《微积分(第二版)》课件第七节多元函数的最优化问题.ppt
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- 微积分第二版 微积分 第二 课件 第七 多元 函数 优化 问题
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1、一、函数的最值一、函数的最值二、实际问题中的最值二、实际问题中的最值三、经济学中的最值问题三、经济学中的最值问题第七节第七节 多元函数优化问题多元函数优化问题第七节第七节 多元函数优化问题多元函数优化问题一、二元函数的最值 最值存在定理:若函数 z=f(x,y)在闭区域 D上连续,则一定存在最大值与最小值.闭区域D上可微函数的最值求法:(1)先求出函数在该区域内的一切驻点处的函数值 (2)求出函数在区域边界上的最值.(3)比较这些函数值的大小,最大的就是函数在D上的最大值,最小的就是函数在D上的最小值.驻点值最点值 例 求函数 在有界闭区域 上的最大值与最小值.)5(2yxyxz4,0,0:y
2、xyxD解 函数在D内处处可导,且)2310(231022yxxyxyyxxyxz)25(252232yxxyxxxyz解方程组 ,得D内驻点 0yzxz45,25及对应的函数值64625z在边界x=0及y=0上的函数z的值恒为零4 yxxy4 yxxy在边界 上,函数成为的一元函数 4 yx40),4(2xxxz函数求导有所以在0,4上的驻点为)38(xxdxdz38x相应的函数值为27256z所以函数在闭域D上的最大值为 ,在点 处取得;最小值为 ,它在D的边界x=0及y=0上取得64625z45,250z 二、实际问题的最值 实际问题最值的求法 (1)有实际意义建立函数模型及其定义域;(
3、2)求函数的驻点;(3)结合实际意义,利用驻点的惟一性及最值的存在性进行判断.对于实际问题中的最值,若从问题本身能断定它的最大值或最小值一定存在,且在定义区域的内部取得,这时,若可微函数在定义区域内有惟一的驻点,则该驻点的函数值就是函数的最大值或最小值 例 要用钢板制作一个容积为 的无盖长方体的容器,若不计钢板的厚度,怎样制作材料最省?33ma 解1 设容器的长为x,宽为y,高为z,容器所需钢板的面积为 且xzyzxyA223axyzV)0,0()(23yxxyyxaxyA所以232xayxA求偏导数232yaxyA求驻点得,23ayxaz223于是驻点唯一,所以当长方体容器的长与宽为 ,高取
4、 时,所需的材料最省a322/23a解2 设拉格朗日函数为)(22),(3axyzyzxzxyzyxL)4(0)3(022)2(02)1(023axyzLxyyxLxzzxLyzzyLzyx 将方程组的第一个方程乘以x,第二个方程乘以y,02022xzxyyzxz所以有 ,代入第四个方程得可能极值点zyx2,23ayx第三个方程乘以z,再两两相减得2/23az 解 设折起来的边长为 x cm,则断面面积倾角为,Acos2224xxx224(21sin)xsincossin2sin2422xxx)2/0,120(x 例 有一宽为24cm 的长方形铁板,把它折起来做成一个断面为等腰梯形的水槽,问怎
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