高数函数的极限课件.ppt

1、 第二章 二、自变量趋于有限值时函数的极限二、自变量趋于有限值时函数的极限第三节,)(xfy 对0)1(xx 0)2(xx0)3(xxx)4(x)5(x)6(自变量变化过程的六种形式:一、自变量趋于无穷大时函数的极限一、自变量趋于无穷大时函数的极限本节内容本节内容:机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的极限 XXAAoxy)(xfy A一、自变量趋于无穷大时函数的极限一、自变量趋于无穷大时函数的极限定义定义1.设函数xxf当)(大于某一正数时有定义,若,0X,)(,AxfXx有时当则称常数时的极限,Axfx)(lim)()(xAxf当或几何解释几何解释:AxfA)(XxXx或记作直线 y=

2、A 为曲线)(xfy 的水平渐近线,0 xxf当)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 A 为函数两种特殊情况两种特殊情况:Axfx)(lim,0,0X当Xx 时,有 Axf)(Axfx)(lim,0,0X当Xx时,有 Axf)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.证明.01limxx证证:01xx1取,1X,时当Xx 01x因此01limxx注注:就有故,0欲使,01x即,1xoxyxy1机动 目录 上页 下页 返回 结束.10的水平渐近线为xyyx1x11oyxxxgxxf11)(,1)(直线 y=A 仍是曲线 y=f(x)的渐近线.几何意义几何意义:例如，都有水平渐近线;0yxx

3、xgxf21)(,21)(都有水平渐近线.1y又如，oxyx21x21机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、自变量趋于有限值时函数的极限二、自变量趋于有限值时函数的极限1.0 xx 时函数极限的定义时函数极限的定义引例引例.测量正方形面积.面积为A)边长为(真值:;0 x边长面积2x直接观测值间接观测值任给精度 ,要求 Ax2确定直接观测值精度 :0 xx0 xAx机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义1.设函数)(xf在点0 x的某去心邻域内有定义,0,0当00 xx时,有 Axf)(则称常数 A 为函数)(xf当0 xx 时的极限,Axfxx)(lim0或)()(0 xxAxf当即

4、,0,0当),(0 xx时,有若记作 Axf)(Axfxx)(lim0几何解释几何解释:0 x0 xAAAx0 xy)(xfy 极限存在函数局部有界这表明:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.证明)(lim0为常数CCCxx证证:Axf)(CC 0故,0对任意的,0当00 xx时,0CC因此CCxx0lim总有机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.证明1)12(lim1xx证证:Axf)(1)12(x12x欲使,0取,2则当10 x时,必有1)12()(xAxf因此,)(Axf只要,21x1)12(lim1xx机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.证明211lim21xxx

5、证证:Axf)(2112xx21 x故,0取,当10 x时,必有2112xx因此211lim21xxx1 x机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.证明:当00 x证证:Axf)(0 xx 001xxx欲使,0且.0 x而0 x可用0 xx因此,)(Axf只要,00 xxx00limxxxx.lim00 xxxx时00 xxxx故取,min00 xx则当00 xx时,00 xxx保证.必有ox0 xx机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.局部保号性定理局部保号性定理定理定理1.若,)(lim0Axfxx且 A 0,),(0时使当xx.0)(xf)0)(xf证证:已知,)(lim0Axfx

6、x即,0,),(0 x当时,有.)(AxfA当 A 0 时,取正数,A则在对应的邻域上.0)(xf(0)(A则存在(A 0),(0 x),(0 xx),(0 x0 x0 xAAAx0 xy)(xfy)0(机动 目录 上页 下页 返回 结束 AxfA)(:0A:0A若取,2A则在对应的邻域上 若,0)(lim0Axfxx则存在使当时,有.2)(Axf推论推论:23)(2AxfA2)(23AxfA),(0 x,),(0 x),(0 xx0 x0 xAAAx0 xy)(xfy 分析分析:机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 2.若在0 x的某去心邻域内0)(xf)0)(xf,且,)(lim0

7、Axfxx则.0A)0(A证证:用反证法.则由定理 1,0 x的某去心邻域,使在该邻域内,0)(xf与已知所以假设不真,.0A(同样可证0)(xf的情形)思考:若定理 2 中的条件改为,0)(xf是否必有?0A不能不能!0lim20 xx存在如 假设 A 0,条件矛盾,故时,当0)(xf机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.左极限与右极限左极限与右极限左极限:)(0 xfAxfxx)(lim0,0,0当),(00 xxx时,有.)(Axf右极限:)(0 xfAxfxx)(lim0,0,0当),(00 xxx时,有.)(Axf定理定理 3.Axfxx)(lim0Axfxfxxxx)(lim)(

8、lim00机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5.设函数0,10,00,1)(xxxxxxf讨论 0 x时)(xf的极限是否存在.xyo11 xy11 xy解解:利用定理 3.因为)(lim0 xfx)1(lim0 xx1)(lim0 xfx)1(lim0 xx1显然,)0()0(ff所以)(lim0 xfx不存在.机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、三、极限的四则运算法则极限的四则运算法则,)(lim,)(limBxgAxf则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxfBA定理定理 1.若机动 目录 上页 下页 返回 结束 推论推论:若,)(lim,)(limBxgAxf且)

9、,()(xgxf则.BA)()()(xgxfx利用保号性定理证明.说明说明:定理 1 可推广到有限个函数相加、减的情形.提示提示:令机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 2.若,)(lim,)(limBxgAxf则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf说明说明:定理 2 可推广到有限个函数相乘的情形.推论推论 1.)(lim)(limxfCxfC(C 为常数)推论推论 2.nnxfxf)(lim)(lim(n 为正整数)例例1.设 n 次多项式,)(10nnnxaxaaxP试证).()(lim00 xPxPnnxx证证:)(lim0 xPnxx0axaxx0lim1nxx

10、nxa0lim)(0 xPnBA机动 目录 上页 下页 返回 结束(详见详见P44)B2B1)(1xg)(0 xx定理定理 3.若,)(lim,)(limBxgAxf且 B0,则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxfBA机动 目录 上页 下页 返回 结束 x=3 时分母为 0!31lim3xxx例例3.设有分式函数,)()()(xQxPxR其中)(,)(xQxP都是多项式,0)(0 xQ试证:.)()(lim00 xRxRxx证证:)(lim0 xRxx)(lim)(lim00 xQxPxxxx)()(00 xQxP)(0 xR说明说明:若,0)(0 xQ不能直接用商的运算法则.

11、例例4.934lim223xxxx)3)(3()1)(3(lim3xxxxx6231 若机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.求.4532lim21xxxx解解:x=1 时3245lim21xxxx0312415124532lim21xxxx分母=0,分子0,但因机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5.求.125934lim22xxxxx解解:x时,分子.22111125934limxxxxx分子分母同除以,2x则54分母“抓大头抓大头”原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 一般有如下结果：一般有如下结果：为非负常数)nmba,0(00mn 当mmmxaxaxa110limnnnb

12、xbxb110,00ba,0,机动 目录 上页 下页 返回 结束 mn 当mn 当四、四、复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则定理定理4.设,)(lim0axxx且 x 满足100 xx时,)(ax 又,)(limAufau则有)(lim0 xfxxAufau)(lim证证:Aufau)(lim,0,0当au0时,有 Auf)(axxx)(lim0,0,02当200 xx时,有ax)(对上述取,min21则当00 xx时ax)(au 故0Axf)(Auf)(,因此式成立.机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理4.设,)(lim0axxx且 x 满足100 xx时,)(ax 又,)

13、(limAufau则有)(lim0 xfxxAufau)(lim 说明说明:若定理中若定理中,)(lim0 xxx则类似可得)(lim0 xfxxAufu)(lim机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.求求解解:令.93lim23xxx932xxu已知ux3lim61 原式=uu61lim6166机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.求求解解:方法方法 1.11lim1xxx,xu 则,1lim1ux令11112uuxx1 u 原式)1(lim1uu2方法方法 211lim1xxx1)1)(1(lim1xxxx)1(lim1xx2机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、二、两个重要

14、极限两个重要极限 一、函数极限与数列极限的关系一、函数极限与数列极限的关系 及夹逼准则及夹逼准则第五节机动 目录 上页 下页 返回 结束 极限存在准则及两个重要极限 第二章 一、一、函数极限与数列极限的关系及夹逼准则函数极限与数列极限的关系及夹逼准则1.函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系定理定理1.Axfxx)(lim0:nx,0 xxn有定义,),(0nxxnAxfnn)(lim为确定起见,仅讨论的情形.0 xx 有)(nxfxnx机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理1.Axfxx)(lim0:nx)(,0nnxfxx 有定义,)(0nxxn且设,)(lim0Axfxx

15、即,0,0当,00时xx有.)(Axf:nx)(,0nnxfxx 有定义,且,)(0nxxn对上述 ,Nn 时,有,00 xxn于是当Nn 时.)(Axfn故Axfnn)(lim可用反证法证明.(略).)(limAxfnn有证：证：当 xyA,N“”“”0 x机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理1.Axfxx)(lim0:nx)(,0nnxfxx 有定义,)(0nxxn且.)(limAxfnn有说明说明:此定理常用于判断函数极限不存在.法法1 找一个数列:nx,0 xxn,)(0nxxn且不存在.)(limnnxf使法法2 找两个趋于0 x的不同数列nx及,nx使)(limnnxf)(

16、limnnxf)(x)(nx机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.证明xx1sinlim0不存在.证证:取两个趋于 0 的数列nxn21及221nxn有nnx1sinlimnnx1sinlim由定理 1 知xx1sinlim0不存在.),2,1(n02sinlimnn1)2sin(lim2nn机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.函数极限存在的夹逼准则函数极限存在的夹逼准则定理定理2.,),(0时当xxAxhxgxxxx)(lim)(lim00,)()(xhxg)(xfAxfxx)(lim0)0(Xx)(x)(x)(x且(利用定理1及数列的夹逼准则可证)机动 目录 上页 下页 返回 结

17、束 1sincosxxx圆扇形AOB的面积二、二、两个重要极限两个重要极限 1sinlim.10 xxx证证:当即xsin21x21xtan21亦即)0(tansin2xxxx),0(2x时，)0(2 x,1coslim0 xx1sinlim0 xxx显然有AOB 的面积AOD的面积DCBAx1oxxxcos1sin1故有注注注 目录 上页 下页 返回 结束 当20 x时xxcos1cos102sin22x222x22x0)cos1(lim0 xx注注例例2.求.tanlim0 xxx解解:xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0 xxxsinlim0 xxcos1lim01例例3

18、.求.arcsinlim0 xxx解解:令,arcsin xt 则,sintx 因此原式tttsinlim0 1lim0tttsin1机动 目录 上页 下页 返回 结束 nnnRcossinlim2Rn .cos1lim20 xxx解解:原式=2220sin2limxxx212121例例5.已知圆内接正 n 边形面积为证明:.lim2RAnn证证:nnAlimnnnnRnAcossin22R说明说明:计算中注意利用1)()(sinlim0)(xxx20sinlimx2x2x21机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.exxx)1(lim1证证:当0 x时,设,1nxn则xx)1(111)1(n

19、nnn)1(11nnn)1(lim11 limn111)1(nn111ne11)1(limnnn1)1(lim11）（nnnneexxx)1(lim1机动 目录 上页 下页 返回 结束 当x,)1(tx则,t从而有xxx)1(lim1)1(11)1(limttt)1(1)(limtttt11)1(limttt)1()1(lim11tttte故exxx)1(lim1说明说明:此极限也可写为ezzz1)1(lim0时,令机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6.求.)1(lim1xxx解解:令,xt则xxx)1(lim1ttt)1(lim1 1limttt)1(1e1说明说明：若利用,)1(li

20、m)()(1)(exxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 则 原式111)1(limexxxlimx例例7.求.)cos(sinlim11xxxx解解:原式=2)cos(sinlim211xxxx2)sin1(lim2xxx)sin1(2xexx22sin机动 目录 上页 下页 返回 结束 x2sin1的不同数列内容小结内容小结1.函数极限与数列极限关系的应用(1)利用数列极限判别函数极限不存在(2)数列极限存在的夹逼准则法法1 找一个数列:nx,0 xxn)(0nxxn且使)(limnnxf法法2 找两个趋于0 xnx及,nx使)(limnnxf)(limnnxf不存在.函数极限存在的夹逼准则机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.两个重要极限1sinlim)1(0e)11(lim)2(或e1)1(lim0注注:代表相同的表达式机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习填空题填空题 (14);_sinlim.1xxx;_1sinlim.2xxx;_1sinlim.30 xxx;_)11(lim.4nnn0101e第七节 目录 上页 下页 返回 结束