高等数学函数的连续性课件.ppt

1、1.3、函数的连续性。函数的连续性。1、掌握函数连续性的判断方法。、掌握函数连续性的判断方法。2、零点定理的应用。、零点定理的应用。2.1 导数的概念导数的概念3、掌握导数的概念、几何意义及其与连续性的关系。、掌握导数的概念、几何意义及其与连续性的关系。1、变量的增量 设函数设函数y=f(x)在点在点x0的某一个邻域的某一个邻域U(x0)内有定义内有定义 称称D Dy=f(x0+D+Dx)-f(x0)函数函数y的增量。的增量。在邻域在邻域U(x0)内内 若自变量若自变量x从初值从初值x0变到终值变到终值x1 则称则称D Dx=x1-x0为自变量为自变量x的增量的增量 DxDy1.3.11.3.

2、1、函数连续性、函数连续性2、函数的连续性定义提示:0lim0=DDyx设设x=x0+D Dx 则当则当D Dx0时时 xx0 因此因此 设函数设函数 y=f(x)在点在点x0及其邻域内有定义及其邻域内有定义 如果如果那么就称函数那么就称函数 y=f(x)在点在点x0处连续处连续 0lim0=DDyx 或0lim0=DDyx 或)()(lim00 xfxfxx=D Dy=f(x0+D+Dx)-f(x0)0lim0=DDyx0)()(lim00=-xfxfxx0)()(lim00=-xfxfxx)()(lim00 xfxfxx=0fxx函函数数在在点点 处处连连续续的的充充分分必必要要条条件件是

3、是：01f xx（）在在点点 处处有有定定义义；02f xx（）在在点点 处处的的极极限限存存在在；003f xxf xx（）在在点点 处处的的极极限限值值等等于于在在点点 处处的的函函数数值值 000000li1m3xxfxxxxfxfxfxx-=如如果果函函数数在在点点 的的左左邻邻域域，内内有有定定义义，若若极极限限，则则称称在在定定连连续续；点点义义左左 000limxxfxfxfxx+=同同样样，则则称称在在点点右右连连续续；0fxx函函数数在在点点 处处连连续续的的充充分分必必 要要条条件件是是：000limlimxxxxfxfxfx-+=注注意意：左连续和右连续左连续和右连续 0

4、0sin0abxxfxxbxxxab+=设设在在点点处处连连续续，问问，应应满满足足什什例例么么关关系系？解解：00 xfa=函函数数分分段段点点为为，并并且且有有；0limx-abx+,a=0sinlimxbxx+b=00fxxx=已已知知在在处处连连续续，因因此此必必然然在在处处的的左左、右右都都连连续续，00limlim0 xxfxfxfa-+=即即，a b从从而而有有=解题思路：解题思路：根据函数连续的充要条件根据函数连续的充要条件 000limlimxxxxfxfxfx-+=0sinlimxbxbbx+=,fxa b函函数数在在区区间间内内的的每每一一点点都都连连续续 ,fxa b函

5、函数数在在区区间间内内连连续续，lim,xafxf a+=limxbfxf b-=，,a b函函数数在在区区间间内内连连续续：函数在区间内连续函数在区间内连续 ,fxa b函函数数在在区区间间内内连连续续：sinyx=证证明明函函数数在在其其定定义义域域内内例例是是连连续续的的。证证明明：00sinxyxxx=D D设设是是定定义义域域内内任任意意一一点点，在在点点处处有有增增量量时时，对对应应的的函函数数增增量量为为00sin()sinyxxxD D=+D D-02sincos().22xxxD DD D=+10cos()2xxD D+因因为为0sin02xxD DD D 当当时时，00 x

6、yD D D D 当当时时，有有，sinyx=所所以以函函数数在在其其定定义义域域内内是是连连续续的的。sinsin2cossin22xyxyxy+-+-=-=和和差差化化积积公公式式：1.3.2、函数的间断点、函数的间断点如果函数如果函数f(x)在在点点x0有以下有以下三种情况之一：三种情况之一：01fxx、在在点点没没有有定定义义;02 limxxfx、不不存存在在；0003 limlimxxxxfxfxfx、存存在在，但但则称函数在点则称函数在点x0为不连续，为不连续，x0称为函数的称为函数的不连续点或不连续点或间断点。间断点。sin xyx=例例函函数数0 x=在在点点处处没没有有定定

7、义义，因因此此函函数数在在该该点点是是不不连连续续点点，0sinlim1xxx=但但，sin010 xxyxx=并并且且如如果果定定义义时时，0 x=此此时时称称点点是是函函数数的的可可去去间间断断点点。0 x=函函数数在在点点处处连连续续，可去间断点可去间断点只要改变或补充间断只要改变或补充间断点的函数值定义后，间断点可以变点的函数值定义后，间断点可以变成连续点。成连续点。10010 xxfxxxx+=-讨讨论论函函数数在在点点例例处处的的连连续续性性。解解：0lim1xfx+=因因为为，0lim1xfx-=-=-，00 xx=函函数数在在时时极极限限不不存存在在，点点为为间间断断点点。0

8、x=函函数数左左、右右极极限限存存在在但但不不相相等等，我我跳跳跃跃们们称称点点为为间间断断点点。tan2yxx=函函数数在在处处没没有有定定义义，该该点点为为例例函函数数的的间间断断点点。2limtanxx=又又，tan2xyx=此此时时我我无无们们称称是是函函数数的的穷穷间间断断点点。1sin0000 xfxxxx =讨讨论论函函数数在在点点例例的的连连续续性性。解解：10sin11xx-时时，在在和和 之之间间震震荡荡，001limlimsinxxfxx=不不存存在在，0fxx=在在点点间间断断，我我们们称称这这类类间间断断点点为为震震荡荡间间断断点点。xyxy1sin=01.3.3、初

9、等函数的连续性、初等函数的连续性一、一、一切基本初等函数在其一切基本初等函数在其定义域定义域内都是连续的。内都是连续的。二、二、设函数设函数f(x)和和g(x)在点在点x0连续连续 则函数则函数 在点在点x0也连续也连续 f(x)g(x)f(x)g(x)()(xgxf(当0)(0 xg时)三、三、设函数设函数y=fg(x)由函数由函数y=f(u)与函数与函数u=g(x)复合而成复合而成 若函数若函数 u=g(x)在点在点 x0 连续连续 函数函数 y=f(u)在点在点u0=g(x0)连连续续 则复合函数则复合函数y=fj j(x)在点在点x0也连续也连续 000limlimxxxxfg xfg

10、 xfg x =四、四、初等函数在其初等函数在其定义区间定义区间内是连续的。内是连续的。10limcos(1)xxx+例例：求求极极限限10limcos(1)xxx+解解：10cos lim(1)xxx=+=+cose=1sinyx=讨讨论论函函数数的的例例连连续续性性。总结：总结：由于函数在其连续点由于函数在其连续点x0满足满足 00limxxfxfx=初等函数在其有定义的点处求极限初等函数在其有定义的点处求极限求这一点的函数值。求这一点的函数值。21arctanlim5xxx-例例求求2arctan1=851-例例121(1)(2)lim(1)(1)xxxxxx-+-+2313(1)lim

11、1xxxx-+-3131lim11xxx+=-2212lim(1)(1)xxxxxx-=-+212lim1xxx x+=+121)1)(1(1lim1+-xxxx=-11lim221xxx、例=+=11lim1xx（因式分解，（因式分解，去掉零因子）去掉零因子）3113 lim1xxx-例例：32331323111lim111xxxxxxxxx-+=-+132311lim11xxxxxx-+=-+132312lim31xxxx+=+（有理化，（有理化，去掉零因子）去掉零因子）1111111(sin)(sin)lim(cos)(sin)xxxxxxxx+-+=-+0 0sinlim(1cos)(

12、1sin1)xxxxxx=-+00 xsin xx2)cos1(2xx-220lim(1sin1)2xxxxx=+02lim1sin1xxx=+01sin14 lim1cosxxxx+-例例、1=43，分子的最高次幂高于分母的最高次幂；x 时，有理函数的极限33422411limlim031311xxxxxxxxxx+=-+-+34，分子的最高次幂低于分母的最高次幂；43334515limlim31131xxxxxxxxxx-=-+-+=33232311313limlim113131xxxxxxxxxx+-+-=+=-33=，分子的最高次幂等于分母的最高次幂；一般地=+-mnmnbamnbxb

13、xbaxaxammmnnnx 0 lim00110110=+-mnmnbamnbxbxbaxaxammmnnnx 0 lim00110110 32216179lim1xxxPx例例、例例-+=例7=-521lim5xxx)21)(5()21)(21(lim5+-+-xxxxx)21)(5(5lim5+-=xxxx211lim5+-=xx41=（有理化，去掉零因子）（有理化，去掉零因子）222(2)(2)lim(2)xxxxxxxx+-+=+22lim(2)xxxx+=+=+=+)112(2lim2xx128 lim(2)xxxx+-例、1.3.4、闭区间上连续函数的性质、闭区间上连续函数的性质

14、定理定理8（最值定理最值定理）闭区间闭区间a,b上的连续函数上的连续函数f(x)在在该区间上至少取得它的最大值该区间上至少取得它的最大值M和最小值和最小值m各一次。各一次。推论推论6 闭区间闭区间a,b上的连续函数上的连续函数f(x)一定有界。一定有界。定理9（介值定理）若若y=f(x)在闭区间在闭区间a b上连续上连续 且且f(a)f(b)则对于则对于f(a)与与f(b)之间的任意一个常数之间的任意一个常数C 在开区间在开区间(a b)内至少有一点内至少有一点x x 使使得得f(x x)=C (a x x b)定理的几何意义：定理的几何意义：连续曲线连续曲线f(x)与水平直线与水平直线y=c

15、至少相交于一点。至少相交于一点。推论（零点定理）设函数设函数f(x)在闭区间在闭区间a b上连续上连续 且且f(a)f(b)0 f(1)=-=-20 根据推论根据推论,在在(0 1)内至少有一点内至少有一点x x 使得使得 f(x x)=0 即即 x x 3-4x x 2+1=0 (0 x x11 这说明方程这说明方程x3-4x2+1=0在区间在区间(0 1)内至少有一个根是内至少有一个根是x x 第二章 一元函数微分学一、导数的概念二、导数的运算三、微分四、导数的应用本章简介本章简介导数与微分是微分学中的两个基本概念。其中导数是研究函数相对于自变量的变化的快慢程度，即函数的变化率；而微分则是

16、指当自变量有微小变化时，函数改变量的近似值。本章重点本章重点导数与微分的概念；基本初等函数的求导公式；求导法则。本章难点本章难点导数与微分的概念；复合函数的求导法则。实例实例1.变速直线运动的瞬时速度问题变速直线运动的瞬时速度问题0t如图如图,0tt 的的时时刻刻取取一一邻邻近近于于,tD D运动时间运动时间svt=平平均均速速度度DD0000)()(tttftfttss-=-=,0时时当当tt 取极限得取极限得tDt0000()()()limttf tf tV ttt-=-瞬时速度瞬时速度2.1 2.1 导数的概念导数的概念设物体作直线运动所经过的路程为设物体作直线运动所经过的路程为s=f(

17、t)求求t0时刻时刻瞬时速度瞬时速度.2.1.2 导数的定义导数的定义定义定义1 设函数设函数 f(x)在在 x0及其及其 某个邻域内有定义某个邻域内有定义,当自当自变变量量x在在 x0处取得增处取得增 量量x 时时,相应地函数相应地函数 y取得增量取得增量 0000()()limlimxxf xxf xyxxD D D D+D D-D D=D DD D如果如果存在存在,则称函数则称函数 y=f(x)在在 x0 处可导处可导,或称或称y=f(x)在在 x0 处有处有导数。导数。该极限值就是该极限值就是 f(x)在点在点 x0 处的导数，处的导数，记为记为0(),fx 0,x xy=0 xxdy

18、dx=或或0.xxdfdx=00()()yf xxf xD D=+D D-0()fx 000()()limxxf xf xxx-=-0 xxxD D=-令令00000()()()limlimxxxfxfxyfxxxxD D-D D=D D-00000()()()limlimxxf xxf xyfxxxD D D D+D D-D D=D DD D fxafa 已已知知函函数数在在点点 处处的的导导数数例例：存存在在，0lim.hf ahf ahh+-+-试试计计算算 0limhf ahf ahh+-+-解解：0limhf ahf af af ahh +-+-=2fa=00limlimhhf ah

19、f af af ahhh +-=+很明显很明显.)()(00 xxxfxf=,().xIf x 对对于于任任一一都都对对应应着着的的一一个个确确定定的的导导数数：导导数数值值函函xxfxxfyxD D-D D+=D D)()(lim0即即x().f x这这个个函函数数叫叫做做原原来来函函数数的的导导函函数数x从从而而 和和它它对对应应点点的的导导数数值值之之间间构构成成了了新新的的函函数数。(),(),.dydf xyfxdxdx 记记作作或或由导数定义可知：由导数定义可知：00()()()(),()();v ts ttv ts tv ts t =变变速速直直线线运运动动的的（瞬瞬时时）速速度

20、度，是是路路程程函函数数对对时时间间 的的导导数数，由定义求导数步骤由定义求导数步骤:);()()1(xfxxfy-D D+=D D求增量求增量;)()()2(xxfxxfxyD D-D D+=D DD D算算比比值值.lim)3(0 xyyxD DD D=D D求求极极限限例例1 设设 ，求，求 2yx=2xy=解一解一222224yxxxD=+D-=D+D4yxxD=+DD0lim4xyxD D=D所以所以 24xy=2200limlimxxxxxyyxxD D+D-D=DD0lim 22xxxxD=+D=解二解二224xyx=例例2 24()sin,(sin)(sin).xf xxxx=

21、设设函函数数求求及及解解0sin()sin(sin)limxxxxxxD D+D-+D-=D D0sin2lim cos()22xxxxxD D D DD D=+=+D Dcos.x=44(sin)cosxxxx =2.2=(cos)sinxx=-同理(sin)cos.xx=即13xyxyy=例例、求求和和yxxxD D=+D D-解解：()()xxxxxxxxx+D D-+D D+=+D D+xxxxD D=+D D+01limxxxxD D=+D D+12x=112xy=0limxyyxD D D D =D D单侧导数导数与单侧导数的关系 函数函数f(x)在开区间在开区间(a b)内可导是

22、指函数在区间内每内可导是指函数在区间内每一点可导一点可导 函数函数f(x)在闭区间在闭区间a b上可导是指函数上可导是指函数f(x)在开区间在开区间(a b)内可导内可导 且在且在a点有右导数、在点有右导数、在b点有左导数点有左导数 函数在区间上的可导性 0000limxxf xf xfxxx-=-0000limxxf xf xfxxx+-=-0fxx在在处处的的左左导导数数 0fxx在在处处的的右右导导数数 000fxAfxfxA+-=0fxxx=求求函函数数在在例例4 4处处的的导导数数。解解：000limxfxfxDDD+-+-000limlimxxxxxxDDDDDD-=01xxxD

23、DD=-D=-D D当当时时，0lim1xxxD D D D=-=-D D有有；001lim1.xxxxxxD D D DD DD D =D DD D当当时时，有有 00000,limxfxfffx+-D D+D D-D D所所以以不不存存在在。0()(0)(0)lim0 xf xffx+-=-0sinsin0lim0 xxx-=-0sinlim1xxx-=02tan0lim0 xxx+-=-02tanlim2xxx+=sin(0)2(),(0).2 tan(0)2xxfxfxx -=求求 例例5 已知已知0()(0)(0)lim0 xf xffx-=-解解 因为因为(0)(0)ff-+所以所

24、以(0)f 不存在 ，从而，从而M0 xxyo()yf x=T000()()yyfxxx-=-00()(,()yf xM xf x=曲曲线线在在点点处处的切线方程的切线方程0001()()yyxxfx-=-法线方程法线方程0()0)fx NyDxxD+000()limxyfxxD DD D=D DxDtanlim=tan=M就就是是过过点点的的切切线线斜斜率率.0000()()(),f xxfxyf xx f x=函函数数在在 点点的的导导数数在在几几何何上上表表示示的的是是：曲曲线线在在（）点点处处的的的的切切线线斜斜率率。2.1.3 导数的几何意义导数的几何意义例例3 3.,)4,2(2方

25、方程程和和法法线线方方程程并并写写出出在在该该点点处处的的切切线线斜斜率率处处的的切切线线的的在在点点求求曲曲线线xy=解解根据导数的几何意义根据导数的几何意义,得切线斜率为得切线斜率为2=xyk所求切线方程为所求切线方程为法线方程为法线方程为),2(44-=-xy14(2),4yx-=-.044=-yx即即4180.xy+-=+-=即即xxy2)(2=42=xyk2.1.4 可导与连续的关系可导与连续的关系000limlimlimxxxyyxxxxD D D D D D D DD D D D =D D D DD D 结论：结论：可导的函数一定是连续的。可导的函数一定是连续的。证证,)(0可可

26、导导在在点点设设函函数数xxf00()limxyfxxD D D D=D D.)(0连连续续在在点点函函数数xxf 000fx=0limxyD D D=D=比如比如处处连连续续但但不不可可导导在在函函数数0)(=xxxf解解xy=xyo(0)(0),xfxfxxD D+D D-=D DD D00(0)(0)limlimxxfxfxxx+D D D D+D-D+D-D=DDDD,1=00(0)(0)limlimxxfxfxxx-D D D D+D D-D D=D DD D.1-=0limxyxD D D DD D即即不不存存在在，.0)(点点不不可可导导在在函函数数=xxfy例例4 4.0,0,00,1sin)(处的连续性与可导性处的连续性与可导性在在讨论函数讨论函数=xxxxxxf解解1sin,x是是有有界界函函数数01sinlim0=xxx.0)(处连续处连续在在=xxf处处有有但但在在0=xxxxxyD D-D D+D D+=D DD D001sin)0(xD D=1sin.11,0之间振荡而极限不存在之间振荡而极限不存在和和在在时时当当-D DD DD Dxyx.0)(处不可导处不可导在在=xxf0)(lim)0(0=xffx小结v函数连续性的定义v利用连续性求解函数极限v介值定理和零点定理的应用v导数的定义v可导与连续的关系