《微积分（第二版）》课件第四节隐函数与参变量函数的导数.ppt

1、一、隐函数求导法一、隐函数求导法二、参变量函数求导法二、参变量函数求导法第四节第四节 隐函数与参变量函数导数隐函数与参变量函数导数 问题导言：函数的常见表达形式主要有显函数形式、隐函数形式和参变量函数形式.第四节第四节 隐函数与参变量函数导数隐函数与参变量函数导数 例如：圆心在原点半径为1的上半圆周可表示为21xy 1,1x（1）显函数形式（2）方程形式122 yx)0(y（3）参数方程形式tytxsincos)20(txy问题：如何确定隐函数和参变量函数的导数？一、隐函数的求导法则 如果变量x与y 满足方程 ，在一定条件下，对于x 取值区间内的任一值，都有满足方程的惟一的y 值存在，则称由方

2、程 确定了一个隐函数 .0),(yxF0),(yxF)(xfy 设方程 F(x,y)=0确定了隐函数y=f(x),求导数 y 求导步骤：（1）方程两边对变量x求导（注意y是x的函数）；（2）解出导数y例 设y=y(x)由 确定求 .xyyx2ey解 方程两边对x求导，得，2eyxyyyx解得.2eyxyyx 例 求椭圆曲线 处的切线方程.)2,1(14222上点yx，021yyx,2yxy切线斜率,222|)2,1(1 yk切线方程为解 方程两边对x求导，得.222 ),1(22xyxy即 例 求由方程 所确定的隐函数的二阶导数 .0sin21yyxy 解 将方程两边对x 求导，得)1(0co

3、s211yyy（1）式两边再对x 求导，得0cos21)(sin212 yyyyyyycos22 解得2cossin)(2 yyyy解得将式 代入得yycos22 3)2(cossin4 yyy 根据隐函数求导法，还可以得到一个简化求导运算的方法对数求导法 对数求导法的步骤：对数求导法适合于由几个因子通过乘、除、乘方、开方所构成的比较复杂的函数及幂指函数的求导.（1）对函数取绝对值；（2）对绝对值函数取对数；（3）利用隐函数求导法求导;（4）解出导数表达式.解 等式两边取绝对值，再取对数，得.)2()13()1(32yxxxy，求设例|2|ln31|13|ln32|1|ln|lnxxxy方程两

4、边对x求导，得213113332111xxxyy32)2()13()1(xxxy63113211xxx所以注：解题时为了方便起见，取绝对值可以略去解 函数两边取对数得例 求导数32)1(32xxxxy)3ln(21)2ln(31)1ln(2ln21ln xxxxy312121311121211xxxxyy32)1(32xxxxy31212131112121xxxx 例 求函数 的导数)0(sinxxyx解 对函数 取对数，得)0(sinxxyxxxylnsinln方程两边对x求导，得xxxxyylncossin1xxxxxyxlncossinsin所以一般地，对于幂指函数 有)0)()()(x

5、uxuyxv)()()()(ln)()()(xuxuxvxuxvxuyxv二、由参数方程确定的函数的导法)()(tytx设参数方程确定函数 则其导数)(xfy).0)()()(ddtttxy为证明 由复合函数与反函数的求导法则，有).0)()()(dddddd1ddddddddttttxtytxtyxttyxy例 设,sin,cos33taytax.ddxy求)()(ddttxy.tan)sin(cos3cossin322tttatta解例 设,sine,cosetytxtt解)()(ddttxy.ddxy求)sin(ecosecosesinetttttttt.sincos cossintttt例 求曲线 在t=e处的切线方程.ttyttx2ln,ln.231121dd1etxyk所以切线斜率当t=e时，x=e，y=e.1lnln2ln1ln1ln2ln22tttttttttt)()(ddttxy解故切线方程为.2e23 ),e(23exyxy即