2020 中考数学压轴题破解策略专题训练 专题21《等腰三角形的存在性》(01).doc
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1、 专题专题 2121等腰三角形的存在性等腰三角形的存在性 破解策略破解策略 以线段AB为边的等腰三角形构造方法如图 1 所示: 等腰三角形的另一个顶点在线段AB的垂直平分线上,或以A,B为圆心、AB长为半径 的圆上(不与线段AB共线) 解等腰三角形的存在性问题时, 若没有明确指出等腰三角形的底或腰, 就需要进行分类 讨论通常这类问题的解题策略有: (1)几何法:先分类讨论,再画出等腰三角形,后计算 如图 2,若ABAC,过点A作ADBC,垂足为D,则BDCD,BADCAD,从而利 用锐角三角函数、相似三角形等知识解决问题 (2)代数法:先罗列三边长,再分类讨论列方程,然后解方程并检验 有时候将
2、几何法和代数法相结合,可以使得解题又快又好 例题讲解例题讲解 例例 1 如图,正方形ABCD的边长是 16,点E在AB边上,AE3,F是BC边上不与B,C重 合的一个动点,把EBF沿EF折叠,点B落在B处若CDB恰为等腰三角形,则DB 解解 16 或 45 如图 1,当CBCD时,点F与点C重合,不符合题意,舍去; 如图 2,当DBCD时,DB16; 如图 3,当DBBC时,过点B作GHAD,交AB于点G,交CD于点H 显然G,H分别为AB,CD的中点 由题意可得BE13,DHBG8,所以EG5, 从而BG 22 BEEG12,BH4, 所以DB 22 BHDH45 A B 图 1 A B C
3、 D 图 2 A B C D E F B 如图 2 所示:当DBCD时,则DB16(易知点F在BC上且不与点C、B重合) 图 2 如图 3 所示:当BDBC时,过B点作GHAD,则BGE90 图 3 当BCBD时,AGDH 1 2 DC8 由AE3,AB16,得BE13 由翻折的性质,得BEBE13 EGAGAE835, BG 22 12B EEG, BHGHBG16124, DB 22 45B HDH 例例 2 如图,在ABC中,ACB90,AC4cm,BC3cm如果点P由点B出发沿BA方 图 1 A B C D E B (F) 向向点A匀速运动, 同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动
4、, 它们的速度均为1cm/s 连 接PQ,设运动时间为t(s)(0t4), 解解:如图,过点P作PHAC于H, C90,ACBC, PHBC, APHABC, PH BC AP AB , AC4cm,BC3cm, AB5cm, 3 PH 5t t PH3 3 5 t,AH 4(5) 5 t QH 9 4 5 t,PQ 222 9318 (4)(3)1825 555 tttt 在APQ中, 当AQAP,即t5t时,解得:t1 5 2 ; 当PQAQ,即 2 18 1825 5 ttt时,解得:t2 25 13 ,t35; 当PQAP,即 2 18 1825 5 tt5t时,解得:t40,t5 4
5、0 13 ; 0t4, t35,t40 不合题意,舍去, 当t为 5 2 s或 25 13 s或 40 13 s时,APQ是等腰三角形 例例 3 如图,在平面直角坐标系xOy中,矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的 正半轴上,OA1,OC2,点D在边OC上且OD 5 4 (1)求直线AC的解析式; (2) 在y轴上是否存在点P, 直线PD与矩形对角线AC交于点M, 使得DMC为等腰三角形? 若存在,直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由 解解:(1)设直线AC的解析式ykxb, 又OA1,OC2, A(0,1),C(2,0)代入函数解析式求得:k 1 2 ,b1
6、直线AC的函数解析式:y 1 1 2 x (2)若DC为底边, M的横坐标为 5 2 4 2 13 8 , 则点M的坐标为(13 8 , 3 16 ) 直线DM解析式为:y 15 28 x P(0, 5 8 ); 若DM为底,则CDCM 3 4 , AMAN 3 5 4 , N( 3 5 4 ,1), 可求得直线DM的解析式为y(52)x 5 4 (5+2), P(0, 5 4 (5+2) 若CM为底,则CDDM 3 4 点M的坐标为( 4 5 , 3 5 ) 直线DM的解析式为y 4 3 x 5 3 , 点P的坐标为(0, 5 3 ) 综上所述,符合条件的点P的坐标为(0, 5 8 ),(0
7、, 5 4 (5+2),(0, 5 3 ) 例例 4 已知抛物线yx 2mxn 的对称轴为x2,且与x轴只有一个交点 (1)求m,n的值; (2)把抛物线沿x轴翻折,再向右平移 2 个单位,向下平移 1 个单位,得到新的抛物线C, 求新抛物线C的解析式; (3)已知P是y轴上的一个动点,定点B的坐标为(0,1),问:在抛物线C上是否存在 点D,使BPD为等边三角形?若存在,请求出点D的坐标;若不存在,请说明理由 解解:(1)抛物线的对称轴为x2, m4 抛物线与x轴只有一个交点, m 24n0 从而 n4 H D O y x B P (2)原抛物线的表达式为yx 24x4(x2)2 所以抛物线
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