量子力学考研辅导课件2.ppt

1、第三部分第三部分 表象理论表象理论一、学习要点一、学习要点),(tp1.动量表象波函数动量表象波函数 的绝对值平方的绝对值平方 为动为动 量几率密度。量几率密度。表示表示 时刻粒时刻粒 子的三个动量分量在子的三个动量分量在 的几率。的几率。2|),(|tpzyxzyxppptpppddd),(2,d,dyyyxxxppppppzzzpppdt2.动量表象波函数动量表象波函数 与坐标表象波函数与坐标表象波函数 之间的关系是之间的关系是),(tp),(trpetptrrp i323d),()2(1),(retptprp i323d),()2(1),(对一维运动，以上两式变为对一维运动，以上两式变为

2、petptxipxd),()2(1),(21dxetxtpipx),()2(1),(213.在动量表象下在动量表象下 满足方程满足方程),(tpptpVtpptptipp32d),(),(2),(d),()2(1)(3trVeVrppipp应该学会把应该学会把S S方程直接从坐标表象变换到动量表象方程直接从坐标表象变换到动量表象:以一维运动为例，坐标表象中的以一维运动为例，坐标表象中的S.Eq为为方程两边取动量表象，上式成为方程两边取动量表象，上式成为),(|)(2|),(|2txxVpptxpti),(|)(2),(|2txxVptxti按照约定，按照约定，上式变为上式变为),(|),(|t

3、ptxp),(|d),(|2),(|2tpVptpptptipp得证。得证。),(|)(|d),(|2|d2txppxVpptxppppp),(|)(|d),(|2d2txppxVpptxppppp),(|)(|d),(|)(2d2txppxVpptxppppp对一维运动，以上两式变为对一维运动，以上两式变为ptpVtpptptippd),(),(2),(2如果势能如果势能 不含不含t，则，则)(rV)(),(/petpiEt)(pE 为定态能量，为定态能量，满足定态方程满足定态方程)(d)()(232pEppVppppxtxVeVxppippd),(21)(Q4.在本征值为分立的力学量在本征

4、值为分立的力学量 表象表象中，波函数中，波函数 表示为一列矩阵表示为一列矩阵321ccc其中其中d)()(*rrucnn 是是 的第的第 个本征函数个本征函数)(ruQn,2,1),()(nruqruQnnn在在 表象中，力学量表象中，力学量 表示为方矩阵表示为方矩阵QF:333231232221131211FFFFFFFFFFduFuFnmmn*波函数波函数 及算符及算符 由由 表象到表象到 表象变换的公式为表象变换的公式为QFQS1SFSSFSF,:,:,:332313322212312111SSSSSSSSS将它们将它们依次排列依次排列起来得到起来得到:33323123222113121

5、1SSSSSSSSSS注意：陈书中变换矩阵注意：陈书中变换矩阵S S的定义与教材中略有不同的定义与教材中略有不同 从而导致了波函数和算符的变换公式不同从而导致了波函数和算符的变换公式不同其中其中 矩阵可以矩阵可以通过通过在在 表象求出表象求出 的所有本征的所有本征态矢态矢SQQ则从原表象到新表象的变换矩阵元可表示为则从原表象到新表象的变换矩阵元可表示为kSk|在在教材教材中，原表象基矢用中，原表象基矢用 表示表示k|新表象基矢用新表象基矢用 表示表示|意义：意义：原表象第原表象第k个基矢在新表象第基矢在新表象第个基矢中个基矢中 的分量的分量。而在本参考书中，而在本参考书中，表示新表象的第表示新

6、表象的第个基矢在个基矢在原表象的第原表象的第k个基矢上的分量。个基矢上的分量。kS为为统一统一方方便便，建议建议使用使用教材教材中的定义。中的定义。实实际际上，由于上，由于S矩阵是幺正对称矩阵，矩阵是幺正对称矩阵，不管采取不管采取哪哪种种定义，其最定义，其最终终形式是一样的。形式是一样的。表象变换中基矢之间变换矩阵的问题表象变换中基矢之间变换矩阵的问题,可简单可简单证明如下：证明如下：不不失失一般性，设一般性，设Q表象基矢为表象基矢为 ，Q表象基表象基矢为矢为 ，则有，则有n|nnnnSnn|其中其中 表示从表示从 表象（基矢为表象（基矢为 ）到到Q表象（基矢为表象（基矢为 ）的变换矩阵。）的

7、变换矩阵。|nSn|n|Q据据表象理论，据据表象理论，的第的第 个本征态个本征态在在Q Q表象内表象内用用Q21SS表示。即有本征值方程表示。即有本征值方程 显然显然 是幺正矩阵是幺正矩阵S S的的 行行 列矩阵元。列矩阵元。nSn2121SSSSQnnnSSSSSSSSSS212222111211因而在因而在Q Q表象内解出的表象内解出的 的第的第 个本征矢正好是个本征矢正好是S S矩阵的第矩阵的第 列元素。故把列元素。故把 在在Q Q表象内解得的本征表象内解得的本征矢按照本征值的顺序并列，就得幺正变换矩阵矢按照本征值的顺序并列，就得幺正变换矩阵QQ二、例题二、例题3.1 在在 表象求解表象

8、求解 势阱势阱 中的束缚态中的束缚态 能量和波函数能量和波函数()。p)()(xxV0提示：基本思路同在坐标表象，就是换了个表象提示：基本思路同在坐标表象，就是换了个表象 不过对不过对势采用动量表象好一些。势采用动量表象好一些。解：利用在动量表象中的定态方程解：利用在动量表象中的定态方程)(d)()(22pEppVpppp其中对应束缚态其中对应束缚态|EE2)d(2)d(21)()(xxexxVeVxppixppipp代入上式，得代入上式，得pppEpd)()(|)|2(2方程方程右右边与边与 无关，两边可对无关，两边可对 求导，有求导，有pp0)(2d)(d|)|2(2ppppEp其解为其解

9、为|2)(2EpAp为求能量，将上式代入前式中的积分，有为求能量，将上式代入前式中的积分，有|2|2d12EEpp由此得定态能量由此得定态能量222E代入波函数的形式解内，并将其归一化，有代入波函数的形式解内，并将其归一化，有22222/3/12)(pp不如坐标表象中的解简单不如坐标表象中的解简单LxeLx/|/1)(22dxx试计算试计算 ，验证测不准关系。，验证测不准关系。px3.2 已知在已知在 势阱势阱 中的定态归一化波中的定态归一化波函数函数()为为)()(xxV表象p222)(kpAp332kA2k提示：基本思路同在坐标表象，就是换了个表象提示：基本思路同在坐标表象，就是换了个表象

10、注意坐标算符在动量表象中的表示注意坐标算符在动量表象中的表示pix 同时注意，计算同时注意，计算 根据根据 ,需要需要计算计算 和和AA2A222)(AAA14解：解：根据上述分析，根据上述分析，先先在动量表象下计算平均值在动量表象下计算平均值0)()()(22222*kpppApppppdd222222222*2)()()(kkpppApppppddpkppikpAppxpxdd2222222*11)()(0)(232222kpppAidpkppikpAppxpxdd222222222*211)()(221k从而得出从而得出kxxxkppp21222222px故故3.4 质量为质量为 的粒子

11、在均匀力场的粒子在均匀力场 中运动，运动范围限制在中运动，运动范围限制在 。试给出动量。试给出动量 表象中的定态方程并求出定态波函数表象中的定态方程并求出定态波函数 。)(p)0()(FFxf0 x提示：将力场变为势场，提示：将力场变为势场，xFV此时定态方程可写为此时定态方程可写为)()(22pEpxFp解：解：利用动量表象中坐标算符的表达式利用动量表象中坐标算符的表达式pixdd有方程有方程)()(dd22pEppFip 即即pEpFid2d2解之得解之得EppFiA6exp3163.5 质量为质量为 的粒子在均匀力场的粒子在均匀力场 中运动，中运动，为其在动量空间的几率密度，为其在动量空

12、间的几率密度，求求 与与 的关系。的关系。),(tp)0()(FFxft p类比教材中在坐标表象下研究定域的几率守恒方法来做类比教材中在坐标表象下研究定域的几率守恒方法来做关键是找到关键是找到*解：解：根据波函数根据波函数 所满足的方程所满足的方程),(tp)1(),(2),(2tppFiptpti上述方程两边取上述方程两边取复复共共轭轭，得，得)2(),(2),(*2*tppFiptpti17)2(),()1(),(*tptp22|),(|),(|tppFtpt令令2|),(|tp则有则有ptpFttp),(),(3.8 有一量子体系，其态矢空间三维，选择基矢有一量子体系，其态矢空间三维，选

13、择基矢 。体系的哈密顿。体系的哈密顿 及另两个力及另两个力 学量学量 与与 为为3|,2|,1|HBA2000200010H010100001aA100001010bB3|212|211|21)0(|0t设设 时体系态矢为时体系态矢为(1)在在 时测量体系能量时测量体系能量 可得哪些结果？相可得哪些结果？相 应几率多大？计算应几率多大？计算 及及 。0tH22)(HHHH(2)如在如在 时测量时测量 ，可能值及相应几率多，可能值及相应几率多 大？写出测量后体系的态矢量。大？写出测量后体系的态矢量。0tA(3)计算任意计算任意 时刻时刻 与与 的平均值的平均值 与与 tAB)(tA)(tB根据测

14、量结果写出态矢量根据测量结果写出态矢量分析：分析：2）要在）要在 态中测量态中测量A可能取值，需要求可能取值，需要求出出A的本征值和本征态，然后用其来展开。的本征值和本征态，然后用其来展开。)0(|1）注意采用的是什么表象）注意采用的是什么表象19解：解：（2）写出）写出A的本征值方程的本征值方程|AA或或321321010100001cccAccca容易解得容易解得;11021|,11aA但对另一简并本征值，但对另一简并本征值，aAA32132,ccc 取任意值取任意值不过三不过三者者满足归一化条件满足归一化条件1|232221ccc我们取两个最简单的简并态我们取两个最简单的简并态20110

15、21|,;001|,3322aAaA3|212|211|21)0(|已知已知 时体系态矢为时体系态矢为0t在在H表象中写出，有表象中写出，有11221)0(|则在此态中，测得则在此态中，测得A=-a的的概概率为率为011221)1,1,0(21|)0(|221说说明明t=0时刻在此态中时刻在此态中只只能测到值能测到值a。故测量故测量A后体系的态矢是后体系的态矢是32|or|或它们的任意组合。或它们的任意组合。21(3)计算任意计算任意 时刻时刻 与与 的平均值的平均值 与与 tAB)(tA)(tB已知已知 时体系态矢为时体系态矢为3|212|211|21)0(|0t根据根据 容易写出任意时刻的

16、波函数容易写出任意时刻的波函数nnEtinect)(|3|212|211|21)(|/321tiEtiEtiEeeet在在H表象中可以写为表象中可以写为/321221)(|tiEtiEtiEeeet然后根据下式计算算符然后根据下式计算算符A与与B在任意时刻的平在任意时刻的平均值均值:)(|)()(tFttF032012,EEE3.9 厄米算符厄米算符 与与 满足满足 且且 。求求(1)在在 表象中算符表象中算符 与与 的矩阵表示；的矩阵表示；(2)在在 表象中算符表象中算符 的本征值与本征态矢；的本征值与本征态矢；(3)求由求由 表象到表象到 表象的幺正变换矩阵，表象的幺正变换矩阵，并把并把

17、矩阵对角化。矩阵对角化。0 ABBAB122 BAAAABABABB解解：(1)(1)A在自在自身身表象下是对角矩阵，需求表象下是对角矩阵，需求A算符的本征值算符的本征值令本征值为令本征值为，本征态为本征态为，则有，则有,A显然显然1,12由于在由于在A表象中，表象中，A算符的矩阵表示为对角矩阵，算符的矩阵表示为对角矩阵，对角元就是本征值，从而有对角元就是本征值，从而有1001A?2A2而由于而由于A，B算符不对易，故无共同的本征态，算符不对易，故无共同的本征态，在在A表象下表象下B算符不是对角矩阵，令为算符不是对角矩阵，令为dcbaB代入代入0 BAAB可得可得0,0da从而有从而有00cb

18、B由于由于B是厄米算符，故有是厄米算符，故有BB 即即0000*bccb所以所以*cb 从而有从而有00*bbB代入代入12B有有iebb1|2其中其中为任意实数。为任意实数。取取0则则1b这样在这样在A表象下表象下0110B(2)A表象下表象下B算符的本征值及本征态矢容易求出算符的本征值及本征态矢容易求出令本征值为令本征值为，本征矢本征矢为为21cc即有即有21210110cccc解得解得1121,1;1121,1(3)求求A表象到表象到B表象的变换矩阵：表象的变换矩阵：将原表象将原表象A下求得的新表象下求得的新表象B的本征态矢按照本征值的的本征态矢按照本征值的次序排列就是变换矩阵次序排列就

19、是变换矩阵111121S此矩阵可以将此矩阵可以将B算符对角化，即算符对角化，即100111110110111121BSSB总结：本题实总结：本题实际际上是自旋算符上是自旋算符泡泡利矩阵的相关内容。利矩阵的相关内容。253.10 在在 的的 表象中，基矢为表象中，基矢为 求求 与与 的矩阵表示。的矩阵表示。1lyxLL,),(111YzL),(2zLL),(102Y),(113Y分析：显然在这三个基矢所组成的表象中，分析：显然在这三个基矢所组成的表象中，是对角是对角化的。化的。只只需利用升需利用升降降算符求算符求 和和 的矩阵表示。的矩阵表示。yLxLzL解：求解：求 和和 的矩阵元。的矩阵元。

20、xLyL)|(21nmnmLL1|)1()1(|lmmmlllmL及及nmnxmmnxLLLL|)(|21|)(则则0)11|1111|11(21)(11LLLxyxLiLL利用利用26)10|1110|11(21)(12LLLx)11|)11(1|1111|)11(1|11(2120)11|1111|11(21)(13LLLx另外有另外有0)(,0)()(,2)()(,0)(,2)()(33*1331*322322*1221xxxxxxxxLLLLLLLL所以所以0101010102xL同理有同理有000002iiiiLy当当然我们已经知道然我们已经知道 是对角矩阵是对角矩阵zL100000

21、001zL3.12 一个量子体系处于角动量一个量子体系处于角动量 的共同本征的共同本征 态上，总角动量平方值为态上，总角动量平方值为 。已知测量。已知测量 得得 值为值为 0 的几率是的几率是1/2，求测量，求测量 得值为得值为 的的 几率。几率。22yLyL),(2zLL分析：需知道在角动量表象下分析：需知道在角动量表象下 的本征值和本征函数，的本征值和本征函数，然后将体系的然后将体系的状状态按照本征态来展开。态按照本征态来展开。yL还有一个问题：还有一个问题：目目前体系处在哪个前体系处在哪个状状态？态？解：根据上题的结论，在此角动量表象下解：根据上题的结论，在此角动量表象下000002ii

22、iiLy容易求得本征值及对应的本征函数为容易求得本征值及对应的本征函数为答答案案：肯肯定是定是 三个三个状状态之一态之一11|,10|,11|？根据题根据题目目所给条件来所给条件来判断判断。2812121,;10121,0;12121,0illilyyy下面来下面来判断判断体系到体系到底底处在哪个处在哪个状状态。态。假设体系处在假设体系处在状状态态00111|假设体系处在假设体系处在状状态态01010|则则 的几率为的几率为0yl0010)101(21|10|220则则 的几率为的几率为0yl21001)101(21|11|220满足条件满足条件因而不会处在这个因而不会处在这个状状态。态。29

23、假设体系处在假设体系处在状状态态10011|则则 的几率为的几率为0yl21100)101(21|11|220也满足条件也满足条件故体系波函数为故体系波函数为 或或11|11|下面求在这下面求在这俩俩体系中，测量体系中，测量 的几率的几率yl体系波函数为体系波函数为 时时11|41010)1,2,1(21|11|22i体系波函数为体系波函数为 时时11|41100)1,2,1(21|11|22i可可见见，处在，处在 或或 态，测量态，测量 几率几率都都是是1/4.1/4.11|11|yl30然后将波函数用球函数展开，看是那些本征函数然后将波函数用球函数展开，看是那些本征函数的的叠加叠加。3.1

24、3 粒子处于态粒子处于态 ，其中，其中 为为 正实数，正实数，C为归一化常数。求为归一化常数。求(1)的取值；的取值；(2)的平均值；的平均值；(3)的几率；的几率；(4)的可的可 能取值及相应的几率。能取值及相应的几率。)2(zyxCer2LzLzLxL第第4问中，角度部分波函数用问中，角度部分波函数用Lx的本征函数展开的本征函数展开需要掌握几个球函数的表达式需要掌握几个球函数的表达式iieYYeYsin83,cos43,sin83111011分析：研究角动量算符问题，应该将波函数换到球坐标分析：研究角动量算符问题，应该将波函数换到球坐标 下表示。下表示。经过代换、化简有经过代换、化简有11

25、101112162121YiYYirBer310101010102xL容易求得本征值及对应的本征函数为容易求得本征值及对应的本征函数为12121,;10121,0;12121,0 xxxlll在角动量表象下，上页波函数在角动量表象下，上页波函数1221121|ii11101112162121YiYYirBer其角度部分可以写为其角度部分可以写为由此可得由此可得 的几率为的几率为xl125|2同理可得同理可得 的几率为的几率为,0 xl.|,|2200根据前题的结论，在此角动量根据前题的结论，在此角动量 表象下表象下),(2ZLL3.18 在由正交基矢在由正交基矢 构成的三维态矢空构成的三维态矢

26、空 间中，哈密顿算符间中，哈密顿算符 与力学量与力学量 的矩阵为的矩阵为AH3|2|1|1000100010EH010100001aA(1)证明证明 为守恒量；为守恒量；(2)求出求出 与与 的共同本征态矢组。的共同本征态矢组。AAH分析：第一问思路明分析：第一问思路明确确；第二问要使用定理：；第二问要使用定理：非简并本征态必为某守恒量的本征态。非简并本征态必为某守恒量的本征态。H属于本征值属于本征值E0的本征态是非简并的，故它的本征态是非简并的，故它是是A算符的本征态；但算符的本征态；但-E0简并，如何处理？简并，如何处理？33解解：（：（2）求哈密顿算符的本征态求哈密顿算符的本征态1000

27、100010EH可以求得属于不同本征值的本征态可以求得属于不同本征值的本征态0011|,0E0E二二重重简并，可以给出其简并态为简并，可以给出其简并态为1003|,0102|34根据定理：根据定理：非简并本征态必为某守恒量的本征态非简并本征态必为某守恒量的本征态可以发可以发现现，非简并本征态非简并本征态0011|是算符是算符 的一个本征态。的一个本征态。010100001aA但简并态但简并态1003|,0102|不是不是A的本征态的本征态不过，我们可以将其进行适不过，我们可以将其进行适当当的的线线性组合，使其成性组合，使其成为为A算符的本征态：算符的本征态：3|2|32cc现现在关键是求组合系

28、数。在关键是求组合系数。35323203|2|cccc问题：对于组合后的波函数问题：对于组合后的波函数它是否它是否H算符的本征态？算符的本征态？为求组合系数，写出为求组合系数，写出A满足的本征值方程满足的本征值方程323200010100001ccAcca根据求解矩阵本征值方程的一般方法，可以求得根据求解矩阵本征值方程的一般方法，可以求得110210,;110210,3232ccaAccaA 故故 与与 的共同本征态矢组为的共同本征态矢组为AH)3|2(|21),3|2(|21,1|36 1 1、质量为、质量为 的粒子在势场的粒子在势场 中作一维运动，试建中作一维运动，试建立动量表象中的能量本

29、征方程。立动量表象中的能量本征方程。m)(xV|)(|EVTH解：采用狄拉克符号，能量本征方程可写为解：采用狄拉克符号，能量本征方程可写为 （1 1）补充题：补充题：以以 左乘上式后一左乘上式后一等等式得式得|p|)(|pEVTppdpppEpdppVTp|)(|1|ppdp利用完利用完备备性关系性关系可得可得|)(pp)(|pppp由于由于且且则上式变为则上式变为 pdpppEpdppVTp)()()(|)(|其中其中 定义定义)(2|2ppmppTppVpVpp|dxxdpxxxVxxppVpVpp|)(|dxxdxxxxVxpp)()()()(*dxexVdxxxVxxppipp/)(*

30、)(21)()()(p上式即为上式即为 表象中的能量本征方程。其中表象中的能量本征方程。其中)()()(22pEpdpVpmppp代入上式得代入上式得 （3 3）022*dxuHxHxuinjnidxuHxuinjni,2*dxuxHxHxxuidxuxpxpunjninjxxni,*xxxxxxpipxpppxpxHx,212,2证明：证明：（1 1）2 2、如如 是哈密顿算符属于能量是哈密顿算符属于能量 的本征函数，的本征函数，（），证明），证明 （1 1）（2 2）进一步证明）进一步证明niunE0dxuxpxpunjxxniijnjxnidxxupui2*i为简并指标为简并指标390*

31、dxuxpxpunjxxnidxuxpunjxni*dxxupunjxni*即即（2 2）由（）由（1 1）可得）可得只只要要再再找一个有关上述两积分的方程即可。找一个有关上述两积分的方程即可。利用对易关系利用对易关系 ixpxppxxxx,dxuixpudxxupunjxninjxni)(*dxuuidxuxpunjninjxni*则有则有ijnjxniidxuxpu*ijnjxnidxxupui2*与前式与前式联联立立 得得第四部分第四部分 中心力场问题中心力场问题一、学习要点一、学习要点1.在中心力场在中心力场 中，定态波函数中，定态波函数 可以表示为可以表示为)(rV)(r),()()

32、,()()(lmlmYrruYrRr其中其中 满足方程满足方程)(rR0)()1()(2)(2)(2222rRrllrVEdrrdRrdrrRd 满足方程与边界条件满足方程与边界条件)(ru0)()1()(2)(2222rurllrVEdrrud0)0(u2.中心力场中，球坐标下的能量本征值方程为中心力场中，球坐标下的能量本征值方程为ErVrlrrr)(21222222利用此哈密顿算符可以利用此哈密顿算符可以判断判断角动量是守恒量，从角动量是守恒量，从而而确确定一组对易守恒量完全定一组对易守恒量完全集集),(2zllH其共同本征态可以选为其共同本征态可以选为),(),(lmlYRr后后者者是球

33、谐函数，是是球谐函数，是 的共同本征态的共同本征态),(2zll中心力场中能级的简并度一般为中心力场中能级的简并度一般为12 l3.在三维无限深方势阱在三维无限深方势阱其它,0,0,0,0),(czbyaxzyxV中，定态能量和定态波函数为中，定态能量和定态波函数为223222221223221cnbnanEnnn)(0)(,sinsinsin8),(321321阱外阱内，cznbynaxnabczyxnnn,3,2,1,321nnn4.在三维在三维各向异性各向异性谐振子势场谐振子势场)(21),(223222221zyxzyxV中，定态能量和定态波函数为中，定态能量和定态波函数为332211

34、321212121nnnEnnn)()()()(21exp),(311223222221332132121zHyHxHzyxNNNzyxnnnnnnnnn!2,ininiinNii3,2,1,2,1,0ini5.在在类氢离子类氢离子势场势场 中，定态能量和定中，定态能量和定 态波函数为态波函数为rZerV2)(),()()(2222lmnlnlmnYrRraneZElmnln,2,1,0,1,2,1,0,3,2,1其中其中 是是Bohr半径半径，分别是主分别是主量子数、轨道量子数和磁量子数，且量子数、轨道量子数和磁量子数，且22/eamln,另：若径向量子数用另：若径向量子数用 表示，则有表示

35、，则有1lnnrrn二、例题二、例题提示：这是一个球方势阱问题，且提示：这是一个球方势阱问题，且l=0，利用到径向，利用到径向波函数波函数u(r)所满足的方程。另外，所满足的方程。另外，有限深势阱问题一有限深势阱问题一般要涉及求解超越方程！般要涉及求解超越方程！4.1 质量为质量为 的粒子在三维方势阱的粒子在三维方势阱 中运动，中运动，求存在求存在s波束缚态的条件。波束缚态的条件。)0(,0)(00VarVarrV解：解：s波束缚态必定是波束缚态必定是l=0的基态。设波函数为的基态。设波函数为rrur)()(则则u(r)所满足的方程为所满足的方程为0)()(2)(222rurVEdrrud0)

36、(,0)0(uu由波函数由波函数统统计解计解释释(p99)边条件是边条件是作为束缚态，能量范围应该作为束缚态，能量范围应该0EV令令/|2,/|)|(2|,|EEVEE则分区写出的则分区写出的u(r)所满足的方程为所满足的方程为arrurruarrurru,0)(d)(d,0)(d)(d222222容易求出满足边条件的解为容易求出满足边条件的解为arBeruarrArur,)(,sin)(21由波函数连续得由波函数连续得aBeaAsin由波函数导数连续得由波函数导数连续得aBeaAsin上下两式相比，有上下两式相比，有atan令令a,上式变为上式变为cot另外由上页另外由上页,的定义的定义/|

37、2,/|)|(2EEV可得可得2220222QaV这是我们知道的超越方程组，其存在束缚态的条件是这是我们知道的超越方程组，其存在束缚态的条件是8/)2/(/2222022202aVaVQ或4.2 粒子处于三维球壳势阱粒子处于三维球壳势阱 中，中，求存在束缚态的条件。求存在束缚态的条件。)()(argrV提示：这仍是一个球方势阱问题思路同上题提示：这仍是一个球方势阱问题思路同上题。另外，。另外，要考虑到利用要考虑到利用势中波函数导数的跃变条件。势中波函数导数的跃变条件。解：解：则则u(r)所满足的方程为所满足的方程为0)()(2)()(2222ruargrukdrrud其中其中2|2Ek0)(,

38、0)0(uu满足条件满足条件的解是的解是arBeruareeArukrkrkr,)(),()(21如何求得？如何求得？利用边界条件（包含跃变条件）利用边界条件（包含跃变条件）)(2)()(),()(221221augauauauau得得)2()()(2kgBeeeAkBeeeAkakakakakaka两式相比化简，并令两式相比化简，并令 x=2ka 得得xgaex212其解可通过求超越方程得到其解可通过求超越方程得到0 x0 xyxey11xgay222将交点将交点x0代入代入 x=2ka 求得求得k并代入并代入2|2Ek求得本征能量求得本征能量22208 axE何时有解？何时有解？显然唯有显

39、然唯有012xyy此时容易解出存在束缚态的条件此时容易解出存在束缚态的条件ag22A4.4 设粒子的定态波函数设粒子的定态波函数 ，其中，其中 与与 是常数。已知是常数。已知 。求定态能量。求定态能量 和势能和势能 。arAer)(a0)(,rVrE)(rV分析：这显然是一个中心力场问题。分析：这显然是一个中心力场问题。给出的是定态波函数，去求势函数，因而是一个给出的是定态波函数，去求势函数，因而是一个反问题。反问题。其基本思路是，写出球坐标系下的径向定态方程，其基本思路是，写出球坐标系下的径向定态方程，代入定态波函数，利用所给条件，求出定态能量代入定态波函数，利用所给条件，求出定态能量和势能

40、函数。和势能函数。思考：如何处理思考：如何处理？2L4100Y)()()(12222222rErrVrLrrrr50)()()(12222222rErrVrLrrrr4100Y并注意到球谐函数并注意到球谐函数解：解：)()21(2)(222rraarrrrarAer)(将波函数将波函数 代入径向方程代入径向方程利用波函数利用波函数 首先首先可以求出可以求出arAer)(上式化简后容易得出上式化简后容易得出raaErV212)(22从而有从而有0)(222rrL利用条件利用条件)(0)(rrV222 aE从而有从而有这样就有这样就有arraaErV222212)(4.9 处于基态的类氢原子经处于

41、基态的类氢原子经 衰变，核电荷数突然衰变，核电荷数突然 由由 变为变为 ，求原子处于，求原子处于 态的几率。已态的几率。已 知类氢原子定态波函数为知类氢原子定态波函数为Z1ZS2aZraZreaZraZrZeaZrZ/2/3200/2/310021)2(1),()(1),(分析：这是一个常规性的问题。突然变化意分析：这是一个常规性的问题。突然变化意味着味着波函数来波函数来 不及发生变化，这给出了体系的不及发生变化，这给出了体系的初始初始条件。条件。同时也要注意：求原子处于某一态的几率同时也要注意：求原子处于某一态的几率肯定肯定是求是求原子处在新体系某一态的几率，因原体系的原子处在新体系某一态的

42、几率，因原体系的状状态是态是作为条件给定的，求它的几率作为条件给定的，求它的几率没没有意义。有意义。52解：设解：设t=0时发生衰变，则时发生衰变，则t0t0时的波函数为时的波函数为nlmnlmtEinlmrZectrn),1(),(这显然是按照新态的展开。关键是求展开系数。这显然是按照新态的展开。关键是求展开系数。利用利用初始初始条件条件),(),1()0,(100rZrZcrnlmnlmnlm由此求得展开系数由此求得展开系数),(|),1(100rZrZcnlmnlm故发生衰变后处于故发生衰变后处于2S态的几率为态的几率为21002002200|),(|),1(|rZrZc8311)13(

43、)1(2ZZZ20221332221142)1(1rreraZaZZraZd534.10 氢原子处于基态。假定库仑作用在氢原子处于基态。假定库仑作用在 时突时突 然消失，电子离开原子像自由电子那样运动。然消失，电子离开原子像自由电子那样运动。试求试求 时测量电子动量大小在时测量电子动量大小在 内的内的 几率。几率。0t0tpppd提示：可以认为动量方向是沿提示：可以认为动量方向是沿z z方向，从而有方向，从而有cosprrp问题：电子离开原子后，动量分布还会发生变化吗？问题：电子离开原子后，动量分布还会发生变化吗？因此关键是求因此关键是求t=0t=0时刻的动量分布。时刻的动量分布。解：基态氢原

44、子的波函数为解：基态氢原子的波函数为areaYRr300101001),()(显然与角度无关。显然与角度无关。下面利用下面利用傅傅里里叶叶变换求其动量分布。变换求其动量分布。54rerprpi33d)()2(1)(rrrepridddsin)()2(12cos302d)(21rreerippripri2222235)(18apa故故 时，电子动量大小在时，电子动量大小在 内的几率为内的几率为0tpppdpappapppd)(32d4|)(|422223522上式实上式实际际上是对上是对厚厚度为度为dp球壳的积分。球壳的积分。4.12 一粒子被束缚在半径为一粒子被束缚在半径为 的钢球盒内。求的钢

45、球盒内。求 处于基态的粒子对盒壁的压力与压强。处于基态的粒子对盒壁的压力与压强。R提示：从提示：从物物理上讲，粒子束缚在球方势阱内运动时，理上讲，粒子束缚在球方势阱内运动时，必然与必然与器器壁发生壁发生碰撞碰撞，从而，从而产产生压力。问题是压力与生压力。问题是压力与我们所学的量子力学我们所学的量子力学知识知识有何关系？有何关系？压力压力粒子对粒子对器器壁作壁作功功粒子能量粒子能量减减小小解：解：设平均压力为设平均压力为 ，在压力作用下，在压力作用下器器壁壁增增大了大了 ，则则FRERF但对于球方势阱，其基态能量为但对于球方势阱，其基态能量为2222 RE则有平均压力则有平均压力322ddRRE

46、F从而算得压强从而算得压强52244RRFp564.15 势能势能 的类氢原子处在的类氢原子处在 态，试计算态，试计算 的平均值的平均值 。nlmrZeV22/1 rnlmrnlm|/1|2 解：中心力场中的波函数为解：中心力场中的波函数为),()()(lmnlnlmYrrur 满足方程满足方程)(runl4.13 在势场在势场 中粒子处在中粒子处在定态定态,证明粒子动能证明粒子动能 的平均值满足的平均值满足 ；如果；如果 是是 的的 次齐次函数，证明次齐次函数，证明 ，并利用此式，并利用此式 计算氢原子基态的计算氢原子基态的 。vr)(rV2/2pT)(2VrTVvT 2T)(rV提示：提示

47、：在离心势中出在离心势中出现现，此时用，此时用FH定理是较好的选择定理是较好的选择 关键是如何选择哈密顿算符。关键是如何选择哈密顿算符。21r)()(2)1(dd2222222ruErurllrZernlnnl.内存在内存在1/r2,故可将其写为形式故可将其写为形式)()(ruEruHnlnnleff其中其中 2222222)1(dd2rllrZerHeff此时可以利用此时可以利用F-H定理。定理。问题：选择什么作为参数？问题：选择什么作为参数？使用使用F-H定理时选择微分参数的原则：定理时选择微分参数的原则：2）H和和E中要同时存在这个参数；中要同时存在这个参数；3）对该参数求导时不会出）对

48、该参数求导时不会出现现其它力学量；其它力学量；1）该参数是所求力学量的）该参数是所求力学量的伴随伴随量；量；58本体系中，本体系中，222222)1(22lnaeZaneZErn唯有选择唯有选择l为参数为参数利用利用nleffnlHlE将以上两式代入得将以上两式代入得3222)12(21nalZrnl看本征能量是什么形式看本征能量是什么形式2222222)1(dd2rllrZerHeff4.17 氢原子处在基态氢原子处在基态 ，求，求 的的 平均值及动量的几率分布函数平均值及动量的几率分布函数 ，并通过，并通过 计算计算 来检验测不准关系。来检验测不准关系。rarear/2/13)()()(p

49、Wpx分析：分析：此题思路此题思路很很明明确确，前面我们也做过类，前面我们也做过类似似的题的题目目。4.23 一个质量为一个质量为 的粒子在对数势场的粒子在对数势场 中运动，式中中运动，式中 与与 是同质量是同质量 无关的常数。无关的常数。(1)证明在所有态上均方速度相同，求出此均方证明在所有态上均方速度相同，求出此均方 速度；速度；(2)证明任何两定态能量之差同粒子质量无关。证明任何两定态能量之差同粒子质量无关。mm0rc0/ln)(rrcrV分析：考虑用位力定理和分析：考虑用位力定理和F-H定理。定理。证明：1)VrT2mT2d22*mp222mpv 为能量本征态。由位力定理)/ln(0r

50、rcV 但）相同为常数，对所有本征态cmcv(2crVrdd所以或cVr由此得cT 2且2)d*mHmHmE222mpmHVmpH22由得由F-H定理，得d222*mpTm221mc2lnlnEEllmcEln2nnmcEln2mmcEd2d21EE 的差和E因此对任意两能级E21积分得所以这是与m无关的常数量。由4.25 设一微观粒子在中心力场设一微观粒子在中心力场 中运动且处于能中运动且处于能 量和角动量的某一共同本征态。量和角动量的某一共同本征态。(1)在球坐标系中写出能量本征函数的基本形式，在球坐标系中写出能量本征函数的基本形式，写出势能写出势能 在此态上的平均值在此态上的平均值 的表