高等数学教学课件-第二节-数列的极限.ppt

1、1/18一、数列极限的定义一、数列极限的定义二、数列极限的性质二、数列极限的性质三、小三、小 结结2/18“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：播播 放放刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入 3/18R正六边形的面积正六边形的面积1A正十二边形的面积正十二边形的面积2A正正 形的面积形的面积126 nnA,321nAAAA2RS 121121262sin23262sin2126 nnnnnRRA 2R 求半径为求半径为R的圆的面积？的圆的面积？4/182 2、截丈问题：、

2、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭一尺之棰，日截其半，万世不竭”;211 X第第一一天天截截下下的的杖杖长长为为;212122 X为为第第二二天天截截下下的的杖杖长长总总和和;2121212nnXn 天天截截下下的的杖杖长长总总和和为为第第nnX211 15/18二、数列二、数列(sequence)的定义的定义例如例如;,2,8,4,2n;,21,81,41,21n2n21n6/18注意：注意：1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一可看作一动点在数轴上依次取动点在数轴上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx2.数列是整标函数数列是整标函数 Nnnfxn，)(;

3、,)1(,1,1,11 n)1(1 n;,)1(,34,21,21nnn )1(1nnn ,333,33,3 7/18.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn播播 放放三、数列的极限三、数列的极限(Limit of a sequence)8/18问题问题:当当 无限增大时无限增大时,是否无限接近于某一是否无限接近于某一确定的数值确定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定?nxn.1)1(1,1无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当nxnnn 问题问题:“无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语言如何用数学语言刻划它刻划它.1nxnnn11)1(1 通过

4、上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:可可以以用用这这两两个个两两个个数数之之间间的的接接近近程程度度我我们们知知道道,.，差差值值越越小小越越接接近近数数之之差差的的绝绝对对值值来来度度量量9/18,1001给定给定,10011 n由由,100时时只要只要 n,10011 nx有有,10001给定给定,1000时时只要只要 n,1000011 nx有有,100001给定给定,10000时时只要只要 n,100011 nx有有,0 给定给定,)1(时时只要只要 Nn.1成立成立有有 nx10/18如果数列没有极限如果数列没有极限,就说数列是发散的就说数列是发散的.注意：注意：;.1的的无无

5、限限接接近近与与刻刻划划了了不不等等式式axaxnn .2有有关关与与任任意意给给定定的的正正数数 N11/18.,0,0lim axNnstNaxnnn-恒恒有有时时x1x2x2 Nx1 Nx3x几何解释几何解释:2 a aa.)(,),(,落在其外落在其外个个至多只有至多只有只有有限个只有有限个内内都落在都落在所有的点所有的点时时当当NaaxNnn :定义定义N 其中其中;:每一个或任给的每一个或任给的.:至少有一个或存在至少有一个或存在.:使使得得或或为为了了使使得得st12/18数列极限的定义未给出求极限的方法数列极限的定义未给出求极限的方法.例例1.1)1(lim1 nnnn证明证明

6、证证1 nx1)1(1 nnnn1,0 任给任给,1 nx要要,1 n只要只要,1 n或或所以所以,11 N取取,时时则则当当Nn 1)1(1nnn就有就有.1)1(lim1 nnnn即即注意：注意：小结小结:用定义证数列极限存在时用定义证数列极限存在时,关键是任意给关键是任意给定定 寻找寻找N,但不必要求最小的但不必要求最小的N.,0 13/18例例2.1,0lim qqnn其中其中证明证明证证,0 任给任给,0 nnqx,lnln qn,lnlnqN 取取,时时则当则当Nn ,0 nq就有就有.0lim nnq,0 q若若;00limlim nnnq则则,10 q若若,lnlnqn 14/

7、18四、收敛数列的性质四、收敛数列的性质定理定理1(1(唯一性唯一性)每个收敛的数列只有一个极限每个收敛的数列只有一个极限.定理定理2 2(有界性)收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界.推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散.定理定理3(收敛数列的保号性收敛数列的保号性)那那么么存存在在正正或或且且若若),0(0,lim aaaxnn).0(0,0 nnxxNnN或或都都有有时时当当整整数数15/18 的的的的一一个个数数列列称称为为原原数数列列到到中中的的先先后后次次序序，这这样样得得这这些些项项在在原原数数列列保保持持中中任任意意抽抽取取无无限限多多项项并并在在数数列列nnnxxx,2

8、1nixxxx,21knnnxxx .knxxxkxxkknnnnkkk 项，显然，项，显然，中却是第中却是第在原数列在原数列而而项，项，是第是第中，一般项中，一般项在子数列在子数列注意：注意：例如例如，子数列（或子列）子数列（或子列）定义：定义：*定理定理 4 4(收敛数列及子数列(subsequence)间的关系)收敛数列的任一子数列也收敛且极限相同收敛数列的任一子数列也收敛且极限相同16/18有有两两个个子子数数列列收收如如果果数数列列可可知知由由定定理理,4nx.,么么数数列列是是发发散散的的那那敛敛于于不不同同的的极极限限nx,)1(,1,1,1:)1(11 nn数列数列,112收收

9、敛敛于于子子数数列列 kx,12 收收敛敛于于子子数数列列kx同时这个例子也同时这个例子也是发散的是发散的数列数列因此因此.)1(1 n.,有有收收敛敛的的子子数数列列一一个个发发散散的的数数列列也也可可能能说说明明,例如例如17/18五、小结五、小结数列数列:研究其变化规律研究其变化规律;数列极限数列极限:极限思想、精确定义、几何意义极限思想、精确定义、几何意义;收敛数列的性质收敛数列的性质:有界性、唯一性、有界性、唯一性、子数列的收敛性子数列的收敛性.用时用时1课时课时业业作作)2(331 P18/18一、一、利用数列极限的定义证明利用数列极限的定义证明:1 1、231213lim nnn

10、；2 2、19.999.0lim n二、二、设数列设数列nx有界，又有界，又0lim nny，证明：证明：0lim nnnyx.练练 习习 题题19/18四、收敛数列的性质四、收敛数列的性质定理定理1(1(唯一性唯一性)每个收敛的数列只有一个极限每个收敛的数列只有一个极限.证证,lim,limbxaxnnnn 又又设设由定义由定义,使得使得.,021NN ;1 axNnn时恒有时恒有当当;2 bxNnn时恒有时恒有当当 ,max21NNN 取取时有时有则当则当Nn )()(axbxbann axbxnn .2 .时时才才能能成成立立上上式式仅仅当当ba 故收敛数列极限唯一故收敛数列极限唯一.2

11、0/18例如例如,;1 nnxn数列数列.2nnx 数列数列数轴上对应于有界数列的点数轴上对应于有界数列的点nx都落在闭区间都落在闭区间,MM 上上.有界有界无界无界21/18定理定理2 2(有界性)收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界.证证,limaxnn 设设由定义由定义,1 取取,1,axNnNn时恒有时恒有使得当使得当则则.11 axan即有即有,1,1,max1 aaxxMN记记,Mxnn 皆有皆有则对一切自然数则对一切自然数 .有界有界故故nx注意：有界性是数列收敛的必要条件注意：有界性是数列收敛的必要条件.推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散.22/18例例 3.)1(1是

12、发散的是发散的证明数列证明数列 nnx证证,limaxnn 设设由定义由定义,21 对于对于,21,成立成立有有时时使得当使得当则则 axNnNn),21,21(,aaxNnn时时即当即当区间长度为区间长度为1.,1,1两个数两个数无休止地反复取无休止地反复取而而 nx不可能同时位于长度为不可能同时位于长度为1的的区间内区间内.,但但却却发发散散是是有有界界的的事事实实上上nx23/18定理定理3(收敛数列的保号性收敛数列的保号性)那那么么存存在在正正或或且且若若),0(0,lim aaaxnn).0(0,0 nnxxNnN或或都都有有时时当当整整数数axnn lim,0,02 Na正整数正整

13、数对于对于 2,aaxNnn 有有时时当当.023200220 aaaxaaaaxann从而从而:证明证明24/181 1、割圆术：、割圆术：“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入25/181 1、割圆术：、割圆术：“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入26/18“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可

14、割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入27/18“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入28/18“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入29/18“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥

15、少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入30/18“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入31/18“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入32/18“割之弥细，所割之弥

16、细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入33/18.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限三、数列的极限34/18.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限三、数列的极限35/18.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限三、数列的极限36/18.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限三、数列的极限37/18.)

17、1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限三、数列的极限38/18.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限三、数列的极限39/18.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限三、数列的极限40/18.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限三、数列的极限41/18.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限三、数列的极限42/18.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限三、数列的极限43/18.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限三、数列的极限44/18.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限三、数列的极限45/18.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限三、数列的极限