非线性-元法-几何非线性-课件.ppt
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- 非线性 几何 课件
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1、第六章第六章 非线性有限元法(几何非线性)非线性有限元法(几何非线性)1、变形体的运动描述x3x1x2P0t0=0tn+1=tn+tn tn PnPn+1A0An+1 An 变形体上的质点的运动状态变形体上的质点的运动状态可以随不同的坐标选取以下几可以随不同的坐标选取以下几种描述方法:种描述方法:1 1、全拉格朗日列式法全拉格朗日列式法(T.LT.L列式列式法法Total Lagrangian Formulation)Total Lagrangian Formulation):选取选取t t0 0=0=0时刻未变形物体的构时刻未变形物体的构形形A A0 0作为参照构形进行分析。作为参照构形进行
2、分析。2 2、修正拉格朗日列式法修正拉格朗日列式法(U.LU.L列式法列式法Updated Lagrangian FormulationUpdated Lagrangian Formulation):选取选取t tn n时刻的物体构形时刻的物体构形A An n作为参照构形。由于作为参照构形。由于A An n随计算而变化,因随计算而变化,因此其构形和坐标值也是变化的,即与此其构形和坐标值也是变化的,即与t t有关。有关。t tn n为非线性增量求解时增为非线性增量求解时增量步的开始时刻。量步的开始时刻。3 3、欧拉描述法欧拉描述法(Eulerian Formulation)(Eulerian F
3、ormulation):独立变量是质点当前时刻的位置独立变量是质点当前时刻的位置x xn+1n+1与时间与时间t tn+1n+1。几何非线性的有限元方程一几何非线性的有限元方程一般采用般采用T.LT.L或或U.LU.L列式法建立!列式法建立!、变形梯度张量x3x1x2PPP P初始初始/未变形未变形 变形后变形后 位移位移u u x x x x 1 1、首先采用、首先采用LagrangianLagrangian方法,方法,将一个物体的加载过程划分为将一个物体的加载过程划分为一系列平衡状态。一系列平衡状态。iiiuxx位移方程位移方程 初始状态与变形后状态之间坐初始状态与变形后状态之间坐标关系为
4、:标关系为:2 2、然后,考虑材料方向矢量,这个矢量、然后,考虑材料方向矢量,这个矢量描述物体内一段无限小的单元。描述物体内一段无限小的单元。jijjjiixdFxdxxdxx3x1x2 ixPiidxxPiixdxQ ixP式中,式中,F Fij ij称为变形梯度张量。称为变形梯度张量。jiijxxF初始状态与变形后状态之间材料方向矢量初始状态与变形后状态之间材料方向矢量的关系:的关系:、变形梯度张量jijijiijxuxxxxFjjiiijijFFFFI212由位移方程,得:由位移方程,得:jiijijxuFijijiiFFI1由二阶张量特性,变形梯度张量由二阶张量特性,变形梯度张量的三个
5、不变量为:的三个不变量为:VJdVdFdVij detJFIij det3 由于由于F Fij ij表示从初始状态到变表示从初始状态到变形后状态的一个映射,其逆映射形后状态的一个映射,其逆映射Fij-1一定存在,即:一定存在,即:AdFJNdAnijij1或写为:或写为:体积映射体积映射:面积映射:面积映射:变形前面积变形前面积dA dA Ni(初始面积法向矢量初始面积法向矢量)变形后面积变形后面积dAdAni(变形后面积法向矢量变形后面积法向矢量)映射映射F Fij ij逆映射逆映射F F-1-1ij ijF Fij ij是一个二阶张量。是一个二阶张量。jiijjiijxuxxF1、应变与变
6、形测度 由于变形梯度张量由于变形梯度张量F Fij ij中包含了刚体运动,因此不能直接用于定中包含了刚体运动,因此不能直接用于定义应变测度。而材料方向矢量则不包含刚体运动,因此它的平方值义应变测度。而材料方向矢量则不包含刚体运动,因此它的平方值可以作为衡量从某一状态到变形后状态的一个测度,定义为:可以作为衡量从某一状态到变形后状态的一个测度,定义为:iixdxdsd2初始状态初始状态:一个应变测度应该能反映出材料一段一个应变测度应该能反映出材料一段长度发生的改变。因此,应变张量可以由长度发生的改变。因此,应变张量可以由下式定义:下式定义:iiiixdxddxdxsdds22x3x1x2 ixP
7、iidxxPiixdxQ ixPiidxdxds2变形后状态:变形后状态:提醒:提醒:由于由于GreenGreen应变张量表达式中的变形梯度张量对应于初始状应变张量表达式中的变形梯度张量对应于初始状 态,因此该应变张量也应在初始状态下计算。态,因此该应变张量也应在初始状态下计算。、应变与变形测度、AlmanshiAlmanshi应变张量应变张量1 1、Green Green 应变张量应变张量GreenGreen应变张量采用应变张量采用LagrangianLagrangian运运动描述方法,即按初始状态下的动描述方法,即按初始状态下的构形定义应变张量。构形定义应变张量。iiijiiijkjkii
8、ijkjkiiiiiixdxdexdxdFFxdxdxdFFxdxdxddxdxsdds222ijkjkiijFFe21式中,式中,e eij ij称为称为GreenGreen应变张量应变张量或或Green-LagrangianGreen-Lagrangian应变张量应变张量。AlmanshiAlmanshi应变张量采用应变张量采用EularEular运动运动描述方法,即按当前状态下的构描述方法,即按当前状态下的构形定义应变张量。形定义应变张量。iiijiikjkiijjkjkiiiiiiiidxdxEdxdxFFdxFFdxdxdxxdxddxdxsdds21111221121kjkiiji
9、jFFE式中,式中,E Eij ij称为称为AlmanshiAlmanshi应变张量应变张量或或Almanshi Almanshi EularEular应变张量应变张量。由于大变形问题有由于大变形问题有限元方程主要采用限元方程主要采用T.LT.L列式法列式法或或U.LU.L列式列式法法建立,因此应在初建立,因此应在初始状态下定义应变张始状态下定义应变张量,即采用量,即采用GreenGreen应应变张量。变张量。可以证明可以证明GreenGreen应变张量和应变张量和AlmanshiAlmanshi应变张量都是二阶对称张量。应变张量都是二阶对称张量。、应变与变形测度2 2、Green Green
10、 Lagrangian Lagrangian应变张量应变张量e eij ij与小应变张量与小应变张量ij ij的关系的关系 将变形梯度张量表达式代入到将变形梯度张量表达式代入到GreenGreen应变张量公式中,得:应变张量公式中,得:ijijjkikijjiijjkikijjiijijjkkjikkiijxuxuxuxuxuxuxuxuxuxue21212121ijjiijxuxu21式中:式中:为小变形应变张量;为小变形应变张量;kjkiijFFCjkikijxuxu212 2、GreenGreen变形张量也可写为:变形张量也可写为:为非线性二次项为非线性二次项1 1、GreenGreen
11、应变张量应变张量为小应变张量与一个非线性二为小应变张量与一个非线性二次项之和,这意味所有大变形次项之和,这意味所有大变形分析都是非线性的。分析都是非线性的。ijijijCe21ijijije式中,式中,C Cij ij是是CauchyCauchy变形张量变形张量由于由于CauchyCauchy变形张量是正定对称变形张量是正定对称阵,因此该张量有三个实特征值;阵,因此该张量有三个实特征值;这些特征值的平方根记为材料的这些特征值的平方根记为材料的主轴拉伸。主轴拉伸。、大变形的应力测度1 1、柯西应力张量、柯西应力张量(Cauchys stress(Cauchys stress tensor)ten
12、sor)取三维空间笛卡儿坐标系,在取三维空间笛卡儿坐标系,在t t时刻时刻的现时构形中截取一个四面体素,斜面的现时构形中截取一个四面体素,斜面的法线为的法线为n n,另外三个面元与所取坐标,另外三个面元与所取坐标面平行。由四面体素的平衡条件得出其面平行。由四面体素的平衡条件得出其上的应力为:上的应力为:jijinn niin3x2x1x这里这里ij=ji便是便是柯西应力张量柯西应力张量,它是二阶对称张量。,它是二阶对称张量。、柯西、柯西(Cauchy)(Cauchy)应力张量是一种采用欧拉描述法应力张量是一种采用欧拉描述法(是以质点的瞬时是以质点的瞬时坐标坐标x xk k和时间和时间t t作为
13、自变量描述作为自变量描述)定义在定义在t t时刻的现时构形上的应力张时刻的现时构形上的应力张量量ij ij,又称,又称欧拉应力张量欧拉应力张量。、在大变形、在大变形(有限变形有限变形)情况下,由于变形前的初始构形和变形后情况下,由于变形前的初始构形和变形后的现时构形差别较大,柯西的现时构形差别较大,柯西(Cauchy)(Cauchy)应力张量难于适应。应力张量难于适应。柯西应力是定义在现柯西应力是定义在现时构形(变形后状态时构形(变形后状态下)的单位面积上的下)的单位面积上的力,是与变形相关的力,是与变形相关的真实应力。真实应力。3、大变形的应力测度2 2、一阶、一阶Piola-Kirchof
14、fPiola-Kirchoff应力张量应力张量 一阶一阶Piola-KirchoffPiola-Kirchoff应力张量的定义是建立在总应力张量的定义是建立在总力相等的基础上。即:在参考状态下该应力张量力相等的基础上。即:在参考状态下该应力张量能给出与变形后状态下柯西应力张量相同的力。能给出与变形后状态下柯西应力张量相同的力。变形后状态下:变形后状态下:dAndPjiji称为一阶称为一阶Piola-KirchoffPiola-Kirchoff应力张量应力张量或或名义应力名义应力参考后状态下:参考后状态下:AdNTdPjiji变形前面积变形前面积dA dA Ni(参考面积法向矢量参考面积法向矢量
15、)变形后面积变形后面积dAdAni(变形后面积法向矢量变形后面积法向矢量)AdFJNdAnijij1将面积映射关系:将面积映射关系:代入上式,得:代入上式,得:1jkikijJFTAdNTdAnjijjijAdNTAdFJNjijkjkij1同样,柯西应力张量也可以由一同样,柯西应力张量也可以由一阶阶Piola-KirchoffPiola-Kirchoff应力张量表示:应力张量表示:ikjkijTFJ1 从该式可以看出,一阶从该式可以看出,一阶Piola-KirchoffPiola-Kirchoff应力应力张量张量提供了以参考状态表示实际力的形式。但提供了以参考状态表示实际力的形式。但是,直接
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