行列式-线代课件.ppt

1、线性代数线性代数 1.1.行列式行列式(G)2.矩阵矩阵(B)3.向量向量(C)4.线性方程组线性方程组(A)5.特征值和特征向量特征值和特征向量(D)6.二次型二次型(E)7.空间空间(数一数一)(F)关于复习：关于复习：1.考试难度应和近两年相当；考试难度应和近两年相当；2.理解理解基本概念、基本概念、掌握掌握基本方法基本方法最重要；最重要；3.注意基本题，不要做太难的题；注意基本题，不要做太难的题；4.平时做题一定要完整，做完后要总结；平时做题一定要完整，做完后要总结；5.用自己熟悉的教材，合理使用习题集；用自己熟悉的教材，合理使用习题集；6.几类重要的命题倾向：带参数、反问题、几类重要

2、的命题倾向：带参数、反问题、应用题、与几何有关的问题。应用题、与几何有关的问题。一一.行列式行列式 考试要求（1）了解行列式的概念，掌握行列式的性质。（2）会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开计算行列式。考点总结 很少考纯行列式计算 与向量和矩阵结合的行列式计算较多 在其它题中有行列式计算概念 1.排列的逆序和逆序数 2.行列式 3.余子式和代数余子式 1.二 阶 行 列 式：1 11 21 12 21 22 12 12 2aaaaaaaa 2 三 阶 行 列 式：1 11 21 32 12 22 33 13 23 31 12 23 31 22 33 11 32 13 21 32 23 1

3、1 22 13 31 12 33 2aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 注意2阶和3阶行列式是用对角线规则展开的但但3阶以上行列式是不能用对角线规阶以上行列式是不能用对角线规则展开则展开排列的逆序:设njjj,21是 1，2，,n 这 n 个数的一个排列,若,sk 但skjj,则 称skjj 与形成一个逆序,一个排列中的所有 逆序的个数称为该排列的逆序数,记为(Nnjjj,21);奇（偶）排列:若(Nnjjj,21)为奇(偶)数,则称排列njjj,21是奇(偶)排列;n阶行列式的定义nnnjjnjjjjNnnnnaaaaaaD1111)(1111)1(含义：1.是!n项代数

4、和；2.每一项均是取自不同行，不同列的 n个元素的乘积；3.每一项前正、负号的确定。下列乘积是不是 4 阶行列式中展开式中的项？如是，项前的带什么符号？32241342a a a a 32241341a a a a 余子式和代数余子式 余子式：D中的元 的余子式 是划去i行及j 列后所剩余的n-1阶行列式；代数余子式：D中的元 的代数余子式ijaijMijjiijMA)1(ija何时用代数余子式？行列式按行（列）展开 伴随矩阵性质 1、对换：对换：每一个对换对换改变排列的奇偶性奇偶性。2、对偶：对偶：行列式与其对偶对偶相等。3、互换：互换：互换互换行列式的两行（列），其值变号。(行列式的两行（

5、列）相同相同，其值为0。)4、成比例：成比例：行列式可按行（列）提取公公因子因子。(行列式的两行（列）成比例成比例，其值为0)。注意以上性质与矩阵初等变换的关系？例：设 A 为 n 阶方阵，B 是 A 经过若干次矩阵 初等变换后所得的矩阵，则有（A）BA（B）BA （C）如0A，则0B（D）如0A，则0B 5.拆行（列）：nssAAAA)2()1(1.)2(1)1(1nsnsAAAAAA 6、消去：nsrAAAA1 nssrAAkAAA1。05 年考题:（数一二四，4 分）设,321均为 3 维向量,记矩阵 32132132132193,42,BA 如果1A,那么B 例:如1321,=m,32

6、21,=n,计算21123,.例:设4阶阵A=（432,），B=（432,），其中432,是4维向量，且1,4BA，计算BA。niniiiiiininiiiiAaAaAaAaAaAaA22112211)(,022112211jiAaAaAaAaAaAanjnijijijninjiji7.按行(列)展开EAAAAA例:计算 n 阶行列式 D=abbbaba.例:nnnnaxaxaxaxaxaa110210000001001 例：设2110120221014321D，证明 043244434241DDDD，并求14131211DDDD。8、AAn，其中 A 是 n 阶方阵；9、BAAB，A、B 是

7、同阶方阵；101*nAA,其中 A 是 n 阶方阵；11An21,其中n,21是 n 阶 方阵 A 的 n 个特征值(含重数)。行列式与矩阵的性质行列式与矩阵的性质例:设 A 为 4 阶方阵,B 为 5 阶方阵,且 2,2BA,则BA ,AB .12、如A、B是m,n阶方阵 则BABCA0BACBAmn)1(013Vandermonde 行列式 1122111111nnnnnnxxxxxxD njiijxx1)(06 年考题：1.（数一二三，4 分）设A2112,且EBBA2,则B 2 2.（数四，4 分）如21,均为二维向量,且),(),2(212121BA 如,6A则B -2 05 年考题

8、:（数一二四，4 分）设,321均为 3 维向量,记矩阵 32132132132193,42,BA 如果1A,那么B 04 年的考题(数一、二，4 分):设100021012A,B 满足 EBAABA2,则B .总结 所涉及的内容(矩阵及行列式)所用的性质、方法及技巧 1.矩阵运算 2.逆与伴随的性质 3.行列式的性质例:计算6217213424435431014327427246 方法 消去例:求行列式 D=naaa21。方法1.定义2.互换行或列例:计算 n 阶行列式 D=abbbaba.方法:按行或列展开1.某行或列中非零项较少2.代数余子式容易计算 求行列式 512312123122x

9、xxxxx 中4x的系数。常见题型 行列式的行（或列）的和相等。行列式的某两行（或列）的差（或和）相等。例:计算 n 阶行列式 D=abbbbabbbbabbbba 例:、11111dcbadcbadcbadcbadcba 例、1111111111111111xxxx 例：方程0321132240)(ttttf 的解为：。利用 Vandermonde 行列式 例：方程027819413211111)(32xxxxf 的解是 。例：设17131213353111)(85222xxxxxxxf 证明存在数（10 ，使得0)(f 行列式计算要注意 三阶以上行列式不能用对角线法 注意行列式的形状 目标:利用性质化成常见的行列式,如:(拟)对角,(拟)上下三角,Vandermonde行列式等.方法：消去，行（列）相加，分解，展开，递推，分块。注意 最基本是三阶以下行列式的计算，最基本是三阶以下行列式的计算，记得一些常见（考）的行列式。记得一些常见（考）的行列式。行列式与方阵的秩，逆矩阵，向量行列式与方阵的秩，逆矩阵，向量组的线性无关性，线性方程组，特组的线性无关性，线性方程组，特征值，二次型的正定性等有关征值，二次型的正定性等有关.（可（可记一些常见的行列式结果。）记一些常见的行列式结果。）别做太难的或技巧太强的行列式计别做太难的或技巧太强的行列式计算题算题。