高等数学(二)09-第五讲-导数在实际问题中的应用-5课件.pptx

1、高等数学全程教学视频课第26讲导数在实际问题中的应用导数广（X）=lim 的实际意义4宀0 Ax-因变量y=f（x）关于自变量x的变化率电流电量关于时间的变化率化学反应速度物质浓度关于时间的变化率流量流体体积（质量）关于时间的变化率种群增长率种群数量关于时间的变化率边际经济变量关于产品数量的变化率 鑿 _ 第2 6讲导数在实际问题中的应用问题的引入一 Z I 宀I l VTT7 V I、一r-L I 1 WT7 ir r、/变化率相关变化率第26讲导数在实际问题中的应用7r 一 Z I W 17 VTT7 V I r-、II主要内容I I r t1例1当运动员从10m高台跳水时，运动员跳向 空

2、中到进入水面的过程中，不同时刻的速是不 同的.设在ts时运动员相对水面高度为9 19.6H(t)=-4.9t2+t+10(m)kJ问：(1)在2 s时运动员的下降速度为多少？(2)运动员跃起后何时上升的速度为0?(3)运动员入水刹那的速度为多少？第2 6讲导数在实际问题中的应用变化率一 Z I 宀I l VTT7 V I、一r-、|1 *|，9 19.6H(t)=-4.9t2+t+10(m)问：(1)在2 s时运动员的下降速度为多少？例1解(1)H(t)=-4.9t2+性 t+1019.6=98t+3,19.6H(2)=(-9.8t+.)|=2=13.0667(m/s)M-第2 6讲导数在实际

3、问题中的应用变化率7r 一 Z I 宀I l VTT7 V I、一r-、|1 *|，9 19.6H(t)=-4.9t2+t+10(m)问：(2)运动员跃起后何时上升的速度为0?例1解(2),19.6Hf(t)=98t+-=02t=s3-/第2 6讲导数在实际问题中的应用变化率7r fA I 17*,j n VTT7 V I Xr-、|1|c.9 19.6H(t)=-4.9t2+t+10(m)问：(3)运动员入水刹那的速度为多少？例1解(3)9 19.6H(t)=-4.9t2+-t+10=0t=2.24314,19.6H(2.24314)=(98t+.)|D.24314=-15.4494(m/s

4、)命-第2 6讲导数在实际问题中的应用变化率7r 一 Z I 宀I l VTT7 V I、一r-、|1 *|，例2设有一质量分布均匀的直细杆，若该细杆长度为(m),质量 为m(kg)，则该细杆的线密度(单位长度上的质量)为今有P=m了(kg/m)长度为Z、质量分布非均匀的细杆，其质量分布函数为f(x)=f(kg)，求其在任一点处的线密度.%x+Ax第26讲导数在实际问题中的应用变化率7 一 z I 17 I VrT7 V I v、|1 I C，例3导体中电荷的定向流动产生电流，电流的大小就是单位时间 内通过导体横截面的电量.如果流经导体横截面的电荷随时发生 变化，设在t(s)时通过导体横截面的

5、电量为Q(t)(C)，则在到 t+At时间内通过导体横界面的平均电流为Q(t+At)-Q(t)”At因此在t(s)时的电流为侄=d*=Q(t)(C/s 或 A).-/第2 6讲导数在实际问题中的应用变化率7r fA I 17*,j n VTT7 V I Xr-、|1|c.例4环保部门对企业的污水排放下达了限期达标的通告，为督促企业切实有效地治理污染，在规定的排污达标日期前，对甲、乙两家企业进行检查，连续检测结果如图所示，其中W(t)和W2(t)分别是甲乙两家企业的排污量W(排污量)-(时间)第26讲导数在实际问题中的应用变化率1（當小）J當）條（當小）一”2（當）At At在时间区间t0 Jt

6、,to内，企业甲比企业乙的平均减排率大.W（排污量）Jtw2(t)W4(to)=住o)乂（时间）0 第2 6讲导数在实际问题中的应用变化率W(t)W(t At)I X X 丿lim4E0+AtW（t At）W（t）=lim4E0+=Wf（t）该值越大，说明W（t）减少得标准 越快，污染治理越有成效.to 一心 當导数在经济学中的应用边际通常指经济变量的变化率.边际成本、边际收入和边际利润分别为成本函数。3)、收益函数R(x)和利润函数L(x)的导数，即 C(x)-边际成本 R(x)边际收入 L(x)边际利润-/第2 6讲导数在实际问题中的应用变化率7r fA I 17*,j n VTT7 V

7、I Xr-、|1|c.由于需求或供给量多为离散的量，因此所谓的边际成本通常 定义为如=c(x+1)-c(x),对边际收入和边际利润也是如此.AC解释为当产量为x时，增加一个单位产量所需增加的成 本.由于通常X远大于1,所以由近似公式，有=C(x+1)-C(x),因此，将cr(x)和如同称为边际成本.ffi)-1第2 6讲导数在实际问题中的应用变化率7r 一 Z I 宀I l VTT7 V I、一r-、|1 *|，例5某企业生产x件产品的成本为C(x)=10000+5%+0.01%2(元),则边际成本函数为Cr(x)=(10000+5%+0.01x2)=5+0.02%(元/件).特别，当生产规模

8、为500件时，边际成本为C(500)=(5+0.02x)145。=15(元/件).-/第2 6讲导数在实际问题中的应用变化率7r fA I 17*,j n VTT7 V I Xr-、|1|c.F 表给出了 x=100,200,300,400,500 时,C(x)与如的比较.产量产量C，(x)如如=C(x+1)C(x)Cr(x)AC10077.01-0.0120099.01-0.013001111.01-0.014001313.01-0.015001515.01-0.01第26讲导数在实际问题中的应用变化率A I W I,I V I 、q、r i例6设直圆锥的底半径尸、高互都是时间的可微函数，则

9、其体积U也是时间t的可微函数，试给出变化率栄、关和半的关系.at at at例6解圆锥的体积为1 7V=nrh3将等式两边同时关于时间t求导数，得到dV n dr o dh-T=-(2rh+r2)dt 3 dt dt密-/第26讲导数在实际问题中的应用相关变化率7r fA I 17*,j n VTT7 V I Xr-L II、，I c(例7有一深度为8米、上底直径为8米的正圆锥容器，现向该容 器以每分钟4立方米的速度注水.问：当容器中水深为5米时，水面上升的速度为多少？第2 6讲导数在实际问题中的应用相关变化率I 宀 I1 VTT7 V I、一r-L II、，|(例8现有甲乙两条正在航行的船只

10、，甲 IB 船向正南直线航行,乙船向正东直线航-f-行.开始时甲船恰在乙船正北40km处.|40kmI第26讲导数在实际问题中的应用问题的引入7 Z I 17 I VrT7 V I v II|WT7 I r r、/例8现有甲乙两条正在航行的船只，甲 船向正南直线航行,乙船向正东直线航 行.开始时甲船恰在乙船正北40km处.后来在某一时刻测得甲船向南航行了 20km,此时速度为15km/h;乙船向东 航行了15km，此时速度为25km/h.问这时两船是在分离还是在接近，该时 刻的速度是多少？第26讲导数在实际问题中的应用P15km问题的引入解决相关变化率问题的一般步骤为：1.画出示意图，为各相关变量命名，并标注在示意图中;2.用变量符号写出已知数据，并注意统一量纲；3.正确建立各变量之间的关系，这是非常重要的一步；4.对所建立的关系式关于时间（或其它属性的变量）求导数，得含有导数的关系式；5.根据已知条件，计算出要求的变化率.-第2 6讲导数在实际问题中的应用问题的引入 vA I I ,WT7 f I rrI Vfx I r r、/