2020 中考数学复习解析：11相似三角形的判定与性质.docx

1、 相似三角形的判定与性质（1） 一、相似的有关概念 1相似形 具有相同形状的图形叫做相似形相似形仅是形状相同，大小不一定相同相似图 形之间的互相变换称为相似变换 2相似图形的特性 两个相似图形的对应边成比例，对应角相等 3相似比 两个相似图形的对应角相等，对应边成比例 二、相似三角形的概念 1相似三角形的定义 对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形 如图，ABC与A B C 相似，记作ABCA B C ，符号读作“相似于” A BCCB A 2相似比 相似三角形对应边的比叫做相似比全等三角形的相似比是 1 “全等三角形”一定是 “相似形” ， “相似形”不一定是“全等形” 三、相似三角

2、形的性质 1相似三角形的对应角相等 如图，ABC与A B C 相似，则有AABBCC ， A BCCB A 2相似三角形的对应边成比例 如图，ABC与A B C 相似，则有 ABBCAC k A BB CA C （k为相似比） A BCCB A 3相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比 如图 1，ABC与A B C 相似，AM是ABC中BC边上的中线，A M是A B C 中B C 边上的中线，则有 ABBCACAM k A BB CA CA M （k为相似比） M M A BC CB A 图 1 如图 2，ABC与A B C 相似，AH是ABC中BC边上的高线，A

3、H是A B C 中 B C 边上的高线，则有 ABBCACAH k A BB CA CA H （k为相似比） H H A BCC B A 图 2 如图 3，ABC与A B C 相似，AD是ABC中BAC的角平分线，A D 是A B C 中B A C 的角平分线，则有 ABBCACAD k A BB CA CA D （k为相似比） D D A B CCB A 图 3 4相似三角形周长的比等于相似比 如图 4，ABC与A B C 相似，则有 ABBCAC k A BB CA C （k为相似比） 应用比 例的等比性质有 ABBCACABBCAC k A BB CA CA BB CA C A BCCB

4、 A 图 4 5相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图 5，ABC与A B C 相似，AH是ABC中BC边上的高线，AH是A B C 中 B C 边上的高线，则有 ABBCACAH k A BB CA CA H （k为相似比） 进而可得 2 1 2 1 2 ABC A B C BC AH SBCAH k SB CA H B CA H H H A BCC B A 图 5 四、相似三角形的判定 1平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与 原三角形相似 2如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相 似可简单说成：两角对应相等，两个三角形

5、相似 3如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这 两个三角形相似 4如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相 似可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似 5如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边 对应成比例，那么这两个直角三角形相似 6直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明） 7如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个 等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似 五、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、

6、复合式 证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法” 1横向定型法 欲证 ABBC BEBF ，横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB和BC，三个字母 ABC， ，恰为ABC的顶点；分母的两条线段是BE和BF，三个字母BEF， ，恰为 BEF的三个顶点因此只需证ABCEBF 2纵向定型法 欲证 ABDE BCEF ，纵向观察，比例式左边的比AB和BC中的三个字母ABC， ，恰为 ABC的顶点； 右边的比两条线段是DE和EF中的三个字母DEF， ，恰为DEF的 三个顶点因此只需证ABCDEF 3中间比法 由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况， 此时可考虑运用 等线，等比

7、或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形这种方法就是 等量代换法在证明比例式时，常用到中间比 比例中项式的证明， 通常涉及到与公共边有关的相似问题。 这类问题的典型模型是射影 定理模型，模型的特征和结论要熟练掌握和透彻理解 倒数式的证明，往往需要先进行变形，将等式的一边化为 1，另一边化为几个比值和的 形式，然后对比值进行等量代换，进而证明之 复合式的证明比较复杂通常需要进行等线代换（对线段进行等量代换） ，等比代换， 等积代换，将复合式转化为基本的比例式或等积式，然后进行证明 六、相似证明中常见辅助线的作法 在相似的证明中， 常见的辅助线的作法是做平行线构造成比例线段或相似三角形

8、， 同时 再结合等量代换得到要证明的结论常见的等量代换包括等线代换、等比代换、等积代 换等 如图：AD平分BAC交BC于D，求证： BDAB DCAC 321 E DC A B 证法一：过C作CEAD，交BA的延长线于E 1E ，23 12 ，3E ACAE ADCE， BDBABA DCBEAC 点评：做平行线构造成比例线段，利用了“A”型图的基本模型 B A CD E 1 2 证法二；过B作AC的平行线，交AD的延长线于E 12E ，ABBE BEAC， BDBEAB DCACAC 点评：做平行线构造成比例线段，利用了“X”型图的基本模型 七、相似证明中的面积法 面积法主要是将面积的比，和

9、线段的比进行相互转化来解决问题 常用的面积法基本模型如下： 图1：“山字”型 HDC B A 如图： 1 2 1 2 ABC ACD BC AH SBC SCD CD AH 图2：“田字”型 GH O D C B A 如图： 1 2 1 2 ABC BCD BC AH SAHAO SDGOD BC DG 图3：“燕尾”型 C D E B A 如图： ABDABDAED ACEAEDACE SSSABADAB AD SSSAEACAE AC 八、相似证明中的基本模型 I HG FE DCB A G F ED C B A E D CB A ED C B A EF DC BA F E DC BA O DC B A O DC BA H E D CB A E DCB A E DCB A O D C B A DC BDBA C A E D CB A DCB A G F E D C B A G F E D C B A G F E D CB A D E FC B A H P M N F E D C B A G H G F E D C B A E F D C B A F E D CB A