《微积分（第二版）》课件第四节函数模型.ppt

1、第四节第四节 函数模型函数模型一、实际问题函数模型举例、实际问题函数模型举例二、几种常用的经济函数模型二、几种常用的经济函数模型2 第四节第四节 函数模型函数模型 函数模型是一种反应变量之间相依关系的数学模函数模型是一种反应变量之间相依关系的数学模型它是一种最基本的数学模型形式型它是一种最基本的数学模型形式.一、实际问题函数模型举例一、实际问题函数模型举例 函数模型通常可以通过解析式进行表示，用解析函数模型通常可以通过解析式进行表示，用解析式表示实际问题的过程是：式表示实际问题的过程是：(1)(1)分析问题中哪些是变量，哪些是常量，分别分析问题中哪些是变量，哪些是常量，分别用字母表示；用字母表

2、示；(2)(2)根据所给条件，运用数学、物理等知识规律根据所给条件，运用数学、物理等知识规律确定等量关系；确定等量关系；(3)(3)具体写出解析式具体写出解析式 ，并指明定义域，并指明定义域)(xfy 3 例例 欲建一个容积为欲建一个容积为V 的长方体游泳池，它的底的长方体游泳池，它的底面为正方形，如果所用材料单位面积的造价池底是池面为正方形，如果所用材料单位面积的造价池底是池壁的壁的3 3倍，试将总造价表示为底面边长的函数倍，试将总造价表示为底面边长的函数.解解 设底面边长为设底面边长为x，总造价为，总造价为P ，池壁单位面，池壁单位面积的造价为积的造价为a ，底面单位面积造价为，底面单位面

3、积造价为3a 3a，则游泳池的高为则游泳池的高为 ，侧面积为，侧面积为 ，故总造价函数模型为故总造价函数模型为2xVh xVxxV442 xVaaxP432 ),0(x4 例例 某运输公司规定货物的吨公里运价为某运输公司规定货物的吨公里运价为:在在 a 公里以内每公里公里以内每公里 k 元元;超过超过 a 公里公里,超出部分每公里为超出部分每公里为0.8 k 元元,秋运价秋运价 P 与里程与里程 s 之间的函数关系之间的函数关系.解解 根据题意可列出函数关系为根据题意可列出函数关系为saaskkaasksP)(.800 这里运价与里程之间的函数关系为分段函数这里运价与里程之间的函数关系为分段函

4、数.定定义域为义域为).,(05 例例 指数函数模型是实际问题中广泛应用的一类模指数函数模型是实际问题中广泛应用的一类模型，很多自然现象可以通过指数函数模型进行描述型，很多自然现象可以通过指数函数模型进行描述.（1 1）衰减记忆模型）衰减记忆模型 假设假设t t周后你能记住所学知识周后你能记住所学知识的百分比是的百分比是 P（t），则，则其中其中Q 是难以忘记的百分比，是难以忘记的百分比，k是一个常数，它依赖是一个常数，它依赖于所要记忆的知识于所要记忆的知识.kteQQtP )1()(（2 2）赫尔学习模型）赫尔学习模型 一个打字员学习打字，一个打字员学习打字，t t周后周后每分钟打的英语单词

5、数每分钟打的英语单词数W的函数模型为的函数模型为)1(100)(3.0tetW 6 二、几种常用的经济函数模型 1需求函数与供给函数 设商品的需求量与供给量分别用Q 和S表示，商品价格为p，若忽略市场其它因素的影响，只考虑反映该商品的价格因素，则Q 和S分别为p 的函数，即有 （价格取非负值），称为需求函数.（价格取非负值），称为供给函数.)(pQQ )(pSS 通常需求函数 是价格的单调减少函数，商品供给函数 是商品价格的单调增加函数.)(pQQ )(pSS 7，类型需求函数供给函数线性函数幂函数指数函数常用的需求函数与供给函数模型 bpaQ bapS )0,(babapQ bpaeQ )0

6、,(ba)0,(ba)0,(babpaeS )0,(babapS )0,(ba8 当市场上的需求量和供给量相等时，需求关系与当市场上的需求量和供给量相等时，需求关系与供给关系达到某种平衡，这时的价格供给关系达到某种平衡，这时的价格 和需求量和需求量分别称为均衡价格与均衡量，而称分别称为均衡价格与均衡量，而称 为为均衡点均衡点.如果把需求曲线和供给曲线画在同一坐标系中，如果把需求曲线和供给曲线画在同一坐标系中，由于需求函数由于需求函数Q是单调减少是单调减少函数，供给函数函数，供给函数S是增加函是增加函数，它们相交于的点数，它们相交于的点为为均衡点均衡点，其横纵坐标即为，其横纵坐标即为均衡价格均衡

7、价格与与均衡量均衡量.0p0Q),(00Qp),(00Qpp0Q=Q(p)Q0OS=S(p)pQ9 例 某商品的需求量和供给量与其价格满足如下关系式：和 试求市场平衡的价格和数量.解 求均衡价格和数量，即解方程组解之得 或 （无意义）故所求均衡价格为84个单位，均衡数量为8个单位.188212 pQQ21222 pQ .2122,1882122pQpQQ81 Q841 p21,122 pQ10 2成本函数、收益函数与利润函数 总成本是指生产一定数量的某种产品所需费用的总和；总收益是指产品出售后所得到的收入；总利润则是指总收益减去总成本 若只考虑产品的数量q，而不考虑市场其它因素的影响，则用 表

8、示总成本函数；表示总收益函数；表示总利润函数)(qCC )(qRR )(qLL 总成本函数一般可分为固定成本 与可变成本 两部分，则总成本函数 1C)(22qCC )()(21qCCqCC 11 如果产品的销售价格函数 ，则总收益函数为 总利润函数为)(qP)()(qqPqRR )()()(qCqRqLL 生产 个单位产品时的平均成本、平均收益和平均利润分别为qqqCCqqCC)()(21 )()(qPqqRR qqLL)(12 例 某工厂生产某产品，年产量为台，每台售价为250元，当年产量在600台以内时，可以全部售出经广告宣传后又可再多售出200台，每台平均广告费20元，若再生产，本年就销不出去了试建立本年的销售总收入R与年产量q 之间的函数关系解 当 时 6000 qqqR250)(当 时 800600 q1200230)600)(20250(600250)(qqqR当 时 800 q196000200230600250)(qR13所以，销售总收入R与年产量q 之间的函数关系为 800196000800600120002306000250)(qqqqqqR