高数下辅导-资料课件.ppt
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1、高等数学下(高等数学下(B)复习课)复习课2019-5-18第一部分第一部分 多元函数微分多元函数微分学学考点概览:1、二元函数(定义域、函数关系)2、二元函数偏导数 3、二元函数的全微分求法 4、二元函数的二阶偏导数 5、二元函数的全微分 6、多元复合函数的求导法则 7、隐函数的偏导数和全微分 8、几个重要关系 9、二元函数极值1),0.,(,)|0,0zA AzxyxyDx yxyxy如,且22222)ln,0.ln(16),(,)|16zA AzxyDx yxy如,222222113),0.,ln(4)40ln(4)0zAzAxyxyxy如,须且,2222(,)|4,3即且Dx yxyx
2、y1(,)zf x y、二元函数(1 1)定义域)定义域23(,)|01,01(,),(,)zf x yDx yxyf xy设则的定义域的定义域为为什么?例例1 1:(2)函数关系)函数关系33(,)2,(,).f x yxyfxy设求例例2 2:解:直接代入法解:直接代入法33(,)()2()fxyxy 332xy(2)函数关系)函数关系22(,),(,).f xy xyxyf x y设求例例3 3:解:解:22(,)f xy xyxy()()xy xy,uxy vxy令,(,)f u vuv则,(,).f x yxy所以 解解练习练习1:22,(,)(,)_.ffxxxyy xyy则则已已
3、知知 22(,)()2,(,)2f xy xyxyxyf u vuv则则 2(,)2.f x yxy从从而而 7(2)函数关系)函数关系22(,)3,(,).f xy xyxyf x y设求练习练习2 2:解:换元法解:换元法xyuxyv令2222(,)322uvvuf u vuuvv22uvxvuy22(,)f x yxxyy82、二元函数的偏导数二元函数的偏导数000000000(,)000000(,)(,)(,)zlim(,),(,),(,).xxyxxxxyf xx yf xyxxffxyzxyzxyx 也也记记作作,000000000(,)000000(,)(,)(,)zlim(,)
4、,(,),(,),.xxyyyyxyf xyyf xyyyffxyzxyzxyy 也也记记作作3、二元函数的偏导数的求法二元函数的偏导数的求法(,),(,)zzf x yzf x yyxx 对对求求时时,将将中中的的变变量量 看看成成常常数数,而而对对自自变变量量 求求导导。0000(,)(,)xx xfxyfx y0000,(,)(,)yyyzfxyfxyy同同理理对对附:一元函数的求导公式(须熟记):附:一元函数的求导公式(须熟记):小结:小结:函数表达式比较复杂,求具体点的偏导数,函数表达式比较复杂,求具体点的偏导数,化成一元函数的求导化成一元函数的求导.例例(1,0)ln(),(1,0
5、).yyzzxfxx设设求求(1,0)0,zyx解解:为为求求,先先令令ln(0)lnzxx1(1,0)11(ln)1.xxzxxx(1,0)1,yfx同同理理,为为求求,先先令令ln(1)zy001(1,0)(ln(1)1.1yyyfyy例例例例求偏导函数求偏导函数(,)sin,().求或写为xyyf x yxeyfflnsin(),.zzxyx求4、二元函数的二阶偏导数二元函数的二阶偏导数,zzx yxy 对对,继继续续关关于于求求偏偏导导221(,)xxzzxfx yxx()22(,)xyzzxfx yx yy()23(,)yxzyzfx yy xx()224(,)yyzyzfx yyy
6、()235221),zzx yx yx求;2222222)ln,.zzzxyxy求例例5、二元函数的全微分二元函数的全微分(,)zzzf x ydzdxdyxy的的全全微微分分为为:00000000(,)(,)(,)(,)xyxyxyzzzf xydzdxdyxy的的全全微微分分为为:例例22ln(),.zxy设设求求d dz zxydzz dxz dy解解:222222.xydxdyxyxy例例arctan,.xzy设设求求dzdzxydzz dxz dy解解:222222.yxdxdyxyxyydxxdyxy6、多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则回忆:一元复合函数的求导法则回忆:
7、一元复合函数的求导法则链式法则链式法则uxzxuxuxzzufu推广推广?()zf u x fuvxzy xz uzxu vzxv yz uzyu vzyv 变量树图变量树图uvxuxvxyuyvyzfufvzfufv简写:),(),(yxyxfz 解解 xz uzxu vzxv 1cossin veyveuu).cos()sin(yxyxyexy yz uzyu vzyv 1cossin vexveuu).cos()sin(yxyxxexy 例例,sinyxvxyuvezu 设设.yzxz 和和求求解解例例(25,),.xyxyzfxy ezz求、2xyxuxvxuvzfufvfyef,5.
8、xyyuyvyuvzfufvfxefuv练习:练习:22(,),.zx xydz求(),.xyzg xyzz设求、练习:练习:(),().xyzyg xyzxg xy答案:答案:(2)(2).xyuvvdzz dxz dyxdxydy答案:答案:7、隐函数的偏导数和全微分、隐函数的偏导数和全微分(,)0(,),zzF x y zzz x yxy由由确确定定了了,求求公公式式法法(优优先先掌掌握握)、直直接接求求导导法法-(,),.zxyyzzxezz x ydz设方程确定函数求 解:解:(,)zF x y zxyyzzxe,zxyzFyz Fzx Fxye ,xxzzFyzzFexy .yyz
9、zFzxzFexy 例例.yzzxyzzxdxdyexyexdzz dxz dyy8、几个重要关系、几个重要关系偏导数存在偏导数存在9、二元函数极值、二元函数极值00(,)0,xfxy驻驻点点:.0),(00 yxfy),(),(00yxyxfz在在点点设设函函数数 的某邻域内连续的某邻域内连续,有一阶及二阶连续偏导数有一阶及二阶连续偏导数,0),(00 yxfx又又,0),(00 yxfy,),(00Ayxfxx 令令,),(00Cyxfyy,),(00Byxfxy),(),(00yxyxf在在点点则则处是否取得极值的条件如下处是否取得极值的条件如下:(1)时时02 BAC有极值有极值,时时
10、当当0 A有极大值有极大值,时时当当0 A有极小值有极小值;(2)时时02 BAC没有极值没有极值;(3)时时02 BAC可能有极值可能有极值,也可能无极值也可能无极值.求函数求函数 极值的一般步骤极值的一般步骤:),(yxfz 第一步第一步解方程组解方程组 0),(0),(yxfyxfyx求出实数解求出实数解,得驻点得驻点.第二步第二步 对于每一个驻点对于每一个驻点),(00yx求出二阶偏导数的值求出二阶偏导数的值.CBA、第三步第三步 定出定出2BAC 的符号的符号,再判定是否是极值再判定是否是极值.例例 求函数求函数xyyxyxf3),(33 的极值。的极值。解解,33),(2yxyxf
11、x .33),(2xyyxfy 求解方程组:求解方程组:.033,03322xyyx得驻点得驻点 .,22xyyx).1 ,1(),0 ,0(,6),(xyxfxx,3),(yxfxy.6),(yyxfyy,)0 ,0(处处在在,0)0,0(xxfA,3)0,0(xyfB.0)0,0(yyfC92 BAC.0 因此,驻点因此,驻点.)0 ,0(不是极值点不是极值点,6),(xyxfxx,3),(yxfxy.6),(yyxfyy,)0 ,0(处处在在,0)0,0(xxfA,3)0,0(xyfB.0)0,0(yyfC92 BAC.0 因此,驻点因此,驻点.)0 ,0(不是极值点不是极值点,)1 ,
12、1(处处在在,06)1,1(xxfA,3)1,1(xyfB.6)1,1(yyfC22)3(66 BAC.027 因此,驻点因此,驻点.)1 ,1(是是极极小小值值点点.111311)1,1(33 f极极小小值值第二部分第二部分 二重积分二重积分考点概览:1、二重积分的概念几何意义 2、二重积分的简单性质 3、二重积分的定限 4、直角坐标系下交换积分次序 5、在直角坐标系下计算二重积分 6、在极坐标系下计算二重积分),(yxfz 曲顶柱体体积曲顶柱体体积=引例曲顶柱体的体积引例曲顶柱体的体积D曲顶柱体曲顶柱体0),(yxf),(yxfz 以以xOy面上的闭区域面上的闭区域D为底为底,D的边界曲线
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