线性代数全集课件.ppt
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- 线性代数 全集 课件
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1、线性代数线性代数PPT全集全集它的特点是研究的变量数量较多,关系复杂,方法上它的特点是研究的变量数量较多,关系复杂,方法上既有严谨的逻辑推证、又有巧妙的归纳综合,也有繁既有严谨的逻辑推证、又有巧妙的归纳综合,也有繁琐和技巧性很强的数字计算,在学习中,需要特别加琐和技巧性很强的数字计算,在学习中,需要特别加强这些方面的训练。强这些方面的训练。第一章第一章 行列式行列式第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算第三章第三章 矩阵的初等变换矩阵的初等变换 及线性方程组及线性方程组第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性基础基础基本内容基本内容用向量的观点讨论用向量的观点讨论基本问题并介绍向基本
2、问题并介绍向量空间的有关内容量空间的有关内容第五章第五章 相似矩阵及二次相似矩阵及二次型型矩阵理论矩阵理论一、二元线性方程组与二阶行列式一、二元线性方程组与二阶行列式用消元法解二元用消元法解二元(一次一次)线性方程组线性方程组:第一章第一章 行列式行列式 22221211212111bxaxabxaxa(1)(2)(1)a22:a11a22x1+a12a22x2=b1a22,(2)a12:a12a21x1+a12a22x2=b2a12,两式相减消去两式相减消去x2,得得(a11a22 a12a21)x1=b1a22 b2a12;1.1 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式;212221121122
3、211baabxaaaa )(,得,得类似地,消去类似地,消去1x,211211221122211abbaxaaaa )(时时,当当021122211 aaaa方程组的解为方程组的解为,211222112122211aaaabaabx )(3.211222112112112aaaaabbax 由方程组的四个系数确定由方程组的四个系数确定.由四个数排成二行二列(横为行、竖为列)由四个数排成二行二列(横为行、竖为列)的数表的数表)4(22211211aaaa)5(42221121121122211aaaaaaaa行行列列式式,并并记记作作)所所确确定定的的二二阶阶称称为为数数表表(表表达达式式 即
4、即.2112221122211211aaaaaaaaD 11a12a22a12a主对角线主对角线副对角线副对角线2211aa.2112aa 二阶行列式的计算二阶行列式的计算若记若记,22211211aaaaD .,22221211212111bxaxabxaxa对于二元线性方程组对于二元线性方程组系数行列式系数行列式 .,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaaD .,22221211212111bxaxabxaxa,2221211ababD .,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaaD .,22221211212111bx
5、axabxaxa,2221211ababD .,22221211212111bxaxabxaxa.2211112babaD 则二元线性方程组的解为则二元线性方程组的解为,2221121122212111aaaaababDDx .2221121122111122aaaababaDDx .12,12232121xxxx求解二元线性方程组求解二元线性方程组解解1223 D)4(3 ,07 112121 D,14 121232 D,21 DDx11,2714 DDx22.3721 二、三阶行列式333231232221131211)5(339aaaaaaaaa列列的的数数表表行行个个数数排排成成设设有
6、有,312213332112322311322113312312332211)6(aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa(6 6)式称为数表()式称为数表(5 5)所确定的)所确定的.323122211211aaaaaa .312213332112322311aaaaaaaaa (1)(1)沙路法沙路法三阶行列式的计算三阶行列式的计算322113312312332211aaaaaaaaa D333231232221131211aaaaaaaaaD .列标列标行标行标333231232221131211aaaaaaaaaD 333231232
7、221131211aaaaaaaaa332211aaa.322311aaa 注意注意 红线上三元素的乘积冠以正号,蓝线上三红线上三元素的乘积冠以正号,蓝线上三元素的乘积冠以负号元素的乘积冠以负号说明说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 如果三元线性方程组如果三元线性方程组 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系数行列式的系数行列式333231232221131211aaaaaaaaaD ,0 利用三阶行列式
8、求解三元线性方程组利用三阶行列式求解三元线性方程组 2 2.三阶行列式包括三阶行列式包括3!3!项项,每一项都是位于不同行每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积不同列的三个元素的乘积,其中三项为正其中三项为正,三项为三项为负负.;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3332323222131211aabaabaabD 若记若记333231232221131211aaaaaaaaaD 或或 121bbb ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,33323
9、23222131211aabaabaabD 记记,3332323222131211aabaabaabD 即即 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa333231232221131211aaaaaaaaaD ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3333123221131112abaabaabaD 得得 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa333231232221131211aaaaaaaa
10、aD ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3333123221131112abaabaabaD 得得 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa.3323122221112113baabaabaaD ,3333123221131112abaabaabaD .3323122221112113baabaabaaD 则三元线性方程组的解为则三元线性方程组的解为:,11DDx ,22DDx .33DDx 333231232221131211aaaaaaaaaD ,33
11、32323222131211aabaabaabD 2-43-122-4-21D 计计算算三三阶阶行行列列式式按对角线法则,有按对角线法则,有 D4)2()4()3(12)2(21 )3(2)4()2()2(2411 24843264 .14 .094321112 xx求解方程求解方程方程左端方程左端1229184322 xxxxD,652 xx解解得得由由052 xx3.2 xx或或例例4 4 解线性方程组解线性方程组 .0,132,22321321321xxxxxxxxx由于方程组的系数行列式由于方程组的系数行列式111312121 D 111 132 121 111 122 131 5 ,
12、0 同理可得同理可得1103111221 D,5 1013121212 D,10 0111122213 D,5 故方程组的解为故方程组的解为:,111 DDx,222 DDx.133 DDx 二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的程组引入的.对角线法则对角线法则二阶与三阶行列式的计算二阶与三阶行列式的计算.2112221122211211aaaaaaaa ,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa三、小结 使使求一个二次多项
13、式求一个二次多项式,xf .283,32,01 fff解解设所求的二次多项式为设所求的二次多项式为 ,2cbxaxxf 由题意得由题意得 ,01 cbaf ,3242 cbaf ,28393 cbaf得一个关于未知数得一个关于未知数 的线性方程组的线性方程组,cba,又又,020 D.20,60,40321 DDD得得,21 DDa,32 DDb13 DDc故所求多项式为故所求多项式为 .1322 xxxf1.2 全排列及其逆序数全排列及其逆序数 引例引例:用用1,2,3三个数字三个数字,可以组成多少个没有重可以组成多少个没有重复数字的三位数?复数字的三位数?这是一个大家熟知的问题这是一个大家
14、熟知的问题,答案是答案是:3!=6.将此问题将此问题推广推广:把把n个不同的元素按先后次序排成个不同的元素按先后次序排成一列一列,共有多少种不同的排法共有多少种不同的排法.定义定义:把把 n 个不同的元素排成一列个不同的元素排成一列,叫做这叫做这 n 个个元素的元素的全排列全排列(或或排列排列).n 个不同的元素的所有排列的种数个不同的元素的所有排列的种数,通常用通常用 Pn 表表示示,称为称为排列数排列数.Pn=n (n1)(n2)2 1=n!一、全排列一、全排列二、排列的逆序数二、排列的逆序数 定义定义:在一个排列在一个排列 i1 i2 is it in 中中,若数若数 isit,则称这两
15、个数组成一个则称这两个数组成一个逆序逆序.例如例如:排列排列32514 中中,我们规定各元素之间有一个标准次序我们规定各元素之间有一个标准次序.以以 n 个不个不同的自然数为例同的自然数为例,规定规定由小到大为标准次序由小到大为标准次序.3 2 5 1 4逆序逆序逆序逆序逆序逆序 定义定义:一个排列中所有一个排列中所有逆序逆序的总数称为此的总数称为此排列的排列的逆序数逆序数.前面的数比前面的数比后面的数大后面的数大3 2 5 1 4逆序数为逆序数为31010故此排列的逆序数为故此排列的逆序数为:3+1+0+1+0=0+1+0+3+1=5.例如例如:排列排列32514 中中,计算排列逆序数的方法
16、计算排列逆序数的方法逆序数为奇数的排列称为逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列;逆序数为偶数的排列称为逆序数为偶数的排列称为偶排列偶排列.方法方法1:分别计算出排在分别计算出排在1,2,n 前面比它大的数前面比它大的数码的个数并求和码的个数并求和,即先分别算出即先分别算出 1,2,n 这这 n 个元素个元素的逆序数的逆序数,则所有元素的逆序数的总和即为所求排列则所有元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数的逆序数.方法方法2:依次计算出排列中每个元素依次计算出排列中每个元素前面比它大前面比它大的的数码的个数并求和数码的个数并求和,即算出排列中每个元素的逆序数即算出排列中每个元素的逆序数,则所有元素
17、的逆序数之总和即为所求排列的逆序数则所有元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.方法方法3:依次计算出排列中每个元素依次计算出排列中每个元素后面比它小后面比它小的的数码的个数并求和数码的个数并求和,即算出排列中每个元素的逆序数即算出排列中每个元素的逆序数,则所有元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数则所有元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.例例1:求排列求排列32514的逆序数的逆序数.解解:在排列在排列32514中中,3排在首位排在首位,则则3的逆序为的逆序为0;2的前面比的前面比2大的数只有一个大的数只有一个3,故故2的逆序为的逆序为1;3 2 5 1 40 1 0 3 1没有比没有比
18、5大的数大的数,故其逆序为故其逆序为0;个个,故其逆序为故其逆序为3;4的前面比的前面比4大的数有大的数有1个个,故逆序为故逆序为1.5的前面的前面1的前面比的前面比1大的数有大的数有3即即于是排列于是排列32514的逆序数为的逆序数为 t=0+1+0+3+1=5.解解:此排列为此排列为偶排列偶排列.例例2:计算下列排列的逆序数计算下列排列的逆序数,并讨论其奇偶性并讨论其奇偶性.(1)217986354.2 1 7 9 8 6 3 5 40 1 0 0 1 3 4 4 5于是排列于是排列217986354的逆序数为的逆序数为:t=0+1+0+0+1+3+4+4+5=18.(2)n(n1)(n2
19、)21解解:n(n1)(n2)2 1012(n1)(n2),21 nnt=0+1+2+(n2)+(n1)于是排列于是排列n(n1)(n2)21的逆序数为的逆序数为:此排列当此排列当 n=4k,4k+1 时为偶排列时为偶排列;当当 n=4k+2,4k+3 时为奇排列时为奇排列.(3)(2k)1(2k1)2(2k2)3(2k3)(k1)(k+1)k.(2k)1(2k1)2(2k2)3(2k3)(k1)(k+1)k解解:0121233(k1)(k1)kt=0+1+1+2+2+(k1)+(k1)+k于是排列于是排列(2k)1(2k1)2(2k2)(k1)(k+1)k的逆序数为的逆序数为:.2122kk
20、kk 此排列当此排列当 k 为偶数时为偶排列为偶数时为偶排列,当当 k为奇数时为为奇数时为奇排列奇排列.1.n个不同的元素的所有排列种数为个不同的元素的所有排列种数为n!个个;2.排列具有奇偶性排列具有奇偶性;3.计算排列逆序数常用的方法计算排列逆序数常用的方法.三、小结三、小结1.3 n 阶行列式的定义阶行列式的定义333231232221131211aaaaaaaaaD 322113312312332211aaaaaaaaa 332112322311312213aaaaaaaaa 一、概念的引入一、概念的引入三阶行列式三阶行列式说明说明(1)三阶行列式共有三阶行列式共有6项项,即即3!项项
21、.说明说明(2)每项都是位于不同行不同列的三个元素每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积的乘积.说明说明(3)每项的正负号都取决于位于不同行不同每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的列标排列的逆序数列的三个元素的列标排列的逆序数(行标为标准排列行标为标准排列).例如例如 a13a21a32,将行下标标准排列将行下标标准排列,列下标排列列下标排列312的逆序数为的逆序数为.)1(321321333231232221131211 ppptaaaaaaaaaaaat(312)=1+1=2,偶排列偶排列.a13a21a32 的前面取的前面取+号号.例如例如 a11a23a32,将行下标标准
22、排列将行下标标准排列,列下标排列列下标排列132的逆序数为的逆序数为t(132)=0+1=1,奇排列奇排列.a11a23a32的前面取的前面取号号.其中其中是对列下标的所有排列求和是对列下标的所有排列求和(3!项项),t 是列下标是列下标排列排列 p1p2p3 的逆序数的逆序数.二、二、n 阶行列式的定义阶行列式的定义定义定义:设由设由 n2 个数排成一个个数排成一个 n 行行 n 列的数表列的数表作出表中位于不同行不同列的作出表中位于不同行不同列的 n 个数的乘积个数的乘积,并冠以并冠以符号符号(1)t,得到形如得到形如 其中其中 p1p2 pn 为自然数为自然数1,2,n 的一个排列的一个
23、排列,t为排列为排列p1p2 pn的逆序数的逆序数.nnppptaaa2121)1(的项的项,nnnnnnaaaaaaaaa212222111211所有这所有这 n!项的代数和项的代数和 nnppptaaa2121)1(称为称为(由上述数表构成的由上述数表构成的)n 阶行列式阶行列式.nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 记作记作简记作简记作 det(aij).数数 aij 称为行列式称为行列式 det(aij)(第第 i 行第行第 j 列列)的元素的元素.nnppptaaaD2121)1(即即 说明说明1.行列式是一种特定的算式行列式是一种特定的算式,它是根据求解它是根据
24、求解方程个数和未知量个数相同的线性方程组的需要而定方程个数和未知量个数相同的线性方程组的需要而定义的义的;说明说明2.n 阶行列式是阶行列式是 n!项的代数和项的代数和;说明说明3.n 阶行列式的每项都是位于不同行阶行列式的每项都是位于不同行,不同不同列列 n 个元素的乘积个元素的乘积,nnpppaaa2121的符号为的符号为(1)t;说明说明4.一阶行列式的符号一阶行列式的符号|a|=a,不要与绝对值不要与绝对值符号相混淆符号相混淆,一般不使用此符号一般不使用此符号.0004003002001000例例1:计算对角行列式计算对角行列式.0004003002001000解解:分析分析.展开式中
25、项的一般形式是展开式中项的一般形式是,43214321ppppaaaa,011 pa从而这个项为零从而这个项为零,同理可得同理可得:p2=3,p3=2,p4=1.所以只能所以只能 p1=4;若若p1 4,则则 432114321 t.24 即行列式中非零的项为即行列式中非零的项为:(1)t(4321)a14 a23 a32 a41即即例例2:计算计算上三角行列式上三角行列式.00022211211nnnnaaaaaa解解:分析分析展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是.2121nnpppaaa所以非零的项只可能是所以非零的项只可能是:a11 a22 ann.从最后一行开始讨论非零项从最后
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