系统辨识第四章课件.ppt
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- 系统 辨识 第四 课件
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1、系统辨识第四章2第一章第一章 模型方法与辨识模型方法与辨识第二章第二章 脉冲响应辨识脉冲响应辨识 第三章第三章 最小二乘辨识最小二乘辨识第四章第四章 极大似然辨识极大似然辨识第五章第五章 时间序列建模与随机时间序列建模与随机逼近辨识逼近辨识第六章第六章 模型阶次的辨识模型阶次的辨识第七章第七章 闭环系统辨识闭环系统辨识3第四章第四章 极大似然辨识极大似然辨识 前言前言 4-1 极大似然原理极大似然原理 4-2 动态系统模型参数的极大似然估计动态系统模型参数的极大似然估计 4-3 极大似然估计的一致性极大似然估计的一致性 4-4 预报误差参数辨识法预报误差参数辨识法4第四章第四章 极大似然辨识极
2、大似然辨识 极大似然法,是一种适用范围非常广泛的传统辨识方法,1906年,由R.A.Fisher提出。极大似然估计方法在随机系统参数估计、故障检测及容错控制等方面,有广泛应用。把这种经典的估计方法用于动态过程或动态系统辨识,可以获得良好的估计性质。极大似然法要求已知输出量的条件概率密度函数,建立随机观测数据与未知参数之间的概率特性和统计关系,通过使条件概率密度函数为极大的准则,求出未知参数的估计值。因而,极大似然辨识法是一种概率性的参数估计方法。54-1 极大似然原理极大似然原理一、似然函数一、似然函数。密度函数为的条件概率条件下,数是一个随机变量,在参设)(zfzz总体:次观测,可得观测数据
3、进行对被估量N TNNzzzz)(),2(),1(件概率密度函数为:为随机序列,其联合条则)(kzzN)(Nzf6以示区别。记作的似然函数,有时叫做称这时的概率密度函数,的函数,不再表示条件参数只是为一组确定的数据,则如果)()()(NNNNzLzfFisherzfz )(Nzf件概率密度函数为:为随机序列,其联合条则)(kzzNTNNzzzz)(),2(),1(7,如果及分别取为时,函数。当的可以认为只是而言,对于具体观测值21)(zzzfzN)()(21zfzf 可见,条件概率密度函数与似然函数有不同的物理含义,但其数学表达形式一致,即)()(NNzfzL8。确定估值然函数达到极大来称为似
4、然函数,并以似或数把验前条件概率密度函大。故为准确值的可能性要为准确值的可能性比则)()(21zLzfFisher,如果及分别取为时,函数。当的可以认为只是而言,对于具体观测值21)(zzzfzN)()(21zfzf9下图所示。为标量,其似然函数如测值两种可能,观和只有例如,设未知参数z21 )(zf)(1zf)(2zf1z2z0z10为极大似然估计故:若1211),()(zfzfzzN为极大似然估计故:若2212),()(zfzfzzN11二、极大似然估计求法二、极大似然估计求法 极大似然估计定义的极大值,即是值,似然函数如果对于所有可能的)()(NNzfzf)(max)(NNzfzf。大似
5、然估计,记作的极是的可能性最大,称是准确值则ML 0012似然方程与对数似然方程似然方程与对数似然方程)(max)(NNzfzfML故可通过似然方程0022MLMLNNzfzf)(,)(。求出极大似然估计ML由于。由于数似然方程确定为了简化运算,常用对ML)()(1)(lnNNNzfzfzf13)()(1)(lnNNNzfzfzf等效。与的值不可能为零,所以的极大值附近,而在0)(0)(ln)()(NNNNzfzfzfzf从而可由值达到极大在相同的与因此由于对数为单调增函数指出与,)()(ln,:.NNzfzfDoobLJWaldA对数似然方程0022MLMLNNzfzf)(ln,)(ln。确
6、定极大似然估计ML14正态独立同分布随机过程均值与方差的极大似然估计正态独立同分布随机过程均值与方差的极大似然估计则其概率分布密度为正态分布随机变量,设iz22)(21exp21),(mzmzfii为均方差。为方差,为均值,其中,2m条件下的似然函数为和在参数布特性,则随机变量机序列,具有独立同分下获得的随是一组在独立观测条件设2)(,),2(),1(mzkzzzkikmizfmkzfmzfmzfmzf122222),)(),)(),)2(),)1(),(15正态分布,故似然函数因为zkiikmzmzf1222)(21exp21),(取对数似然函数ln21ln)(21)(2121ln)(21e
7、xp21ln),(ln1221221222kkmzmzmzmzfkiikiikiikkikmizfmkzfmzfmzfmzf122222),)(),)(),)2(),)1(),(16ln21ln)(21),(ln1222kkmzmzfkiik用对数似然方程:令kikiikmkizmzmmzf121220)(1),(ln有kiizkm1)(117令0ln)(42)(41),(ln222142kmzmzmzfiikik 0因VVV)(ln故得:0)(1213kmzkiiln21ln)(21),(ln1222kkmzmzfkiik180)(1213kmzkiikmzkii212)(1求出212)(1
8、mzkkiikiizkm1)(119验证:4122222222230kiikkmzkmzfkkmmzf)(),(ln)(),(ln为观测次数,恒正ln21ln)(21),(ln1222kkmzmzfkiik023),(ln)(2422222221kkkmzfkmzkkii确是极大似然估计。和表明求出的2m20例4-1的极大似然估计。求参数,试,的概率密度为条件下,随机变量过程,在参数为一个独立同分布随机设0)()()(2 xxexftxkx解个观测向量为的设随机变量Ntx)(TNNxxxx)()2()1(条件下的似然函数为在参数则随机变量)(txNkNkNNkNkNkxkxkxkxkxfxf1
9、12121)(exp)()(exp)()()(21NkNkNNkNkNkxkxkxkxkxfxf112121)(exp)()(exp)()()(相应的对数似然函数0)(2 )(ln2)(ln)()(ln2)(ln1111NkNkNNkNkNkxNkxNxfkxkxNxf22NkMLkxN1)(2且02)(ln222MLNNxf的极大似然估计。是参数极大值,因此所求使对数似然函数达到了表明MLML 02221111NkNkNNkNkNkxNkxNxfkxkxNxf)()(ln)(ln)()(ln)(ln 23例4-2,其概率密度为独立同分布随机序列设)(kx0 x,0 0 x,exp4)(223
10、2xxxf的极大似然估计。,为待估参数,求其中,0解的似然函数条件下,随机变量在参数xNkNkNNNkNkNkxkxkxkxkxfxf112223122321)(1exp)()4()(exp)(4)()(24TNNxxxx)(,),(),(21 其中相应的对数似然函数NkNkNkxkxNNxf11222)(1)(ln3)4ln()(ln,求得令0)(23(123NkNkxNxfNkMLkxN12)(32NkNkNNNkxkxxf112223)(1exp)()4()(254-2 动态系统模型参数的极大似然估计动态系统模型参数的极大似然估计一、第一、第1种模型噪声情况种模型噪声情况设动态系统差分方
11、程为niniiikvikubikyaky1100)()()()(,得系统量测方程:,令Nnnk1)()()(0NVNNY26)()()(0NVNNY式中)()1()()(,)()1()()(,)()1()()(NnnNNvnvnvNVNynynyNYTTTTnnbbbaaa00201002010)()2()1()()2()1()(nkukukunkykykykT27NnnjkjkjkjvkvENnnkkvE,)()(,)(10102 时当,时,当布、零均值,则有同分的统计特性为正态独立设噪声序列)(kv28噪声的联合概率密度函数噪声的联合概率密度函数率密度函数为正态分布,故其联合概因:维向量,
12、其统计分布为噪声)(),()()(NVINNVnNNV201 11220112121nNinNiiYvfVf)(exp)()(20021221exp)2()(YYNVfTnN29向量方程误差的似然函数向量方程误差的似然函数,其中代替如果用0nnbbbaaa2121则向量方程误差为(残差)YN)(联合概率密度函数为一样,属正态分布,其与,故,由于)()()()(0NVNYNYNV 2212212YYNfTnNexp)()(30 2212212YYNfTnNexp)()(的似然函数:即是条件概率密度函数,合概率密度函数,它应条件下得到的联和是在实际上,上述)()(NNf2 22122212YYfT
13、nNexp)(),(31输出观测向量的似然函数输出观测向量的似然函数根据随机向量变换法则,可以导出221222212)()(exp)(),(),(YYfYfTnN32模型参数的极大似然估计模型参数的极大似然估计观测向量Y的对数似然函数为222)()(21)ln2(ln21),(lnYYnNYfT,有)已知,令当量测矩阵022MLMLYf,(ln0212122)()(TTTTTTMLTYYYYYY 33得:0)22(212MLTTMLY整理:)(0)(12aYTMLTML,有再令0),(ln22Yf)(02)()(2142bYYnNMLMLTMLML0 21)()(2122TTTTTTMLTYY
14、YYYY34定义为:因向量方程误差),(N),(),1(),(),(NeneneN),(),(),()()(2MLNnkMLMLTMLTMLkeNNYY而大似然估计:式,分别求得参数的极式及故由)()(ba),(111)()()(221MLNnkMLTMLMLLSTTMLkenNnNYYy35两点注意事项两点注意事项的一致估计。是相同,与最小二乘估计的极大似然估计存在条件下,模型参数阵已知、分布噪声序列、为零均值、正态独立同只有当001MLLSMLTkv)()(。于推导递推极大似然法的估计。这一结果将用取极小时的数相当于下列性能指标函然估计的极大似似然函数取极大所得已知时可见,当噪声方差由对数
15、似然函数02 ,NnKTTTkeYYJYYnNYf),()()()()()()ln(ln),(ln202222122136二、第二、第2种模型噪声情况种模型噪声情况设动态系统的差分方程为:niiniiniiikvckvikubikyaky11010)()()()()(。零均值正态独立同分布噪声序列)(kv令组合噪声其余为简便研究,令,0,01iccniiniiikubikyakykvckvkz101011)()()()()()(3701)()()(,NNYNzNnnk得组合噪声动态方程:令种噪声情况,而表达式同第及、式中,1)()(0NNY)()()()()()()(111111NvcNvnv
16、cnvnvcnvNz因z(k)是v(k)与v(k-1)的线性组合,故z(k)也是零均值正态分布噪声序列,但不再是无关序列。38的相关函数:考察)(kzNnnjkjkcjkcjkcjvkvcjvkvcjvkvcjvkvEjvcjvkvckvEjzkzE,)()()()()()()()()()()()()()()(101111111112121221211111其他种噪声模型不同。为一步相关序列,与第表明1)(kz噪声的统计特性均值NnnkkzE,)(1039方差阵RcccccccNzNzET22111211121100001001)()(联合概率密度函数)()(exp)()(01012121YR
17、YRNzfTnN的行列式。表示式中,RR40观测向量的似然函数观测向量的似然函数数:似然函数及对数似然函的关于可以导出代替种情况,用类似于第Y,1 0)()(21exp)2(1)(11YRYRYfTnN)()(21ln21)2ln(21)(ln1YRYRnNYfT模型参数的极大似然估计模型参数的极大似然估计已知,令及噪声方差阵如果量测矩阵R410)(lnMLYf有0222121111111)(MLTTTTTTTTRYRRYRRYYRYML 存在,得:若11)(RTLSRTTMLYRR1)(111表明:此时模型参数的极大似然估计正好等于模型参数的马尔可夫估计。424-3 极大似然估计的一致性极大
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