《微积分（第二版）》课件第五节幂级数的应用.ppt

1、第五节第五节 幂级数的应用幂级数的应用一、函数值的近似计算一、函数值的近似计算二、求积分的近似值二、求积分的近似值三、其它应用三、其它应用第五节第五节 幂级数的应用幂级数的应用一、函数值的近似值计算 用幂级数可以表示函数,因此幂级数给函数的运算带来了方便，也使得幂级数有着广泛的应用，运用幂级数可以计算函数值的近似值、求极限、求定积分等.利用函数的泰勒级数展开式可以计算函数的近似值，并对计算的精确度给出可靠的估计.例 计算e的近似值，精确到小数四位.解 因为指数函数 的展开式为xe).,(!1!31!211e32xxnxxxnx令x=1，得.!1!31!2111en欲精确到小数四位，只需取余项

2、.!1!312111en！4101nr取)2)(1(1111!1 )!1(1!1nnnnnnrn只需取n=8，则有 ，于是48101r.3 718.2!71!31!2111e,)!1)(1(1111!12nnnnn例 计算 的近似值，精确到小数四位.10dsinxxx解 利用幂级数展开式),(!71!51!31sin753xxxxxx得,!71!51!311sin642xxxxx两端积分1064210d!7!5!31sinxxxxdxxx二、求积分的近似值上式右端为交错级数，由于 ，可取其前三项即可精确到小数四位，即4101!771.1 946.0!551!3311sin10 xxdxxx10sin!771!551!3311三、利用幂级数的展开式可以求极限.coslim4202xexxx例 求极限解 由幂级数展开得!4!21cos42xxx4!21214222xxex将其代入所求极限有121)12(1limcoslim4404202xxxexxxx四、利用幂级数的展开式可以证明公式例 证明欧拉公式.sinicosexxix证 在指数函数的展开式).|(|!1!31!211e32zznzzznz取 z=ix 得.)i(!1)i(!31)i(!21i1e32inxxnxxxxxxxxxxsinicos!51!31i!41!2115342