高等数学(第四版)-上、下册-曲面与曲线-课件.ppt

1、第四节第四节 曲面与曲线曲面与曲线 一、一、几种常见的曲面及其方程几种常见的曲面及其方程 1.球面球面 空间一动点到定点的距离为定值，动点的轨迹为空间一动点到定点的距离为定值，动点的轨迹为球球面面，定值叫做，定值叫做半径半径，定点，定点叫叫做做球心球心.球心为球心为0000(,)Mxy z，半径为，半径为 R 的球面方程为的球面方程为 2222000()()()xxyyzzR（此方程曲面两点距离公式易推得）特别地，球心在原（此方程曲面两点距离公式易推得）特别地，球心在原点点(0,0,0)O，半径，半径为为 R 的球面方程为的球面方程为 2222xyzR 例例 1 1 方方程程22242210

2、xyzxyz 表表示示怎怎样样的的曲曲面面？解解 通通过过配配方方，方方程程写写成成 222(2)(1)(1)5xyz 所所以以，它它表表示示从从点点(2,1,1)为为球球心心，半半径径为为5的的球球面面.2.柱面柱面 一动直线一动直线 L 沿曲线沿曲线 C 移动，且始终与定移动，且始终与定直线直线 l 平行，动直线的轨迹称为柱面平行，动直线的轨迹称为柱面,定曲线定曲线 C 称为柱称为柱面的准线，动直线面的准线，动直线 L 称为柱面的母线称为柱面的母线.现在讨论母线平行于现在讨论母线平行于 z 轴，准线是轴，准线是 xOy面上的曲线面上的曲线C：(,)00F x yz 的柱面方程的柱面方程.设

3、设(,)M x y z是是柱柱面面上上任任意意一一点点，过过点点 M 作作与与 z 轴轴平平行行的的直直线线，交交准准线线 C 于于点点1M（图图 7-24）.显显然然，点点1M和和点点M 有有相相同同的的横横坐坐标标及及纵纵坐坐标标，由由于于点点1(,0)M x y在在准准线线 C上上，它它的的坐坐标标满满足足准准线线 C 的的方方程程(,)0F x y，而而方方程程中中不不出出现现z，所所以以点点(,)M x y z，也也满满足足此此方方程程，即即方方程程(,)0F x y 是是母母线线平平行行于于 z 轴轴，准准线线是是 曲曲线线 C 的的柱柱面面方方程程.y图图7-24zxOM(x,y

4、.z)F(x,y)=0DM1(x,y,0)类类似似地地，母母线线与与 x 轴轴平平行行，准准线线 是是yOz面面上上的的曲曲线线 C(,)00G y zx 的的柱柱面面方方程程为为(,)0G y z；母母线线与与 y 轴轴平平行行，准准线线是是zOx面面 上上的的曲曲线线 C(,)00H x zy的的柱柱面面方方程程 为为(,)0H x z.例如，母线与例如，母线与 z 轴平行，准线为轴平行，准线为xOy面上的圆周面上的圆周222xya的的圆柱面圆柱面（图（图 7-25）的方程为）的方程为 222xya 母线与母线与 y 轴平行，准线是轴平行，准线是zOx面的抛物线面的抛物线21zx 的的抛抛

5、物柱面物柱面（图（图 7-26）的方程为）的方程为 21zx zxyOa图图7-25Ozyx图图7-263 3 旋转面旋转面 一条曲线一条曲线 C 绕一定直线绕一定直线 l 旋转所形成的旋转所形成的曲面称为旋转曲面曲面称为旋转曲面.曲线曲线 C 叫做旋转曲面的母线，定直线叫做旋转曲面的母线，定直线l 叫做旋转曲面的轴（简称旋转轴）叫做旋转曲面的轴（简称旋转轴）.现在讨论旋转轴为现在讨论旋转轴为 z 轴，母线是轴，母线是yOz面上的曲线面上的曲线 C：(,)00f y zx的旋转曲面的旋转曲面 S 的方程的方程.设设(,)M x y z是曲面是曲面 S 上任意一点，它是由曲线上任意一点，它是由曲

6、线 C 上上一点一点111(0,)My z旋转而成的（图旋转而成的（图 7-27）.M 和和1M的坐标有的坐标有如下关系如下关系 22211xyyzz 而而11,y z满足方程满足方程(,)0f y z，xyzO图图7-27MM1所所以以(,)M x y z的的坐坐标标满满足足方方程程 22(,)0fxyz 它它就就是是曲曲面面 S 的的方方程程，类类似似地地，旋旋转转轴轴为为 y 轴轴，准准线线仍仍是是曲曲线线 C 的的旋旋转转面面方方程程为为 22(,)0f yxz 用同样的方法，可推得，准线是用同样的方法，可推得，准线是xOy面上的曲线：面上的曲线：(,)00g x yz旋转轴分别是旋转

7、轴分别是 x轴和轴和 y轴的旋转曲面方程分别轴的旋转曲面方程分别是是22(,)0g xyz和和22(,)0gxzy;准线是准线是zOx面面上的曲线：上的曲线：(,)0,0,h x zy旋转轴分别是旋转轴分别是 x 轴和轴和 z 轴的旋转曲轴的旋转曲面方程分别是面方程分别是22(,)0h xyz和和22(,)0hxyz.例例 2 2 将将yOz面上的椭圆面上的椭圆22221yzab分别绕分别绕 z 轴和轴和 y 轴轴旋转，求所形成的旋转曲面方程旋转，求所形成的旋转曲面方程.解解 绕绕 z 轴旋转而形成的旋转曲面（图轴旋转而形成的旋转曲面（图 7-28）方程）方程为为 222221xyzab，即即

8、 2222221xyzaab.绕绕 y 轴旋转而形成的旋转曲面方程为轴旋转而形成的旋转曲面方程为 222221yxzab，即即 2222221xyzbab.yxzaab图图7-28例例 3 3 求求xOy面上的抛物线面上的抛物线22(0)xaya绕绕 x 轴旋转轴旋转所形成的所形成的旋转抛物面旋转抛物面（图（图 7-29）的方程）的方程.解解 旋转抛物面的方程为旋转抛物面的方程为 22()xa yz.例例 4 4 求求yOz面上的直线面上的直线(0)zky k绕绕 z 轴旋转所形轴旋转所形成的成的圆锥面圆锥面（图（图 7-30）的方程）的方程.解解 圆锥面的方程为圆锥面的方程为 22zkxy，

9、即即 2222()zkxy.xyz图图7-29zyxO图图7-30二、二、二次曲面二次曲面 三元二次方程表示的曲面称为三元二次方程表示的曲面称为二次曲面二次曲面.给定一个给定一个三元二次方程，要研究表示的二次曲面的形状和特征，三元二次方程，要研究表示的二次曲面的形状和特征，可采用可采用“截痕法截痕法”,即用平行于坐标面的截面去截曲面，即用平行于坐标面的截面去截曲面，考察它们的交线（叫做截痕）的形状，然后综合分析考察它们的交线（叫做截痕）的形状，然后综合分析.1.1.球面球面 方程方程2222221xyzabc表示的曲面称为表示的曲面称为椭球面椭球面.,a b c叫做叫做椭球面的半轴，椭球面的半

10、轴，原点叫做原点叫做椭球面的中心椭球面的中心.当当abc时，方程变为时，方程变为 2222xyza，它是球心在原点，半径为它是球心在原点，半径为 a 的球面方程的球面方程.1.1.椭球面椭球面椭球面与三个坐标面的交线：椭球面与三个坐标面的交线：222210 xyabz，222210 xzacy，222210yzbcx 分别是三个坐标面上的椭圆分别是三个坐标面上的椭圆.用平行于用平行于xOy的平面的平面()zh hc去截椭球面，交线为去截椭球面，交线为 2222221xyhabczh，它是它是zh的一个椭圆的一个椭圆.当当h由由 0 逐渐增大到逐渐增大到 c 时，椭圆逐渐时，椭圆逐渐变小，最后变

11、成一点，这些椭圆形成了球面变小，最后变成一点，这些椭圆形成了球面.用平行于用平行于yOz的平面的平面()xd da或平行于或平行于zOx的平的平面面()yk kb分别去截椭球面时，也有类似的结果分别去截椭球面时，也有类似的结果.椭球椭球面的形状如图面的形状如图 7-31 所示所示.yxz图图7-31hO2 2.椭椭圆圆抛抛物物面面 方方程程 22(,)22xyz p qpq同号 所所表表示示的的曲曲面面称称为为椭椭圆圆抛抛物物面面.0,0pq时，z0，它它在在xOy面面上上方方，0,00,pqz时，它它在在xOy面面下下方方，原原点点是是椭椭圆圆抛抛物物面面似似的的最最高高或或最最低低点点，称

12、称为为顶顶点点.设设0,0pq，用平行于，用平行于xOy面的平面面的平面(0)zh h去去截椭圆抛物面，交线为截椭圆抛物面，交线为 22122xyphqhzh，它是平面它是平面zh上的一个椭圆上的一个椭圆.当当 h 逐渐由小变大时，椭圆逐渐由小变大时，椭圆也逐渐有小变大，这些椭圆就形成了椭圆抛物面也逐渐有小变大，这些椭圆就形成了椭圆抛物面.椭圆抛物面与椭圆抛物面与yOz面及面及zOx面的交线分别为面的交线分别为 220yqzx ，220 xpzy 旋转它们分别是旋转它们分别是yOz面及面及zOx面的抛物线面的抛物线.用平行于用平行于zOx的平面的平面yk去截椭圆抛物面，交线为去截椭圆抛物面，交

13、线为 222()2kxp zqyk 它是平面它是平面yk上的一条抛物线上的一条抛物线.同样，用平行于同样，用平行于yOz面面xd去截椭圆抛物面，交线也是抛物线的图形，如图去截椭圆抛物面，交线也是抛物线的图形，如图 7-32 和图和图 7-33 所示所示.p0,q0,q0的情形的情形图图7-32yOxz三、曲线三、曲线 1.曲线方程曲线方程 如果曲线如果曲线 的方程是方程组的方程是方程组(,)0,(,)0,F x y zG x y z 此方程组成为此方程组成为曲线曲线 的一般方程的一般方程.如果曲线如果曲线 上任意一点上任意一点(,)M x y z的坐标都用参数的坐标都用参数 t表示，表示，()

14、,(),(),xx tyy tzz t 此方程组称为此方程组称为曲线曲线 的参数方程的参数方程.例例 5 5 方方程程组组22225,3,xyzz 表表示示怎怎样样的的曲曲线线？解解 因为因为22225xyz表示球心在原点，半径为表示球心在原点，半径为5 的球面，方程的球面，方程3z 表示通过点表示通过点(0,0,3)，且与，且与 xOy面平面平行的平面，所以方程组表示球面与平面的交线（图行的平面，所以方程组表示球面与平面的交线（图 7-34）.它是平面它是平面3z 上的圆，圆心为上的圆，圆心为(0,0,3)，半径为，半径为 4.O图图7-34xyz解解 取取时时间间 t 为为参参数数，设设0

15、t 时时动动 点点在在点点(,0,0)A a处处，在在 t 时时刻刻，动动点点在在 点点(,)M x y z处处.过过点点 M 作作xOy面面的的 垂垂线线，则则垂垂足足为为(,0)M x y.由由于于,AOMt MMvt 故故 coscos,xaAOMat sinsin,yaAOMat,zMMvt 所所以以螺螺旋旋线线的的参参数数方方程程为为：cos,sin,.xatyatzvt 例例 6 6 一一动动点点 M 在在圆圆柱柱面面222xya上上以以角角速速度度 绕绕 z 轴轴旋旋转转时时，同同时时又又以以线线速速度度 v 沿沿平平行行于于 z 轴轴的的正正方方向向上上升升，(,)v都是常数，

16、则则点点 M 的的几几何何轨轨迹迹叫叫做做螺螺旋旋线线（7-35），试试建建立立其其参参数数方方程程.xOz图图7-35yMM2空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影 如果一柱面如果一柱面 S 的母线与的母线与 z 轴平行，且以空间曲线轴平行，且以空间曲线 为准为准线，那么称柱面线，那么称柱面 S 是是曲线曲线 于于xOy面的投影柱面面的投影柱面，投影柱面，投影柱面与与xOy面的交线称为面的交线称为曲线曲线 在在xOy面上的投影曲线面上的投影曲线，简称，简称投投影影.设曲线设曲线 的方程为的方程为(,)0,(,)0,F x y zG x y z从两个方程中消去从两个方程中消去 z，得

17、得(,)0H x y，它是母线平行于它是母线平行于 z 轴的柱面，而由上面的做轴的柱面，而由上面的做法知，曲线法知，曲线 上任意一点上任意一点(,)M x y z的坐标满足柱面方程，即的坐标满足柱面方程，即曲线曲线 在柱面上是柱面的准线在柱面上是柱面的准线.所以曲线所以曲线 关于关于xOy面投影柱面投影柱面的方程为面的方程为 (,)0H x y 曲线曲线 在在xOy面上的投影方程为面上的投影方程为(,)00H x yz 类似地，从曲线类似地，从曲线 的方程中消去的方程中消去xy或，得方程，得方程(,)0(,)0R y zP x z和 它们分别是曲线它们分别是曲线 关于关于yOz面和面和zOx面

18、上的投影柱面方程，面上的投影柱面方程，而而(,)0(,)000R y zP x zxy和 分别是曲线分别是曲线 在在yOz面和面和zOx面上的投影方程面上的投影方程.例例 7 7 求求曲曲线线：2222zxyzxy 在在xOy面面上上的的投投影影方方程程.内容小结内容小结1.几种空间曲面方程几种空间曲面方程 球面球面2202020)()()(Rzzyyxx 柱面柱面如如,曲面曲面0),(yxF表示母线平行表示母线平行 z 轴的柱面轴的柱面.又如又如,圆柱面圆柱面,抛物柱面等抛物柱面等.旋转曲面旋转曲面如如,曲线曲线00),(xzyf绕绕 z 轴的旋转曲面轴的旋转曲面:0),(22zyxf内容小结内容小结2.二次曲面二次曲面),(同号qp 椭球面椭球面1222222czbyax 椭圆抛物面椭圆抛物面zqypx22223.曲线曲线 曲线方程曲线方程一般方程一般方程参数方程参数方程 求投影曲线求投影曲线作业作业P35 2,3,4(1),(2),(4),5,7(2),(4),8(2)