2020 中考数学复习解析：9一线三等角（二）.doc

1、 第九讲：第九讲：一线三等角（二）一线三等角（二） 教师：教师：_ _ 学生：学生：_ _ 上课时间：上课时间：_ 例例 1：数学课堂上，徐老师出示了一道试题：如图所示，在正三角形 ABC 中，M 是 BC 边（不含端点 B，C） 上任意一点，P 是 BC 延长线上一点，N 是ACP 的平分线上一点，若AMN=60，求证：AM=MN。 （1） 经过思考，小明展示了一种正确的证明过程，请你将证明过程补充完整。 证明：在 AB 上截取 EA=MC，连结 EM，得AEM。 1=180-AMB-AMN，2=180-AMB -B，AMN=B=60， 1=2. 又CN、平分ACP，4=1/2ACP=60。

2、MCN=3+4=120。 又BA=BC，EA=MC，BA-EA=BC-MC，即 BE=BM。 BEM 为等边三角形，6=60。5=10-6=120。 由得MCN=5.在AEM 和MCN 中，_, _,_,AEMMCN（ASA）。AM=MN. (2)若将试题中的“正三角形 ABC”改为“正方形 A1B1C1D1”(如图)，N1是 D1C1P1的平分线上一点，则当A1M1N1=90时，结论 A1M1=M1N1是否还成立？ （直接给出答案，不需要证明） （3）若将题中的“正三角形 ABC”改为“正多边形 AnBnCnDnXn”，请你猜想： 当AnMnNn=_ 时，结论 AnMn=MnNn仍然成立？（

3、直接写出答案，不需要证明） 例例 2： 如图 1， 在边长为 5 的正方形ABCD中， 点E、F分别是BC、DC边上的点， 且AEEF，2BE . （1）求ECCF的值；（2）延长EF交正方形外角平分线CPP于点，试判断AEEP与的大小关系， 并说明理由；（3）在图 2 的AB边上是否存在一点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给 予证明；若不存在，请说明理由 秒杀秘籍：秒杀秘籍：一线三等角与全等一线三等角与全等 （一）等边三角形的一条边 BC 上构造一个 60的角APE；ACB 外角平分线与APE 相交于 F； APE 的两条边相等，即 AP=PF。 （二）正方形的一条边 BC 上

4、构造一个 90的角APE； DCB 外角平分线APE 相交于 F； APE 的两条边相等，即 AP=PF。 这里都是知二定一（知道两个条件推出第三个条件），这里都是知二定一（知道两个条件推出第三个条件），证明的关键是证明的关键是AGPPCF E B C E D A F P A D B C F 例例 3： 如图， 在梯形 ABCD 中， A90 ， B120 ， AD 3， AB6 在 底边 AB 上取点 E，在射线 DC 上取点 F，使得 DEF120 (1)当点 E 是 AB 的中点时，DF ； (2)若射线 EF 经过点 C，则 AE 例例 4：在直角ABC中， 4 3 tan, 5,90

5、BABC o ，点 D 是 BC 的中点，点 E 是 AB 边上的动点， DEDF 交射线 AC 于点 F（1）、求 AC 和 BC 的长（2）、当BCEF/时，求 BE 的长。（3）、连结 EF,当DEF和ABC相似时，求 BE 的长。 例例 5.：在矩形 ABCD 中，点 P 在 AD 上，AB=2，AP=1，将三角板的直角顶点放在点 P 处，三角板的两直角 边分别能与 AB、BC 边相交于点 E、F，连接 EF（1）如图，当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合， 求此时PC的长；（2）将三角板从（1）中的位置开始，绕点 P 顺时针旋转，当点 E与点A 重合时停止， 在这个过程中，请你观察

6、、探究并解答： PEF 的大小是否发生变化？请说明理由； 直接写出从 开始到停止，线段 EF 的中点所经过的路线长 秒杀秘籍：秒杀秘籍：一线二等角构造成一线三等角一线二等角构造成一线三等角 1.由一个不等腰梯形构造成等腰梯形，实现一线三等角； 2.凡遇到一个直角三角形的一条直角边上有直角时，需要作垂线构造一线三等角； F D C B A E P D C(F) A B(E) F P D C A B E 1.已知 D、E、F 分别为等腰 ABC 边 BC、CA、AB 上的点，如果 AB=AC，BD=2，CD=3，CE=4，AE= ， FDE=B，那么 AF 的长为（ ） A 5.5 B 4.5 C

7、 4 D 3.5 第 1 题 第 2 题 第 3 题 第 4 题 2.如图，已知：在边长为 12 的正方形 ABCD 中，有一个小正方形 EFGH，其中 E、F、G 分别在 AB、BC、 FD 上若 BF=3，则 BE 长为（ ） A 1 B 2.5 C 2.25 D 1.5 3.如图， Rt ABC 中， B=90 ， AD 平分BAC， DEAD 交 AC 于点 E， EFBC 于点 F， 若 AB=4， BD=2， 则 CE 的长为（ ） A 2 B C D 4. ABC 中，ACB=90 ，将 ABC 按如图的位置放在直角坐标系中，若点 A 的坐标为（0，2），点 C 的 坐标为（1，

8、0），点 B 的横坐标为 4，则点 B 的纵坐标为（ ） A 1 B 1.2 C 1.5 D 1.8 5.如图，在正方形 ABCD 中，E 是 CD 的中点，点 F 在 BC 上，且 FC= BC图中相似三角形共有（ ） A 1 对 B 2 对 C 3 对 D 4 对 第 5 题 第 6 题 第 7 题 第 8 题 6直线 l1l2l3，且 l1与 l2的距离为 1，l2与 l3的距离为 3，把一块含有 45 角的直角三角形如图放置， 顶点 A，B，C 恰好分别落在三条直线上，AC 与直线 l2交于点 D，则线段 BD 的长度为（ ） A B C D 7 如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，

9、A=90 ，AB=7cm，AD=2cm，BC=3cm，动点 P 从点 A 出发沿着线 段 AB 方向以 1cm/s 的速度向点 B 运动，到达点 B 运动结束，设点 P 的运动时间为 t 秒，若以 P、A、D 为 顶点的三角形与以 P、B、C 为顶点的三角形相似，则 t 的值不可能是（ ） A 1 B 6 C D 8 如图， 在直角梯形 ABCD 中， ADBC， B=90 ， E 为 AB 上一点， 且 DE 平分ADC， CE 平分BCD， 则下列结论中正确的有（ ） DEEC；ADE=BEC；ADBC=BEAE；CD=AD+BC A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 9.如图，

10、在 Rt ABC 中，C=90 ，ADDE，DE=BE，若 AC=6，BC=9 时，则 CD= 10.如图，矩形 ABCD 中，点 E 在边 BC 上，EFAE 交 AD 于点 F，若 AB=2，BC=8，BE=5，则 FD 的长 度为 11.如图，在 Rt ABC 中，C=90 ，AD 是CAB 的平分线交 BC 于点 D，过点 D 作 DEAD 交 AB 于点 E， 过点 E 作 EFBC， EGED， 交 BC 分别为点 F， G， 过点 G 作 GHEG 交 AB 于点 H， 过点 H 作 HIBC， HJGH，交 BC 分别为点 I，J，若三角形 ACD 与三角形 DEF 的面积分别

11、为 2 和 1，则三角形 GHJ 的面积 = E D B C A 第 9 题 第 10 题 第 11 题 第 12 题 12.如图，在 Rt ABC 中，90ACB，60A ，AC=2，D 是 AB 边上一个动点（不与点 A、B 重合）， E 是 BC 边上一点，且30CDE设 AD=x， BE=y，则 y 与 x 的函数关系是 13.如图，E 是矩形 ABCD 的边 BC 上一点，EFAE，EF 分别交 AC，CD 于点 M，F，BGAC，垂足为 C， BG 交 AE 于点 H（1）求证： ABEECF；（2）找出与 ABH 相似的三角形，并证明；（3）若 E 是 BC 中点，BC=2AB，

12、AB=2，求 EM 的长 14.如图，在 Rt ABC 中，C=90 ，AB=10，AC=6，点 D 是 BC 的中点，点 E 是 AB 边上的动点，DFDE 交边 AC 于点 F（1）求 BC 的长；（2）设 FC=x，BE=y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范 围；（3）联结 EF，当 DEF 和 ABC 相似时，求 BE 的长 15.如图（1），已知正方形 ABCD 在直线 MN 的上方，BC 在直线 MN 上，E 是 BC 上一点，以 AE 为边在直 线 MN 的上方作正方形 AEFG （1）连接 GD，求证：ADGABE； （2）连接 FC，观察并猜测FCN 的度

13、数，并说明理由； 16.如图，在梯形 ABCD 中，已知 ADBC，B=90 ，AB=7，AD=9，BC=12，在线段 BC 上任取一点 E， 连接 DE，作 EFDE，交直线 AB 于点 F （1）若点 F 与 B 重合，求 CE 的长；（2）若点 F 在线段 AB 上，且 AF=CE，求 CE 的长 17.如图， ABC 为等边三角形，D 为 BC 边上一点，以 AD 为边作ADE=60 ，DE 与 ABC 的外角平分 线 CE 交于点 E（1）求证：BAD=FDE；（2）设 DE 与 AC 相交于点 G，连接 AE，若 AB=6，AE=5 时，求线段 AG 的长 18.如图，正方形 AB

14、CD 的边长为 1，AB 边上有一动点 P，连接 PD，线段 PD 绕点 P 顺时针旋转 90 后，得 到线段 PE，且 PE 交 BC 于 F，连接 DF，过点 E 作 EQAB 的延长线于点 Q （1）求线段 PQ 的长；（2）问：点 P 在何处时， PFDBFP，并说明理由 N M B E C D F G A x O E B A y C F x O E B A y C F x O E B A y C F 19. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 AOBC 在第一象限内，E 是边 OB 上的动点（不包括端点），作AEF = 90，使 EF 交矩形的外角平分线 BF 于点 F，设 C（m，n）

15、 （1）若 m = n 时，如图，求证：EF = AE； （2）若 mn 时，如图，试问边 OB 上是否还存在点 E，使得 EF = AE？若存在，请求出点 E 的坐标；若不 存在，请说明理由 （3）若 m = tn（t1）时，试 探究点 E 在边 OB 的何处时， 使得 EF =（t + 1）AE 成立？ 并求出点 E 的坐标 20.数学课上，张老师出示了问题：如图 1，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是边 BC 的中点90AEF， 且 EF 交正方形外角DCG的平行线 CF 于点 F，求证：AE=EF 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取 AB 的中点 M，连接 ME，则 AM=

16、EC，易证 AMEECF，所以AEEF 在此基础上，同学们作了进一步的研究： （1）小颖提出：如图 2，如果把“点 E 是边 BC 的中点”改为“点 E 是边 BC 上（除 B，C 外）的任意 一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明 过程；如果不正确，请说明理由； （2） 小华提出： 如图 3， 点 E 是 BC 的延长线上 （除 C 点外） 的任意一点， 其他条件不变， 结论 “AE=EF” 仍然成立你认为小华的 观点正确吗？如果正确， 写出证明过程；如果不正 确，请说明理由 A D F C G E B 图 1 A D F C G E B 图 2 A D F C G E B 图 3 参考答案参考答案 18 CDBCC ADD 9. 4 10. 5 11 11. 8 3 12. 5 16 13.2 3 2 14.BC8 0X6 9 40 2 5 或 15.45 16.（1）CE=3 （2）CE=5 17.AG= 6 25 18.（1）PQ=1 （2）中点）中点