高等数学A第6章多元函数微分学1-10(多元函数概念)讲解课件.ppt

1、中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组高等数学高等数学A A6.1.1 6.1.1 点集与多元函数的概念点集与多元函数的概念6.1.2 6.1.2 二元函数的极限及连续性二元函数的极限及连续性 6.1 6.1 多元函数微分的基本概念多元函数微分的基本概念6.1.1 一般概念一般概念 预备知识预备知识 邻域邻域 区域区域 聚点聚点n 维空间维空间 多元函数概念多元函数概念引例引例二元函数的定义二元函数的定义 习例习例1-4 二元函数的几何意义二元函数的几何意义 习例习例5-7 多元函数的定义多元函数的定义 6.1.2 二元函数二元函数极限及连续性极限及连

2、续性 多元函数极限多元函数极限二元函数的极限定义二元函数的极限定义例例8 二元函数极限的计算二元函数极限的计算习例习例9-12 确定极限不存在的方法确定极限不存在的方法 例例13-16累次极限累次极限例例17-19 多元函数的极限多元函数的极限 多元函数连续性多元函数连续性连续性定义连续性定义 闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质例例20-25 小结小结多元函数微分学的基本概念多元函数微分学的基本概念 我们把我们把n元有序实数组元有序实数组(x1 x2 xn)的全体所构成的集的全体所构成的集合记为合记为Rn 即即 Rn(x1 x2 xn)|xiR i 1 2 n x(x1 x2 xn)

3、称为称为Rn中的一个点或一个中的一个点或一个n维向量维向量 xi称为点称为点x的第的第i个坐标或个坐标或n维向量维向量x的第的第i个分量个分量 0(0 0 0)称为称为Rn中的原点或中的原点或n维零向量维零向量 22,(x,y)|,nRxR yR33,()|,nRxR yR zRx,y,zx,y,z1212(,),(,(,)nnnRx xxx xx中每一个元素可以看成是空间里的一个点 也可以认为是空间里的一个向量 以原点为起始点以为终点的一个向量1.n 维空间维空间一、预备知识一、预备知识定义定义 数量积数量积/内积内积 1212(,),(,),(,),定义的数量积(内积)为一个数 即nnnx

4、 xxy yyRxyx yx y(,)(,)(,)(,)(,)(,)xy zx zy zxyzx yx z1(,)niiix yx y:(1,0,1,2),(2,1,3,1)(,)20(3)21例则 xyx y:(1):(,)(,)(2):nR里的内积运算有如下性质对称性双线性性x yy x的距离距离记作2222211)()()(),(nnyxyxyxyx中点 a 的 邻域邻域为),(21nyyyy与点),(,R),(axxxaUn),(R21nnxxxx中的点,),(yxyx或规定为),(R21nnxxxx中的点与零元 O 的距离为22221nxxxx.,3,2,1xxn通常记作时当0Rax

5、axn满足与定元中的变元.ax 记作nR )(0oPPU2.邻域邻域点集点集称为点称为点 P0 的的 邻域邻域.例如例如,在平面上,(圆邻域圆邻域)在空间中,),(),(0zyxPU说明：若不需要强调邻域半径说明：若不需要强调邻域半径 ,也可写成也可写成.)(0PU点点 P0 的的去心邻域去心邻域记为记为,),(0PPU0PP ),(),(0yxPU)()(2020yyxx)()()(202020zzyyxx00 PP(球邻域球邻域)在讨论实际问题中也常使用方邻域在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为平面上的方邻域为 ),(),U(0yxP。0P因为方邻域与圆因为方邻域与圆邻域可以互

6、相包含邻域可以互相包含.,0 xx0 yy(1)内点、外点、边界点内点、外点、边界点设有点集 E 及一点 P:若存在点 P 的某邻域 U(P)E,若存在点 P 的某邻域 U(P)E=,若对点 P 的任一任一邻域 U(P)既含 E中的内点也含 EE则称 P 为 E 的内点内点；则称 P 为 E 的外点外点;则称 P 为 E 的边界点边界点.的外点,E的边界点的全体 称为E的边界 记作E 任意一点任意一点P R2与任意一个点集与任意一个点集E R2之间必有以下三种之间必有以下三种关系中的一种关系中的一种 vRn中点的分类中点的分类（按位置（按位置)显然,E 的内点必属于 E,E 的外点必不属于 E

7、,E 的边界点可能属于 E,也可能不属于 E.提问 E的内点、外点、边界点是否都必属于E？(2)聚点聚点若对任意给定的 ,点P 的去心),(PUE邻域内总有E 中的点,则称 P 是 E 的聚点聚点.聚点可以属于 E,也可以不属于 E(因为聚点可以为 所有聚点所成的点集成为 E 的导集导集.E 的边界点)vRn中点的分类（按性质中点的分类（按性质)(U E 00，其内不含集合，其内不含集合，但存在，但存在若点若点XX E ,E0。的孤立点的孤立点为集合为集合则称则称的点的点X 孤立点孤立点(isolated point)(1)内点一定是聚点；内点一定是聚点；(2)边界点可能是聚点；边界点可能是聚

8、点；10|),(22 yxyx如如(0,0)既是既是边界点也是聚点边界点也是聚点.(3)点集点集E的聚点可以属于的聚点可以属于E，也可以不属于，也可以不属于E10|),(22 yxyx如如(0,0)是聚点但不属于集合是聚点但不属于集合.1|),(22 yxyx如如边界上的点都是聚点也都属于集合边界上的点都是聚点也都属于集合D(3)开区域及闭区域开区域及闭区域 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集开集；若点集 E E,则称 E 为闭集闭集；若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连,开区域连同它的边界一起称为闭区域闭区域.则称 D 是连通的;连通的开集称为开区域,简称区域区域;。

9、E 的边界点的全体称为 E 的边界,记作E;vRn中点集的分类中点集的分类例如，例如，在平面上0),(yxyx41),(22yxyx0),(yxyx41),(22yxyx开区域闭区域xyo21xyoxyoxyo21 整个平面 点集 1),(xyx是开集，是最大的开域,也是最大的闭域；但非区域.11oxy 对区域 D,若存在正数 K,使一切点 PD 与某定点 A 的距离 AP K,则称 D 为有界域有界域,界域界域.否则称为无无二二.多元函数的概念多元函数的概念1.引例引例:圆柱体的体积圆柱体的体积 定量理想气体的压强定量理想气体的压强 三角形面积的海伦公式三角形面积的海伦公式,2hrV,(为常

10、数）RVTRp)2(cbapcba0,0),(hrhr0,0),(TTVTVcbacbacba,0,0,0),()()(cpbpappShr 设设D是是平平面面上上的的一一个个点点集集，如如果果对对于于每每个个点点DyxP),(，变变量量 z按按照照一一定定的的法法则则总总有有确确定定的的值值和和它它对对应应，则则称称 z是是变变量量yx,的的二二元元函函数数，记记为为),(yxfz （或或记记为为)(Pfz ）.2.二元函数的定义二元函数的定义3.二元函数的定义域二元函数的定义域(1)使得算式有意义的使得算式有意义的x,y的变化范围所确定的点集的变化范围所确定的点集.(2)使得实际问题有意义

11、的使得实际问题有意义的x,y的变化范围所确定的点集的变化范围所确定的点集.(3)二元函数的定义域一般来说是平面上的区域二元函数的定义域一般来说是平面上的区域.(4)二元函数的两要素是定义域和对应法则二元函数的两要素是定义域和对应法则.222arcsin(3)(,),.xyf x yxy求的定义域 并作图例例1 222224.uzxyxyz求的定义域并作图例例2 ln()lnln()?zx xyzxxy与是同一函数吗例例322(,),(,).xf xyxyf x yy设求例例4222arcsin(3)(,),.xyf x yxy求的定义域 并作图解解 013222yxyx 22242yxyx所求

12、定义域为所求定义域为.,42|),(222yxyxyxD 注意注意:平面区域通常用字母平面区域通常用字母D表示表示.例例1 222224.uzxyxyz求的定义域并作图解解,04022222 zyxyxz,422222 zyxyxz故所求定义域为故所求定义域为 .4,|),(22222 zyxyxzzyxxyzo例例2 ln()lnln()?zx xyzxxy与是同一函数吗解解,0)()(ln yxxyxxz的定义域为的定义域为,00)ln(ln yxxyxxz的定义域为的定义域为)ln(ln)(ln不是同一函数不是同一函数与与yxxzyxxz 例例322(,),(,).xf xyxyf x

13、yy设求解解)(),(yxyxyxyxf 2)(yxyxyx ,)(112yxyxyx .11),(2xyyyxf 例例44.二元函数的几何意义二元函数的几何意义),(yxfz 0),(yxfz0),(zyxF一般曲面一般曲面.),(),(),(决定通过上点由平面区域曲面上点yxfzyxPDzyxM如图所示如图所示例例 5 作二元函数作二元函数 的图形的图形 yxz 1例例 6 作二元函数作二元函数 的图形的图形 22yxz 例例 7 作二元函数作二元函数 的图的图形形 222yxRz )0(Rx y z O z=1-x-y 解解 二元函数二元函数 的图形是空间一平面，其图形的图形是空间一平面

14、，其图形如下图所示如下图所示yxz1例例 5 作二元函数作二元函数 的图形的图形 yxz 1解解 此函数的定义域为此函数的定义域为 面上任意点且面上任意点且 ，即，即曲面上的点都在面曲面上的点都在面 上方其图形为旋转抛物面，上方其图形为旋转抛物面，如下图所示如下图所示xOy0zxOyz 2 2 y x z x y O 例例 6 作二元函数作二元函数 的图形的图形 22yxz 例例 7 作二元函数作二元函数 的图的图形形 222yxRz )0(R解解 此二元函数的定义域为此二元函数的定义域为 ，即，即 坐标面坐标面 上的以上的以 为圆心，为圆心，为半径的圆，且为半径的圆，且 其图形为其图形为上半

15、圆周，如下图所示上半圆周，如下图所示 222RyxxOyORRz 0y x z R R R O 5.多元函数的定义多元函数的定义 .,),(,11记记为为元元函函数数的的为为则则称称的的值值和和它它对对应应按按照照一一定定法法则则总总有有确确定定变变量量如如果果对对于于每每一一个个点点维维空空间间内内的的点点集集设设有有nxxuuDxxPDnnn ),(21nxxxfu),(:xfy 一元函数一元函数一个自变量一个自变量.),(:yxfz 二元函数二元函数两个自变量两个自变量.),(:zyxfu 三元函数三元函数三个自变量三个自变量.),(:1nxxfun 元函数元函数n个自变量个自变量.n元

16、函数在几何上表示元函数在几何上表示n+1维空间上的一般曲面维空间上的一般曲面.注意注意.(1)多元函数也有单值函数和多值函数，如多元函数也有单值函数和多值函数，如2222azyx 在讨论过程中通常将其拆成几个单值函数后在讨论过程中通常将其拆成几个单值函数后再分别加以讨论再分别加以讨论.(2)多元函数也有分段函数，如多元函数也有分段函数，如 0 00 ),(222222yxyxyxxyyxf(3)点函数点函数u=f(P)能表示所有的函数能表示所有的函数.6.多元函数有加减乘除数乘及复合运算多元函数有加减乘除数乘及复合运算(略略)多元复合函数比一元复合函数复杂，需要认清其复合多元复合函数比一元复合

17、函数复杂，需要认清其复合关系关系-可借助链式图（分枝图）可借助链式图（分枝图）.222211sin,sin,11是由复合而成的二元函数；zzu uvxyxyv2212312223(,),(,),是由复合而成的二元函数；uf xy xy xyuf v v vvxyvxy vxy 曲面z=f(x,y)与平面z=c的交线在xoy平面上的投影称为二元函数zf(x,y)的等值线。二元函数的的等值线二元函数的的等值线/等高线等高线下图下图 .I I,)(0的聚点的聚点为为设设xxxfy,),(U ,0 ,0 0时时当点当点若若xx ,|)(|),U()(则称则称即即axfaxf.)(lim 0axfxx三

18、三.多元函数的极限多元函数的极限1.二元函数的极限定义二元函数的极限定义描述性定义描述性定义 .,),(,),(,),(),(,),(,),(00000000记为记为时的极限时的极限当当为为则称数则称数数数的常的常就无限接近于一个确定就无限接近于一个确定对应的函数值对应的函数值时时以任何方式趋近于点以任何方式趋近于点如果点如果点其聚点其聚点是是的定义域为的定义域为设函数设函数yyxxyxfzAAyxfyxPyxPyxPDyxfz ,),(lim00Ayxfyyxx.),(lim ),(),(00Ayxfyxyx 或或精确定义精确定义.,),(.),(),()()(0,0,0.,),(,),(0

19、02020000时的极限时的极限当当为为则称则称成立成立都有都有的一切的一切对于适合对于适合若若是常数是常数其聚点其聚点是是的定义域为的定义域为设函数设函数yyxxyxfzAAyxfyxyyxxRAyxPDyxfz 利用点函数给出的定义利用点函数给出的定义.)(,0,0,00 APfPP有有时时当当说明：说明：（1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；0PP（2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似Oxy),(00yx),(yx),(yx),(yx),(

20、yx),(yx),(yx),(00yx),(yx),(yx),(yxOxy 相同点相同点 多元函数的极限与一元函数的极限的多元函数的极限与一元函数的极限的一元函数在某点的极限存在的充要一元函数在某点的极限存在的充要定义相同定义相同.差异为差异为必需是点必需是点P在定义域内以任何方式和途径趋在定义域内以任何方式和途径趋而多元函数而多元函数于于P0时时,相同点和差异是什么相同点和差异是什么条件是左右极限都存在且相等条件是左右极限都存在且相等;都有极限都有极限,且相等且相等.)(Pf例例8 依定义验依定义验证证22(,)(2,1)lim()7.x yxxyy证证 因为因为 227xxyy22(4)2

21、(1)xxyy|(2)(2)(2)2(1)(1)(1)|xxxyyyy|2|2|1|3|.xxyyy不妨先限制在点不妨先限制在点(2,1)的方邻域的方邻域 (,)|2|1,|1|1x yxy内来讨论内来讨论,于是有于是有|3|14|1|45,yyy|2|(2)(1)5|xyxy|2|1|57.xy2277|2|5|1|xxyyxy7(|2|1|).xy0,min(1,),14 取取|2|,|1|xy 当当(,)(2,1)x y 且且 时时,就有就有 所以所以2277214.xxyy 这就证得这就证得 22(,)(2,1)lim()7.x yxxyy2.二元函数极限的计算习例二元函数极限的计算习

22、例 计算二元函数的极限，应用一元函数计算极限的计算二元函数的极限，应用一元函数计算极限的一些法则与方法一些法则与方法.对于未定型，不再有对于未定型，不再有LHospital法则，须化成确定型法则，须化成确定型.),0(1sin)(),(9222222 yxyxyxyxf设设例例.0),(lim:00 yxfyx求证求证.)(lim 10)(22yxyxeyx 计算极限计算极限例例,0,00,1sin1sin),(11 yxyxxyyxyxf设设例例.0),(lim:00 yxfyx求证求证 )0,0(),(,0),0,0(),(,),(122222yxyxyxyxxyyxf设设例例.0),(l

23、im:)0,0(),(yxfyx证明证明解解 01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 22yx ,0 01sin)(2222yxyx要使要使),0(1sin)(),(9222222 yxyxyxyxf设设例例.0),(lim:00 yxfyx求证求证 22 yx只要只要 22 yx即即 取取,)0()0(022时时当当 yx 01sin)(2222yxyx原结论成立原结论成立解解)(22)(0yxeyx )(2)(yxeyx tttyxyxyxeteyx 2)(2lim)(limttet2lim 02lim ttet.0)(lim)(22 yxyxeyx.)(lim 10)(

24、22yxyxeyx 计算极限计算极限例例解解 xyyx1cos1sin0 xyyx1cos1sin yx )0,0(0yx由夹逼准则得，由夹逼准则得，.0)1cos1sin(lim00 xyyxyx,0,00,1sin1sin),(11 yxyxxyyxyxf设设例例.0),(lim:00 yxfyx求证求证证证(证法一证法一)0,由由222222222202xyxyxyxyxyxy222211(),22xyxy可知可知 222,0,xy 当当时时 便便有有 )0,0(),(,0),0,0(),(,),(122222yxyxyxyxxyyxf设设例例.0),(lim:)0,0(),(yxfyx

25、证明证明22220,xyxyxy 故故(,)(0,0)lim(,)0.x yf x y 注意注意 不要把上面的估计式错写成：不要把上面的估计式错写成：2222222210(),22xyxyxyxyxyxyxy(,)(0,0)x y(,)(0,0),x y 因为因为的过程只要求的过程只要求 即即 220,xy 0.xy 而并不要求而并不要求 (证法二证法二)作极坐标变换作极坐标变换 cos,sin.xryr 这时这时 2222|(,)0|xyf x yxyxy 2211|sin4|,44rr(,)(0,0)x y 0r 等价于等价于(对任何对任何 ).由于由于 因此，因此，220,2,rxy只须

26、只须对任何对任何 都有都有 2(,)(0,0)1|(,)0|,lim(,)0.4x yf x yrf x y 即即下述定理及其推论相当于一元函数极限的海涅归下述定理及其推论相当于一元函数极限的海涅归结结原则原则(而且证明方法也相类似而且证明方法也相类似).).定理定理1 0lim()PPP Df PA 的充要条件是：对于的充要条件是：对于 D 的的 任一子集任一子集 E,只要只要 仍是仍是 E 的聚点的聚点,就有就有0P0lim().PPP Ef PA 3.确定极限不存在的方法确定极限不存在的方法 1ED 01lim()PPP Ef P 推论推论1 若若,P0 是是 E1 的聚点的聚点,使使

27、不存在不存在,则则0lim()PPP Df P 也不存在也不存在 001212lim()lim()PPPPP EP Ef PAf PA与与120,E ED P 推论推论2 若若 是它们的聚点，使得是它们的聚点，使得12AA 0lim()PPP Df P 都存在，但都存在，但,则则不存在不存在推论推论3 极限极限 0lim()PPP Df P 存在的充要条件是：存在的充要条件是：D 中任中任 一满足条件一满足条件00lim,nnnnPPPPP 且且点点列列的的 它所它所 对应的函数列对应的函数列()nf P都收敛都收敛.,),(),(000就可断定此极限不存在就可断定此极限不存在不同值不同值函数

28、趋于函数趋于时时以不同方式趋于以不同方式趋于当当yxPyxP在在(0,0)处时处时,一般选择下列极限方式：一般选择下列极限方式：;)4(;)3(;0 )2(;0 )1(2kxykxyyx 由上述结论可得确定极限不存在的方法如下：由上述结论可得确定极限不存在的方法如下：).,(lim,0 ,00,),(1300222222yxfyxyxyxxyyxfyx 计算计算设设例例).,(lim .,0,0 ,1)(14002yxfxxyxfyx 计算计算其余部分其余部分设设例例例例15 .)0,0(),()(时不存在极限时不存在极限在在讨论讨论 yxyxxyxf.)()cos(1lim 16222222

29、00yxyxyxyx 求求例例解解),(lim),(lim00kxxfyxfxxkxy 22220limxkxkxx 21kk 其值随着其值随着k的不同而改变的不同而改变.故所求极限不存在故所求极限不存在.).,(lim,0 ,00,),(1300222222yxfyxyxyxxyyxfyx 计算计算设设例例解解 如上图所示如上图所示,当当(x,y)沿任何直线趋于原点时沿任何直线趋于原点时,).,(lim .,0,0 ,1)(14002yxfxxyxfyx 计算计算其余部分其余部分设设例例相应的相应的(,)f x y都趋于都趋于 0,但这并不表明此函数在但这并不表明此函数在(,)(0,0)x

30、y 时的极限为时的极限为 0.因为当因为当(x,y)沿抛物线沿抛物线 2(01)ykxk (,)f x y 趋于点趋于点 O 时时,将趋于将趋于1.所所以极限以极限 (,)(0,0)lim(,)x yf x y不存在不存在.解解 利用定理利用定理1 的推论的推论 2,需要找出两条路径需要找出两条路径,沿沿 着着此二路径而使此二路径而使(,)(0,0)x y 时时,得到两个相异得到两个相异 的极限的极限 例例15 .)0,0(),()(时不存在极限时不存在极限在在讨论讨论 yxyxxyxf第一条路径简单地取第一条路径简单地取,yx 此时有此时有 2(,)(0,0)0()limlim0.2x yx

31、yxxyxxyx 第二条路径可考虑能使第二条路径可考虑能使(,)xyf x yxy 的分子与的分子与 分母化为同阶的无穷小分母化为同阶的无穷小,导致极限不为导致极限不为 0.按此思路按此思路 的一种有效选择的一种有效选择,是取是取 2.yxx 此时得到此时得到 222(,)(0,0)00()()limlimlim(1)1,x yxxyxxxyx xxxxyx 这就达到了预期的目的这就达到了预期的目的.)()cos(1lim 1622222200yxyxyxyx 求求例例解解:因因,)(2224122yxyx 222222)()cos(1yxyxyx 而而620)cos1(4limrrr 此函数

32、定义域此函数定义域不包括不包括 x,y 轴轴,222yxr 令令则则62)cos1(4rr 6402limrrr 2cos1r 22r故故 22222200)()cos(1limyxyxyxyx4.累次极限累次极限是以任何方式趋于是以任何方式趋于 这种极限也称为这种极限也称为重重 00(,),xy的的极限极限.下面要考察下面要考察 x 与与 y 依一定的先后顺序依一定的先后顺序,相继趋相继趋 在上面讨论的在上面讨论的00(,)(,)lim(,)x yxyf x y中中,自变量自变量(,)x y0 x于于 与与 时时 f 的极限的极限,这种极限称为这种极限称为累次极限累次极限.0y定义定义 (,

33、),(,),f x yx yDDxy设在轴、轴上的投设在轴、轴上的投000,.(),xyX YyY yy分别是的聚点 若对每一个分别是的聚点 若对每一个,XY影分别为、即影分别为、即|(,),|(,),Xxx yDYyx yD0()lim(,);xxyf x y 0lim(,)xxf x y，它一般与它一般与 y 有关有关,记作记作 存在极限存在极限如果进一步还存在极限如果进一步还存在极限 0lim(),yyLy 累次极限累次极限,记作记作 0()xx0()yy则称此则称此 L 为为 先对先对 后对后对的的(,)f x y00lim lim(,).yy xxLf x y 类似地可以定义类似地可

34、以定义先对先对 y 后对后对 x 的累次极限的累次极限:00lim lim(,).xx yyKf x y 注注 累次极限与重极限是两个不同的概念累次极限与重极限是两个不同的概念,两者之间两者之间没有蕴涵关系没有蕴涵关系.下面三个例子将说明这一点下面三个例子将说明这一点.22(,)xyf x yxy (,)f x y例例17 设设.由例由例 12 知道知道 当当(,)(0,0)x y 0y 时的重极限不存在时的重极限不存在.但当但当时时,有有 220lim0,xxyxy 从而又有从而又有 2200limlim0.yxxyxy 同理可得同理可得 这说明这说明 f 的两个累次极限都存在而且相等的两个

35、累次极限都存在而且相等.2200limlim0.xyxyxy 累次极限分别为累次极限分别为 例例18 设设 ,它关于原点的两个它关于原点的两个 22(,)xyxyf x yxy2220000limlimlimlim(1)1,yxyyxyxyyyyxyy 2220000limlimlimlim(1)1.xyxxxyxyxxxxyx 当沿斜率不同的直线当沿斜率不同的直线,(,)(0,0)ymxx y 时时,有有 22(,)(0,0)1lim,1x yymxxyxymxym 因此该函数的重极限不存在因此该函数的重极限不存在.例例19 设设11(,)sinsinf x yxyyx,它关于原点的两它关于

36、原点的两 个累次极限都不存在个累次极限都不存在.这是因为对任何这是因为对任何 0,y 而而当当0 x 时时,f 的第二项不存在极限的第二项不存在极限.同理同理,f 的第一的第一 项当项当 时也不存在极限时也不存在极限.但但是由于是由于 0y 11sinsin|,xyxyyx(,)(0,0)lim(,)0.x yf x y 故按故按例例11知道知道 时时 f 的重极限存在的重极限存在,且且 (,)(0,0)x y 下述定理告诉我们下述定理告诉我们:重极限与累次极限在一定条件重极限与累次极限在一定条件 下也是有联系的下也是有联系的.定理定理2 若若 f(x,y)的重极限的重极限 与与 00(,)(

37、,)lim(,)x yxyf x y累次极限累次极限 00lim lim(,)xx yyf x y都存在都存在,则两者必定相等则两者必定相等.证证 设设 00(,)(,)lim(,),x yxyf x yA 0,0,0(,)(;)P x yUP 则则使得当使得当时时,有有|(,)|.(1)f x yA 00|(2)xx 的的 x,存在极限存在极限 另由存在累次极限之假设另由存在累次极限之假设,对任一满足不等式对任一满足不等式 0lim(,)().(3)yyf x yx|()|.(4)xA 0yy回到不等式回到不等式(1),让其中让其中,由由(3)可得可得故由故由(2),(4)两式两式,证得证得

38、0lim()xxxA ,即即0000(,)(,)lim lim(,)lim(,).xx yyx yxyf x yf x yA 由这个定理立即导出如下两个便于应用的推论由这个定理立即导出如下两个便于应用的推论.00lim lim(,)xx yyf x y00lim lim(,)yy xxf x y,推论推论1 若重极限若重极限 和累次极限和累次极限 00(,)(,)lim(,)x yxyf x y都存在都存在,则三者必定相等则三者必定相等.推论推论2 若累次极限若累次极限0000lim lim(,)lim lim(,)xx yyyy xxf x yf x y与与都存在但不相等都存在但不相等,则重

39、极限则重极限00(,)(,)lim(,)x yxyf x y必定必定 不存在不存在.请注意请注意:(i)定理定理 6.1.2 保证了在重极限与一个累次保证了在重极限与一个累次 极限都存在时极限都存在时,它们必相等它们必相等.但对另一个累次极限的但对另一个累次极限的 存在性却得不出什么结论存在性却得不出什么结论.(ii)推论推论 1 给出了累次极限次序可交换的一个充分给出了累次极限次序可交换的一个充分条件条件.(iii)推论推论 2 可被用来否定重极限的存在性可被用来否定重极限的存在性(如例如例17).5.多元函数的极限多元函数的极限 利用点函数的形式有利用点函数的形式有n元函数的极限元函数的极

40、限.)(.)(,0,0,0.,)(000时时的的极极限限当当元元函函数数为为则则称称成成立立都都有有的的一一切切点点使使得得对对于于适适合合不不等等式式若若是是常常数数是是其其聚聚点点的的定定义义域域为为元元函函数数设设PPPfnAAPfDPPPAPDPfn .)(lim 0APfPP 记为记为1.连续性定义连续性定义.)()()(lim ,)(0000处连续处连续在在元函数元函数则称则称如果如果是其聚点是其聚点的定义域为的定义域为元函数元函数设设PPfnPfPfPDPfnPP.)(,)(00的间断点的间断点为为则称则称处不连续处不连续在在若若PfPPPf.),(),(),(),(lim 00

41、0000连续连续在在则称则称若若yxyxfzyxfyxfyyxx 四四.多元函数的连续性多元函数的连续性;),(1)00不存在不存在若若yxf;),(lim(2)00不存在不存在或或yxfyyxx).,(),(lim(3)0000yxfyxfyyxx 或或.),(),(00的间断点的间断点是是则则yxfzyx.11sin22上间断上间断在在 yxz122 yx.0 00 )(222222间断间断在在 yxyxyxxyx,yf)0,0(寻找间断点的方法寻找间断点的方法函数无定义的点;极限存在但不等于函数在该点的函数值的点等等.例如：极限不存在的点;与一元函数的情况类似 .的间断点的间断点求函数求

42、函数yxxyz例例20 .1 22的间断点的间断点求函数求函数yxz例例21 例例22 证明),(yxf)0,0(),(,22yxyxyx)0,0(),(,0yx在全平面连续.例例2323 讨论函数讨论函数 0,00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的连续性的连续性 .的间断点的间断点求函数求函数yxxyz由分母不能为零由分母不能为零,的一切点均为函数的间断点的一切点均为函数的间断点.Oxy解解直线直线上上0 yx说明：多元函数间断点情形比较复杂说明：多元函数间断点情形比较复杂,多元函数的间断点可多元函数的间断点可以构成一些直线、曲线、曲面等以构成一些直线、曲线、曲面等,

43、也可以是某些点的集合也可以是某些点的集合.例例20 .1 22的间断点的间断点求函数求函数yxz由分母不能为零由分母不能为零,.,0 22函数无定义函数无定义时时当当 yx解解故点故点为函数的间断点为函数的间断点.)0 ,0(例例21 例例22 证明),(yxf)0,0(),(,22yxyxyx)0,0(),(,0yx在全平面连续.证证:,)0,0(),(处在yx),(yxf为初等函数,故连续.又220yxyxyxyx222222221yxyx2221yx 2200limyxyxyx0)0,0(f故函数在全平面连续.由夹逼准则得例例2323 讨论函数讨论函数 0,00,),(222222yxy

44、xyxxyyxf在在(0,0)的连续性的连续性解解取取kxy 2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，极限不存在极限不存在故函数在故函数在(0,0)处不连续处不连续2.闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在D D上至少取得它的最大值和最小值各一次上至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，如上的多元连续函数，如果在果在D D上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在D D上上取得介于这

45、两值之间的任何值至少一次取得介于这两值之间的任何值至少一次(1)最大值和最小值定理最大值和最小值定理(2)介值定理介值定理(3)多元连续函数的和、差、积、商、复合多元连续函数的和、差、积、商、复合 函数仍为连续函数函数仍为连续函数.(4)多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数 经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数.(5)一切多元初等函数在其定义区域内是连续的一切多元初等函数在其定义区域内是连续的.).()(lim)()()()(l

46、im00000PfPfPPfPfPPfPfPPPP 处连续，于是处连续，于是点点在在的定义域的内点，则的定义域的内点，则是是数，且数，且是初等函是初等函时，如果时，如果一般地，求一般地，求(6)解解)11(11lim00 xyxyxyyx原式原式111lim00 xyyx.21 2210ln()lim.yxyxexy求解解)0,1(f 原式原式.2ln.11lim00yxyxyx例例24 求例例25小结：小结：1.二元函数的所有学习上的知识都可二元函数的所有学习上的知识都可以从一元函数推广而来。我们今天就以从一元函数推广而来。我们今天就可以用这个思想来求解二元函数的可以用这个思想来求解二元函数

47、的值值、定义域定义域、极限极限和判定连续。和判定连续。2.二元函数作为一个新的概念，和以前二元函数作为一个新的概念，和以前的一元函数还是有区别的，比如定义域的一元函数还是有区别的，比如定义域画成图形是一个平面图形，而一元函数画成图形是一个平面图形，而一元函数图形的定义域往往是图形的定义域往往是x轴上的区域。轴上的区域。P63-3:023224200sin()(1)lim(2)lim xyxyxyyx yxy 02sin()=lim2xyxyyxy34222242424232242001()200,(,)(0,0)lim0 xyxyx yx yyyx yxyxyxyx yxy 解：解：32210

48、22000000ln()(3)lim(4)lim()cos(5)lim124(6)limyxyxyxyxyxyxyxexyxyeyxyxyxy 3221000000ln()ln2(3)limln210(4)P57-2.14-3)cos0(5)lim110011(6)lim424yxyxyxyxexyexyxyxy 同同（解：解：P63-5.证明下列极限不存在证明下列极限不存在 2232222600000000(1)lim (2)lim (3)lim(4)lim()xxxxyyyyxyx yxyxyxyx yxyxyxy(1),ykx 令令0000001lim=lim=1xxyy kxxykxxyxkxkxyxkxk2224222242200001,1(2)lim=lim()(1)0,1y kxxxyy kxkx yk xx yxyk xkxk 令令k 值不同极限不同值不同极限不同!所以，所以，(1)在在(0,0)点极限不存在点极限不存在.所以，(2)在(0,0)点极限不存在.332(3)(4),ykxxkyyxyxx 令令或或令令令令再再令令