2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）理科数学.pdf

1、12022 年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）理科数学理科数学注意事项：注意事项：1 1答卷前答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号准考证号、考场号考场号、座位号座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。科目，在规定的位置贴好条形码。2 2回答选择题时回答选择题时，选出每小题答案后选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如

2、需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分。在每小题给出的四个选分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。项中，只有一项是符合题目要求的。1若13iz ，则1zzz（）A13i B13i C13i33D13i332某社区通过公益讲座以

3、普及社区居民的垃圾分类知识为了解讲座效果，随机抽取 10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这 10 位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则（）A讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差3 设全集 2,1,0,1,2,3U ，集合2 1,2,430ABx xx，则()UAB（）A1,3B0,3C 2,1D 2,024如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为 1，则该多面体的体积为（）A

4、8B12C16D205函数33cosxxyx在区间,2 2的图像大致为（）ABCD6当1x 时，函数()lnbf xaxx取得最大值2，则(2)f（）A1B12C12D17在长方体1111ABCDABC D中，已知1B D与平面ABCD和平面11AAB B所成的角均为30，则（）A2ABADBAB 与平面11ABC D所成的角为30C1ACCBD1B D与平面11BBC C所成的角为458沈括的梦溪笔谈是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB是以 O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是的 AB 中点，D 在AB上，CDAB“会圆术”给出AB的弧长的近似值 s 的

5、计算公式：2CDsABOA 当2,60OAAOB时，3s（）A11 3 32B11 4 32C93 32D94 329 甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙若=2SS甲乙，则=VV甲乙（）A5B2 2C10D5 10410椭圆2222:1(0)xyCabab的左顶点为 A，点 P，Q 均在 C 上，且关于 y 轴对称若直线,AP AQ的斜率之积为14，则 C 的离心率为（）A32B22C12D1311设函数()sin3f xx在区间(0,)恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（）A5 13,3 6B5 19,3 6C13 8,

6、6 3D13 19,6612已知3111,cos,4sin3244abc，则（）AcbaBbacCabcDacb二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。13设向量a，b的夹角的余弦值为13，且|1,|3ab，则(2)abb_14 若 双 曲 线2221(0)xymm的 渐 近 线 与 圆22430 xyy相 切，则m _15从正方体的 8 个顶点中任选 4 个，则这 4 个点在同一个平面的概率为_416已知ABC中，点 D 在边 BC 上，120,2,2ADBADCDBD当ACAB取得最小值时，BD _三三、解答题解答题：共共 70

7、分分解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤第第 1721题为必考题题为必考题，每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答第第 22、23 题为选考题题为选考题，考生根据要求考生根据要求作答。作答。（一）必考题：共 60 分17（12 分）记nS为数列 na的前 n 项和已知221nnSnan（1）证明：na是等差数列；（2）若479,a a a成等比数列，求nS的最小值18（12 分）在四棱锥PABCD中，PD 底面,1,2,3ABCD CDAB ADDCCBABDP（1）证明：BDPA；（2）求 PD 与平面PAB所成的角的正弦值19（12 分）甲、乙两

8、个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得 10 分，负方得 0 分，没有平局三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为 0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立（1）求甲学校获得冠军的概率；（2）用 X 表示乙学校的总得分，求 X 的分布列与期望20（12 分）设抛物线2:2(0)C ypx p的焦点为 F，点,0D p，过 F 的直线交 C 于 M，N 两点当直线 MD 垂直于 x 轴时，3MF（1）求 C 的方程；（2）设直线,MD ND与 C 的另一个交点分别为 A，B，记直线,MN AB的倾斜角分别为,当取得最大值时，求直线 A

9、B 的方程21（12 分）已知函数 lnxf xxaxxe（I）若 0f x，求 a 的取值范围；（2）证明：若 fx有两个零点12,x x，则环121x x（二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分第一题计分22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）5在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为26txyt（t 为参数），曲线2C的参数方程为26sxys （s 为参数）（1）写出1C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线3C的极坐标方程为2cossin0，求3C与1C交点的直角坐标，及3C与2C交点的直角坐标23选修 4-5：不等式选讲（10 分）已知 a，b，c 均为正数，且22243abc，证明：（1）23abc；（2）若2bc，则113ac