2020 中考数学压轴题破解策略专题训练 专题14《共顶点模型》(01).doc

1、 专题专题 1414共顶点模型共顶点模型 破解策略破解策略 1等边三角形共顶点等边三角形共顶点 等边ABC与等边DCE，B、C、E三点共线 H G F E D C B A 连结BD、AE交于点F，BD交AC于点G，AE交DC于点H，连结CF、GH，则： （1）BCDACE； （2）AEBD； （3）AFBDFE60； （4）FC平分BFE； （5）BFAFFC，EFDFFC； （6）CGH为等边三角形 证明证明 （1）由已知条件可得 CACB ACEBCD ECDC ，则BCDACE （2）由（1）得AEBD； （3）由（1）得GAFGBC，而AGFBGC，所以DFEAFBACB60 （4）方

2、法一方法一 如图 1，过点C分别作BD、AE的垂线，垂足分别为M、N 由（1）知SACESBCD，即 1 2 BDCM 1 2 AECN，所以CMCN，故FC平分BFE 图1 M N A BC D E F 方法二方法二 由CAFCBF，可得A、B、C、F四点共圆，所以BFCBAC60 同理可得CFECDE60所以FC平分BFE （5）如图 2，作FCI60，交BD于点I，则CFI为等边三角形 易证BCIACF，所以BIAF，IFCIFC 从而BFBIIFAFCF同理可得EFDFFC 图1 M N A BC D E F （6）易证ACHBCG（ASA） 可得CGCH，而GCH60，所以CGH为等

3、边三角形 2等腰直角三角形共顶点等腰直角三角形共顶点 等腰 RtABC与等腰 RtDCE中，ACBDCE90 图1 A B C D E F J I 图2 A B C D E G H 如图 1，连结BD、AE交于点F，连结FC、AD、BE，则： （1）BCDACE； （2）AEBD； （3）AEBD； （4）FC平分BFE； （5）AB 2DE2AD2BE2 （6）BFAF2FC，EFDF2FC； （7）如图 2，若G、I分别为BE、AD的中点，则GCAD、ICBE（反之亦然）； （8）SACDSBCE 证明（1）（2）（3）（4）证明见“等边三角形共顶点”； （5）因为AEBD，由勾股定理可得

4、AB 2DE2（AF2BF2）（DF2EF2）， AD 2BE2（AF2DF2）（BF2EF2） 所以AB 2DE2AD2BE2 （6）如图 3，过点C作CKFC，交BD于点K，则CFK为等腰直角三角形 易证BCKACF，所以BKAF从而BFBKKFAF2FC， 同理可得EFDF2FC K 图3 A B C D E F （7）如图 4，延长GC，交AD延长线于点H，延长CG至点K，使得GKGC，连结BK 易证KBGCEG，BKECCD 由题意可得ACDBCECBECEBBCE180， 所以ACDCBECEBCBGGBKCBK 可得ACDCBK（SAS） 则CADBCK， 所以ACHCAHACH

5、BCK90，故GCAD K G H 图4 E D C B A 如图 5，CJBE，延长JC交AD于点T，分别过点A，D作IJ的垂线，垂足分别为M、N由 已知可得AMCCJB；DNCCJE， 所以AMDNCJ，故有AMIDNI，所以AIDI，即可证 J I N M A B C D E 图5 （8）在（7）中的证明过程中可得到SACDSBCE；也可以用下面的方法来证明 如图 6，过点D作DPAC于点P，过点E作EQBC，交BC延长线于点Q 易证DPCEQC（AAS）所以DPEQ，故 1 2 DPAC 1 2 EQBC，即SACDSBCE Q P 图6 E D C B A 3等腰三角形共顶点等腰三角

6、形共顶点 等腰ACB与等腰DCE中，ACBC，DCCE，且ACBDCE F E D CB A 连结BD，AE交于点F，则： （1）BCDACE； （2）AEBD； （3）AFBACB； （4）FC平分BFE 4相似三角形共顶点相似三角形共顶点 ACB与ECD中， ACBC ECDC ，ACBECD G A B C D E F 连结BD，AE交于点F，则： （1）BCDACE； （2）AFBACB 证明证明（1）由已知可得 BCAC DCEC BCDACE 所以ACEBCD （2）由（1）可得CAFCBF 设AC与BD的交点为G，则AGFBGC， 所以AFBACB 例题讲解例题讲解 例例 1 如

7、图 1，在ABC中，BC4，以线段AB为边作ABD，使得ADBD，连结DC，再 以DC为边作CDE，使得DCDE，CDEADB （1）如图 2，当CDE45且90时，用等式表示线段AD，DE之间的数量关系； （2）将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，连结BF，AF 若90，依题意补全图 3，求线段AF的长； 请直接写出线段AF的长（用含的式子表示） 解解 （1）ADDE4 （2）如图 4，连结AE交BC于点G，设DE与BC的交点为H 由“等腰直角三角形共顶点”可得 ADEBDC（SAS） 所以AEBC，EGCEDC90 因为线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线 段EF 所以AEB

8、CFE4，AEEF 所以AF2EF24 AF8sin 2 如图 5，连结AE交BC于点G 由“等腰直角三角形共顶点”可得FEBCAE AEFEGCEDC 过点E作EHAF于点H 则AEH 2 1 AEF 2 1 所以AF2AH2AEsin 2 8sin 2 例例 2 如图 1，在ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DEBC，将ADE绕A点顺 时旋转一定角度，连结BD，CE，得到图 2，然后将BD，CE分别延长至M、N，使DM 2 1 BD， EN 2 1 CE，连结AM，AN，MN，得到图 3 （1）若ABAC，请探究下列数量关系; 在图 2 中，BD与CE的数量关系是 ； 在图 3 中

9、，猜想AM与AN的数量关系，MAN与BAC的数量关系，丙证明你的猜 想： （2）若ABk AC（K1），按上述操作方法，得到图 4，请继续探究：AM与AN的 数量关系；MAN与BAC的数量关系 解解 （1）BDCE AMAN，MANBAC 证明如下： 由“等腰三角形共顶点”可得CAEBAD（SAS） 所以CEBD，ACNABM 所以BMCN 从而ABMACN（SAS） 所以AMAN，BAMCAN 即MANBAC （2）AMk AN，MANBAC 证明如下： 由“相似三角形共顶点”可得CAEBAD， 所以k AC AB CE BD ，ACNABM 所以k AC AB CN BM 从而ABMACN

10、 所以AMk AN，BAMCAN 即MANBAC 进阶训练进阶训练 1 在平行四边形ABCD中，ADBC，过点D作DEDF，且EDFABD，连结EF，EC， N、P分别为EC，BC的中点，连接诶NP （1）如图 1，若点E在DP上，EF与DC交于点M，试探索线段NP与MN的数量关系及 ABD与MNP满足的等量关系； （2）如图 2，若点M在线段EF上，当点M在何位置时，你在（1）中得到的结论仍然成立？ 写出你确定的点M的位置，并证明（1）中的结论 解解 （1）NPNM，ABDMNP180 （2）M是线段EF的中点 【提示】（1）证DPBC，DCEF，根据直角三角形斜边中线定理可得NPNM 2

11、1 CE， ABDMNP2PDC2DCP180；或者连结BE，CF（如图），由“等腰三角形共顶点” 可证得结论 （2）如图，连结BE，CF，取EF中点G 连结NG，由“等腰三角形共顶点”和中位线定理， 即可得到点M与点G重合时（1）中结论仍成立 2 如图 1，在ABC中，ACB90，ACBC，EAC90，点M为射线AE上任意 一点（不与点A重合），连结CM，将线段CM绕点C按顺时针方向旋转 90得到线段CN， 直线NB分别交直线CM、射线AE于点F、D 2如图 1，在ABC中，ACB90，ACBC，EAC90，点M为射线AE上任意一点 （不与A重合），连接CM，将线段CM绕点C按顺时针方向旋转

12、 90得到线段CN，直线NB 分别交直线CM、射线AE于点F、D （1）直接写出NDE的度数； （2）如图 2、图 3，当EAC为锐角或钝角时，其他条件不变，（1）中的结论是否发生变 化？如果不变，选取其中一种情况加以证明；如果变化，请说明理由； （3）如图 4，若EAC15，ACM60，直线CM与AB交于G，BD 62 2 ，其他 条件不变，求线段AM的长 解： （1）NDE90； （2） （1）中结论不变，证明略； （3）6 【提示】 （2）由“共顶点模型”可得ACMBCN，所以BNCAMC，从而得到MDN MCN90 （3）由题意可得，BAE30，AMGAGM 75，而又（1）可得NDE

13、90，所 以AB2BD62 如图，过点G作GHBC于点H，则CH3GH3BH，从而AG 3BG，所以AG 3 3 AG62，解得AMAG6 H G F D N B AC E M 3 如图， ABC与DEF都是等腰三角形，AB，EF的中点均为O， 且顶角ACBEDF ，直线BF，CD交于点G，连结AG现将图中DEF绕点O旋转，请你确定AG取 最小值和最大值时点G的位置 E G F O B C A D 答案：以BC为直径作H，直线交于点G1，G2，则G1为AG取最小值时点G的位置，G2 为AG取最大值时点G的位置 G2 G1 H E G F O B C A D 【提示】 如图， 连结CO，DO， 构建两个相似的“直角三角形共顶点”， 从而得到BGC BOC90，从而点G在以BC为直径的圆上 E G F O B C A D