《微积分(第二版)》课件第五节微分方程应用.ppt
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- 关 键 词:
- 微积分第二版 微积分 第二 课件 五节 微分方程 应用
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1、第五节第五节 微分方程应用微分方程应用一、微分方程应用实例一、微分方程应用实例二、微分方程模型二、微分方程模型微分方程应用的基本过程1.根据实际问题具体意义建立微分方程模型(1)分析所研究量之间的联系,找出其内在规律.(2)根据有关知识、定律、原理建立微分方程模型.2.根据微分方程模型的特征求解微分方程.3.由实际问题意义验证解的合理性.第五节第五节 微分方程应用微分方程应用一、微分方程应用实例例.)2,1(分,求这曲线的方程切线线段均被切点所平意,它在两坐标轴间的任一曲线通过点解,切线方程为处的切线斜率为点,则过曲线上任一设所求曲线的方程为yyxPxyy),()(,0yyxX截距为).(xX
2、yyY轴上的,得切线在令xY0,故得xyyx2,按题意xX2 0 xyy即,故得初值条件为由于曲线过点)2,1(2 1xy,dd xxyy将方程分离变量,得求解微分方程 通解).(是任意常数即得方程通解为CCxy,两端积分,得Cxylnlnln xyy.2 ,2 程这就是所要求的曲线方条件的特解为故得所求方程满足初值,得把初值条件代入通解中xyC.,)0(,时间的函数关系求降落伞下落的速度与速度为零并设降落伞离开飞机时空气阻力与速度成正比所受后的降落伞从飞机上落下设质量为tm例,其所受阻力为kvmgF 解,由题意知设降落伞下落速度为)(tv 由牛顿第二定律得 dd,kvmgtvm,mtkvmg
3、vdd 分离变量得两端积分,得,1ln1)ln(1Ckmtkvmgk ,e e 11 kCkmgvCkvmgtmktmk或即,所求通解为记 e1tmkCkmgvkCC).e1(00tmktkmgvkmgCv|所求特解为,代入通解又有 例 把温度为100的沸水注入杯中,放在室温为20的环境中自然冷却,经5min时测得水温为60.求(1)水温T()与时间t(min)之间的函数关系;(2)问水温自100降至30所需的时间.)(tTTTt之间的函数关系为与温度设时间解)20(ddTktT由冷却定律:物体的冷却速度与物体与周围温差成正)0(k常数 分离变量积分,得比,得微分方程,tkTTd20d)()e
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