《微积分（第二版）》课件第三节高阶导数.ppt

1、一、高阶导数概念一、高阶导数概念二、高阶导数举例二、高阶导数举例第三节第三节 高阶导数高阶导数 一、高阶导数的概念第三节 高阶导数 设物体的运动方程为 ，则物体运动的速度为 ，加速度为)(tss)()(tstv)()()(tstvta 即加速度是速度函数的导数，是路程函数的导函数的导数，这就产生了高阶导数概念.定义 若函数 的导函数 在点 可导，则称 在点 的导数为函数 在点 的二阶导数，记作 ，即)(xf)(xf 0 x)(xf 0 x)(xf0 x)(0 xf 000000)()(lim)()(lim)(0 xxxfxfxxfxxfxfxxx 如果函数 在区间I上的导数 仍是x的可导函数，

2、则称 的导数为函数 的二阶导函数，简称二阶导数，记作 2222dd,dd),(,xfxyxfy)(xfy,),()()4(nyxyy ，,4433nndxyd,dxyd,dxyd 类似地,可定义三阶导数、四阶导数、n 阶导数.)(xfy)(xfy)(xfy,dxdfdxddxfd,dxdydxddxyd)()(2222.)(yy 即 若y=f(x)的n阶导数 存在,则称 y=f(x)为n 阶可导函数,此时意味着 都存在.二阶或二阶以上的导数称为高阶导数.相应地 称为一阶导数.)(xf)()(),()1(xfxfxfn ，)()(xfn 求高阶导数的基本原则是逐阶求导.即先求一阶导数，再求二阶导

3、数，以此下去，直到求到所求的阶数为止.e23yxyx，求例 设.)32(e2ee32322322xxxxyxxx解)66(e)32(2e22232xxxxyxx.)6124(e232xxxx.arctanyxxy，求例 设21arctanxxxy解2222)1(2111xxxxxy.)1(2)1(111222222xxxx 二、高阶导数的求导举例.,)(22110nnnnnyaxaxaxay求 例 设解,)2()1(1322110 nnnnaxanxanxnay,2)3)(2()2)(1()1(2423120 nnnnaxannxannxanny.!0)(anyn.0,)(kynk时当容易看出

4、,23)4)(3)(2()3)(2)(1()2)(1(3524130 nnnnaxannnxannnxannn y .sin)(nyxy，求例 设 求n阶导数的通常方法是先逐阶求导,从各阶导数中寻找共有的规律.从中归纳出n阶导数的表达式.解),2sin(cosxxy),22sin()22sin()2cos(xxxy),23sin()222sin()22cos(xxxy所以.)2sin()(nxyn,sinxy当然，我们也可以从：中归纳出下面的规律：,cos xy,cos xy ,sin)4(xy ,2,1,0),1(4 ,sin,34 ,cos,24 ,sin,14 ,cos)(sin)(kk

5、nxknxknxknxxn).2cos()(cos )(nxxn同理.),21ln()(nyxy求例 设解,2211xy.)21(1)!1(2)1(1)(nnnnxny,)21(1222)21(1222xxy,)21(1!22)1(2)21()2)(1(233232xxy ,)21(1!32)1(2)21()3(!22)1(443432)4(xxy以此类推.),21ln()(nyxy求例 设解,2211xy.)21(1)!1(2)1(1)(nnnnxny,)21(1222)21(1222xxy,)21(1!22)1(2)21()2)(1(233232xxy ,)21(1!32)1(2)21()3(!22)1(443432)4(xxy以此类推.)1(11!)1(11)(nnnnxxny 442)1(1)3(13!2)1(xxy,)1(11!3)1(443xx依此类推，可得