连续型随机变量及其概率密度-课件.ppt

1、特点：特点：1 1、随机变量的取值充满某个区间，不能一一列出。、随机变量的取值充满某个区间，不能一一列出。用直方图近似正态分布的概率密度演示用直方图近似正态分布的概率密度演示矩形宽度代表分组个数，高度代表落在该区间样本的频率矩形宽度代表分组个数，高度代表落在该区间样本的频率高度越大，相应区间的样本数越多，分布越密集，反之亦然高度越大，相应区间的样本数越多，分布越密集，反之亦然分组越多，则分组越多，则频率直方图趋于一光滑曲线：概率密度频率直方图趋于一光滑曲线：概率密度（P35）例子：例子：1 1、灯泡（电视机）的寿命；、灯泡（电视机）的寿命；2 2、股票的收益率等。、股票的收益率等。背景背景:2

2、 2、随机变量取任一值的概率为、随机变量取任一值的概率为0 0，即，即P(X=x)=0。1、概率密度的定义、概率密度的定义 1.()0.2.()=1.3.,(),(),:()(.)bafxfx dxa bRabP aXbfXfxXfxXx dx 设设是是随随机机变变量量,如如果果存存在在非非负负可可积积函函数数满满足足则则称称为为连连续续型型随随机机变变量量,称称为为成成的的概概率率密密度度立立说明：说明：(1)f(x)、x 轴所围曲边梯形面积等于轴所围曲边梯形面积等于1.1.一、概率密度定义及性质一、概率密度定义及性质(重点重点)(2)(2)概率概率PaXb的几何意义：的几何意义：f(x)所

3、所围曲边梯形的面积围曲边梯形的面积.(3)(3)改变改变f(x)在个别点的值，不影响在个别点的值，不影响PaXb 的值的值.2、概率密度的主要性质（重点）、概率密度的主要性质（重点）启示：概率为启示：概率为0 0，不一定是不可能事件。概率为，不一定是不可能事件。概率为1 1，不一定为必然事件，不一定为必然事件aaaRP Xaf x dx(1),()0.对对baf x dabP aXbP aXbP aXbP aXxb(2),()若若则则f xxP xXxxf xx(3)(),().如如果果在在 处处连连续续 则则 ()xxxP xXxxf x dx ()()fxf xx 2(9)331(37,2

4、)()0 (1);(2)0,11,2.CxxPXf xCP XPXP X例例例例随随机机变变量量 具具有有概概率率密密度度其其它它求求常常数数求求概概率率:(1):()1f x dx-解解由由概概率率密密度度的的定定义义32()(9)1f x dxCxdx-3-3136C 021(2)0(9)36P Xxdx-3-330311(9)|3632xx12113 11(9)3627PXxdx-1-132122(9)3627P Xxdx2 2210001000231500 +1 15 50 00 0=xxdx4162381()Xxf xx22(1),1500(2)4,1500;1000 1000(),

5、:(3)4,1500.0 (4)15002000 例例 某某型型号号电电子子元元件件的的寿寿命命 的的概概率率密密度度函函数数为为:任任取取一一只只其其寿寿命命大大于于小小时时的的概概率率;任任取取 只只 寿寿命命均均大大于于小小时时的的概概率率求求任任取取 只只 至至少少有有1 1只只寿寿命命大大于于的的概概率率其其它它若若已已知知一一元元件件寿寿命命大大于于小小时时,则则其其 寿寿命命大大于于小小时时的的概概率率是是多多少少?iAii1500 (1,2,3,4)解解:设设第第 个个元元件件寿寿命命大大于于P Xf x dx1500(1)(1500)()P A A A AP A412341(

6、2)()()P X4(1500)4 4280280381381=1-1-=1-1-=1234 2 23 3P AAAA1234(3)()P A P A P A P A12341()()()()P A411 1-()P X411(1500)P XX(4)(2000|1500)PXXP X(2000)(1500)(1500)P XP X(2000)(1500)f x dxP X2000()(1500)1.均匀分布均匀分布xo)(xf a b10,(),(,),(,).axbXf xbaXa bXU a b设设连连续续型型随随机机变变量量具具有有概概率率密密度度其其它它则则称称在在区区间间区区间间上

7、上服服从从均均匀匀分分布布 记记为为 ,(,)(,),()()clcc lRc cla blP cXclf x dxba 对对如如果果 则则说明：说明：X落在落在(a,b)任子区间的概率只与区间宽度有关，与区间位置无关任子区间的概率只与区间宽度有关，与区间位置无关二、常见的连续型随机变量二、常见的连续型随机变量(重点）重点）XUa:,0,解解 根根据据题题意意aaaaPXfx dx3343(2)()()34 30031234aXaaaf xX,(,)()();(),).例例 向向区区间间上上任任意意投投点点,用用表表示示该该点点坐坐标标.设设该该点点落落在在中中任任一一子子区区间间的的概概率率

8、与与区区间间长长度度成成正正比比,与与区区间间位位置置无无关关.求求:概概率率密密度度 落落在在的的概概率率xafxa1 0(1)()0 其其它它aaadxaa3341155 1212 例例4 随机变量随机变量X 服从服从(2，5)上均匀分布，现对上均匀分布，现对X 进行进行3次独立次独立重复观察，试求至少有重复观察，试求至少有2次观测值大于次观测值大于3的概率？的概率？解：令解：令A=观测值大于观测值大于3P AP X()(3)xxXUf13 2 1000P个个:e321000120001 XPXP)1000(1)2000(1FF .607.0e21 (3)20001000P XX10001

9、000,2000 XPXXP10002000 XPXP1,015()150,xp x其其 它它(0 15).XXU解解:用用表表示示乘乘客客的的候候车车时时间间，则则，.151510.2 2 设设公公汽汽车车站站每每分分钟钟有有一一辆辆汽汽车车通通过过，乘乘客客在在分分钟钟内内到到车车站站是是等等可可能能的的，乘乘客客候候车车时时间间超超过过分分钟钟的的概概率率 1510151dx31155 10(10)()P Xp x dx)()(bdcaabcddXcP 或或由由.)1510()10(得结果得结果 XPXP本节重点总结本节重点总结一、概率密度的定义及性质。一、概率密度的定义及性质。三、均匀

10、分布、指数分布的定义及计算。三、均匀分布、指数分布的定义及计算。(1)a :(2)P(0.5x1.5),P(X=1).备备选选1 1 设设随随机机变变量量X X的的概概率率密密度度为为a ax x 0 0 x x 1 1值值;f f(x x)=2 2-x x 1 1x x 2 2求求0 0 其其它它1dx-解解:(1 1)由由规规范范性性,f f(x x)12011 a ax x(2 2-x x)dxdx1222112201(2)1 a=1 axxx78dxddxx 1 11 1.5 50 0.1 10 0.5 51 1.5 55 5(2 2)P P(0 0.5 5X X 1 1.5 5)=f f(x xx x(2 2-x x)P P(X X=1 1)=0 0