛文库文档分享00,yf uuf u 当当 时时,有有0u 由函数由函数 的可导性的可导性,得函数在得函数在 是连续的是连续的,因因()ux0 x000limlim(),xuyyf

7、 uuu 又又00lim(),xuxx 0 x 0,u 此当此当 时时,有有 由此得由此得,yyuxux（2.5） 牛牛文库文档分享由此得到由此得到:00000dlimlim().dxxx xyyyufuxxxux 复合函数的复合函数的求导公式常常表示为求导公式常常表示为dd d.dddyyuxux（2.6）公式（公式（2.6）称为复合函数的求导法则）称为复合函数的求导法则 牛牛文库文档分享此公式可以作进一步的推广此公式可以作进一步的推广:若若(),(),(),yf u uv vx均为可导函数均为可导函数,则相应的复合函数则相应的复合函数 yfx dddd.ddddyyuvxuvx的导数为的导

8、数为 牛牛文库文档分享例例2.18 求函数求函数lncosyx解解lncosyxln,cosyu uxddddddyyuxux而成而成,故此由复合函数的求导公式故此由复合函数的求导公式,得得的导数的导数.可以看成由可以看成由复合复合 1sintan.xxu 牛牛文库文档分享例例2.19 求函数求函数2arcsin1yx解解 因因dd d dddd dyyu vxuvx的导数的导数.2arcsin1yx可视为可视为 2arcsin,1yu uv vx复合而成复合而成,由复合函数求导公式（由复合函数求导公式（2.6）得）得: 牛牛文库文档分享例例2.20 求函数求函数21cos2xy解解 2211coscos221112cosln2sin 22ln2.xxyxxx 的导数的导数 牛牛文库文档分享 牛牛文库文档分享