高等数学(第四版)-上、下册-极限的概念-课件.ppt
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- 高等数学 第四 下册 极限 概念 课件
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1、第二节第二节 极限的概念极限的概念 一、数列的极限一、数列的极限 数列极限是极限概念中最简单、最基本的情形,是函数列极限是极限概念中最简单、最基本的情形,是函数极限的特例,为进一步讨论函数极限应先理解数列极限数极限的特例,为进一步讨论函数极限应先理解数列极限.1.数数列列的的定定义义 在在某某一一对对应应规规则则下下,当当()n n 依依次次 取取1,2,3,n,时时,对对 应应 的的 实实 数数 排排 成成 一一 列列 数数,12,nx xx这这列列数数就就称称为为数数列列,记记为为 nx.数数列列也也可可理理解解为为定定义义域域为为正正整整数数集集*的的函函数数*(),nxf n n 数数
2、列列中中的的第第 n 个个数数nx叫叫做做数数列列的的第第 n 项项或或一一般般项项.例如数列:例如数列:1 111,2 3n 一般项一般项1;nxn 1 2 3,2 3 41nn 一般项一般项1nnxn;2,4,6,8,(1)2,nn 一般项一般项(1)2nnxn 11,1,1,1,(1),n 一般项一般项1(1)nnx;上述各数列,随上述各数列,随 n 逐渐增大,它们有其各自变化趋势逐渐增大,它们有其各自变化趋势.数列数列1n ,当,当 n 无限增大时,一般项无限增大时,一般项1nxn无限接近无限接近于于 0;数列数列1nn,当,当 n 无限增大时,一般项无限增大时,一般项1nnxn无限无
3、限接近于接近于 0;数数列列(1)2nn,当当 n 无无限限增增大大时时,(1)2nxn 也也无无限限增增大大,所所以以(1)2nnxn 不不接接近近于于任任何何确确定定的的常常数数.数数列列1(1)n,当当 n 无无限限增增大大时时,当当 n 为为奇奇数数时时,1(1)1nnx,当当 n 为为偶偶数数时时,1(1)1nnx ,即即nx不不接接近近于于任任何何确确定定的的常常数数.从从以以上上四四个个数数列列观观察察可可知知,nx的的一一般般项项nx的的变变化化趋趋势势有有两两种种情情形形或或无无限限接接近近于于某某个个确确定定常常数数或或不不接接近近于于任任何何确确定定的的常常数数.为为此此
4、可可得得数数列列极极限限的的描描述述性性定定义义如如下下:定义定义 1 如果数列如果数列 nx的项数的项数 n 无限增大时,一般项无限增大时,一般项nx无限接近于某个确定的常数无限接近于某个确定的常数 a,则称,则称 a 是数列是数列 nx的极的极限,此时也称数列限,此时也称数列 nx收敛于收敛于 a,记作,记作limnnxa或或()nxa n.如如,1lim0nn或或10 nn;lim11nnn或或11nnn.定义中“当定义中“当 n 无限增大时,无限增大时,一般项一般项nx无限接近于无限接近于 a”的意思是:当的意思是:当 n 充分大时,充分大时,nx与与 a 可以任意靠近,要多可以任意靠
5、近,要多近就能有多近,也就是说,近就能有多近,也就是说,nxa可以小于任意给的正数,可以小于任意给的正数,只要只要 n 充分地大充分地大.例例 1 作作图图并并讨讨论论数数列列 215 5 9 91,2 3 4 5nnn 的的极极限限.nO12 3 4 5 612nx图图1-22例例 2 作作图图并并讨讨论论数数列列2 4 512,3 3 4nn的的极极限限.nO12 3 4 5 612nx图图1-23从从以以上上两两例例还还可可以以看看出出数数列列无无限限接接近近于于极极限限值值的的方方式式是是多多种种多多样样的的.例例如如数数列列1nn的的极极限限是是从从小小于于 1 逐逐渐渐增增大大无无
6、限限接接近近于于 1.数数列列1nn是是从从大大到到小小无无限限接接近近于于极极限限值值 1;数数列列21nnn 是是在在极极限限值值上上、下下跳跳动动地地无无限限接接近近于于 2.例例 3 并不是任数列都有极限并不是任数列都有极限.(1)数列数列1 23 4,1,2 34 51nnn正负交错,正负交错,当当 n 无限增大时,不接近于任何确定的常数无限增大时,不接近于任何确定的常数.(2)数列数列1,2,3,4,1,nn随随 n 无限增大其绝无限增大其绝对值对值1nn无限增大,也不接近于任何确定的常数无限增大,也不接近于任何确定的常数.对于例对于例 3 中所提到的这些数列,给出下面定义中所提到
7、的这些数列,给出下面定义.定义定义 2 如果数列如果数列 nx的项数的项数 n 无限增大时,它的一无限增大时,它的一般项般项nx不接近于任何确定的常数,称数列不接近于任何确定的常数,称数列 nx没有极限,没有极限,或称数列或称数列 nx发散,记作发散,记作limnnx不存在不存在.当当 n 无限增大时,如果无限增大时,如果nx无限增大,则数列没有极无限增大,则数列没有极限,习惯上也称数列限,习惯上也称数列 nx的极限是无穷大,记作的极限是无穷大,记作limnnx.1lim1nn和和lim1nnn都 不 存 在,后 者 可 记 作都 不 存 在,后 者 可 记 作lim1nnn.为进一步讨论收敛
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