2020 中考数学压轴题破解策略专题训练 专题27《函数与线段》.doc

1、 专题专题 2727函数与线段函数与线段 破解策略破解策略 常见的有三类问题： 1距离问题 （1）点到直线的距离：如图，点P到直线l的距离，可线求出PAB的面积，则该三角形 AB边上的高线就是点P到直线l的距离 PP BA （2）点到点的距离（线段长度）： 若点 00 ,A x y， 11 ,B x y，则 22 0101 ABxxyy； 若点A在直线ykxb上，点B在抛物线 2 ymxnxc上，设点 00 ,A x kxb， 2 121 ,B x mxnxc，则 2 2 2 01021 ABxxkxbmxnxc， 当点A，B横坐标相同时， 2 021 ABkxbmxnxc 当点A，B纵坐标相

2、同时， 01 ABxx 2线段定值问题 （1）单独的线段定值：线段的定值可以成点到点的定值 （2）多个线段加、减、乘、除组合定值： 通过两点间的距离公式表示出对应的线段， 再代入多个线段加、 减、 乘、 除组合的式子中， 通过计算得出一个常数； 通过全等或相似找出线段间的关系，进行加、减、乘、除、运算后得到一个常数 3线段垂直问题 （1）代数法：证明两条线段垂直时，可以将两条线段所在直线的表达式求出 例如， 111 :lyk xb， 222 :lyk xb，则 12 1kk （2）几何法 根据几何图形的性质证明例如，根据等腰三角形三线合一，菱形的对角线互相垂直平分 等性质进行证明； 利用相似或

3、全等的性质，将等角转移，从而得到 90角 例题讲解例题讲解 例例 1 1 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线 1 1 2 yx与抛物线 2 3yaxbx交于A，B 两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为 3，P是线段AB下方的抛物线上的一个动点（不与点 A，B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PDAB于点 D （1）求a，b及 sinACP的值； （2）求出线段PC，PD长的最大值 解：（1）由 1 10 2 x ，得到x2，所以点A的坐标为2,0 由 1 13 2 x ，得到x4,所以点B的坐标为4,3 因为抛物线 2 3yaxbx经过A，B两点， 所以 11 , 22 ab ，

4、设直线AB与y轴交于点E，则点E的坐标为 0,1，AE 5 因为PC/y轴， 所以ACPAEO 所以 sinACPsinAEO 2 5 5 OA AE （2）由（1）可知，抛物线的表达式为 2 11 3 22 yxx， 设点P的坐标为 2 11 ,3 22 mmm ，点C的坐标为 1 ,1 2 mm PC 2 111 13 222 mmm 2 1 4 2 mm 219 1 22 m ， 所以当m1 时，PC有最大值 9 2 在 RtPCD中，PDPCsinACP 259 5 1 55 m ， 因为 5 0 5 ，所以当m1 时，PD有最大值 9 5 5 例例 2 2 如图，在平面直角坐标系xO

5、y中，开口向上的抛物线与x轴交于A，B两点，D为抛物 线的顶点，O为坐标原点 若A，B OAOB 两点的横坐标分别是方程 2 230xx的两根， 且DAB45 （1）求抛物线对应的二次函数表达式； （2）若C点坐标为 5,6，过点A任作直线l交线段CD于点P，若点C，D到直线l的距离 分别记为 12 ,d d，试求 12 dd的最大值 解：（1）解方程 2 230xx得 12 1,3xx ， 而OAOB， 则点A的坐标为 1,0 ，B的坐标为 3,0， 如图 1，过点D作 1 DDx轴于点D1，则D1为AB的中点， 所以点D1的坐标为 1,0 因为DAB45， 所以AD1DD12 所以点D的坐

6、标为 1, 2 令抛物线的表达式为ya（x1） 22，因为抛物线过点 A（1，0）， 所以 04a2，得a 1 2 ，所以抛物线的表达式为y 1 2 （x1） 22 （2）由已知条件可得AC62，AD22，DC45，所以AC 2AD2DC2， 所以CAD90，如图，过A作AMCD于点M x y l d1 d2 M B C A D O P 因为 1 2 ACAD 1 2 DCAM，所以AM 24 4 5 6 5 5 因为SADCSAPDSAPC，所以 1 2 ACAD 1 2 APd1 1 2 APd2， d1d2 24 AP 24 AM 24 5 6 5 45，即此时d1d2的最大值为 45

7、例例 3 3 已知：如图，抛物线 2 12 33 33 yxx 与坐标轴交于A，B，C三点，点A在点B 左侧，点C为抛物线与y轴的交点，BAC的平分线AE交y轴于点D，交BC于点E，过点D 的直线l与射线AC，AB分别交于点M，N证明：当直线l绕点D旋转时， 11 AMAN 均为 定值，并求出该定值 x y E M N D B C AO 解 设直线AC的表达式为ymx3 x G E M N D B C A O 将点A的坐标代入得330， 解得3m ， 所以直线AC的表达式为33yx 所以CAO60，D（0，1） 设直线MN的表达式为ykx1， 所以点N的坐标为 1 ,0 k 所以 131 3

8、k AN kk 将33yx与ykx1 联立得 2 3 x k ， 所以点M的横坐标为 2 3k 过点M作MGx轴，垂足为G，则AG 2 3 3k 因为MAG60，AGM90，所以AM2AG 42 32 2 3 33 k kk 故 331 113333 22 32312 32 231 k kkk AMANkk k 例例 4 4 如图，抛物线yx 2bxc 的顶点坐标为M（0，1），与x轴交于A，B两点 （1）求抛物线的表达式； （2）判断MAB的形状，并说明理由； （3）过原点的任意直线（不与y轴重合）交抛物线于C，D两点，连结MC，MD，试判断是 否MCMD，并说明理由 x y C M A B

9、O D x y F E C M ABO D 解：（1）因为抛物线yx 2bxc 的顶点坐标为M（0，1）， 所以抛物线的表达式为yx 21 （2）MAB是等腰直角三角形理由如下： 因为点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（1，0），所以OAOBOM1 所以AMOMAOBMOMBO45，所以AMB90，BMAM 所以MAB是等腰直角三角形 （3）MCMD理由如下： 如图，分别过点C，D作y轴的平行线，分别交x轴于点E，F，过点M作x轴的平行线，交 EC延长线于点G，交DF延长线于点H 设点D的坐标为（m，m 21），点 C的坐标为（n，n 21）， 所以OEn，CE1n 2，OFm，DFm21，

10、因为 OM1，所以CGn 2，DHm2 因为EGDH，所以 CE DF OE OF ，即 2 2 1 1 n m n m ，所以mn1，即m 1 n 因为 CG GM 2 n n n， MH DH 2 m m 1 m n，所以 CG GM MH DH 因为CGMMHD90，所以CGMMDH，所以CMGMDH 因为MDHDMH90，所以CMGDMH90， 所以CMD90，即MCMD 进阶训练进阶训练 1已知抛物线yax 2bxc 的顶点坐标为（1，0），与y轴的交点坐标为（0， 1 4 ），R （1，1）是抛物线对称轴l上的一点 （1）若P是抛物线上的一个动点（如图 1），求证：点P到点R的距离

11、与点P到直线y 1 的距离恒相等； （2）设直线PR与抛物线的另一交点为Q，E为线段PQ的中点，过点P，E，Q分别作直线y 1 的垂线，垂足分别为M，F，N（如图 2）求证：PFQF x y l M R O P x y l F E N Q M R O P 1略 【提示】（1）题意可得抛物线表达式为 21 1 4 yx 设点P的坐标为（x， 21 1 4 x），则PM 21 11 4 x 由两点间距离公式得PR 2（x1）2 22 2211 1111 44 xx （2）因为QNQR，PRPM，所以PQPRQRPMQN根据题意可得EF为梯形PMNQ的中 位线，即EF 1 2 （QVPM） 1 2

12、PQ所以EFEQEP，即点F在以PQ为直径的圆上，所以 PFQF 2、如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线32 2 xxy与x轴交于A，B两点（点A 在点B的右侧），与y轴交于点C，抛物线上有一动点P，过动点P作PEy轴于点E，交 AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连结EF，当线段EF的长度最短时，求出点P 的坐标 答案：当EF最短时，点P的坐标是（ 2 3 , 2 102 ）或（ 2 3 , 2 102 ） 提示：如图，连结OD，因为四边形OFDE是矩形，所以ODEF，所以当ODAC时，OD最短， 即EF最短根据OCOA，可以得到点P的纵坐标 x y E F D C BA O P

13、3、如图，在平面直角坐标系xOy中，ABx轴于点B，AB3，tanAOB 4 3 ，将OAB绕 着原点O逆时针旋转 90，得到OA1B1，再将OA1B1绕着线段OB1的中点旋转 180，得到 OA2B1，抛物线0 2 acbxaxy经过点B，B1，A2 （1）求抛物线的表达式； （2）在第三象限内，抛物线上是否存在点Q，使点Q到线段BB1的距离为 2 2 ？若存在，求 出点Q的坐标；若不存在，请说明理由 答案：（1）抛物线的表达式为4 3 1 3 1 2 xxy （2）存在点Q的坐标是（1，4）或（3，2） 提示： （2） 假设在第三象限的抛物线上存在点Q（ 00, y x） ， 使点Q到直线

14、BB1的距离为 2 2 ， 连 结BB1， 过 点Q作QDBB1于 点D， 过Q作QEX轴 于 点E， 因 为 2 2 2 24 2 1 , 3 8 2 3 2 1111 2 0 QBBOBBOBQBQEB SxSSS 四边形 所以x01 或x03所以这样的点Q的坐标是（1，4）或（3，2） x y B1 A1 A A2 BO 4、如图，ABC为直角三角形，ACB90，ACBC，点A，C在x轴上，点B坐标为（3， m）（m0），线段AB与y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的抛物线过点B，D （1）求点A的坐标（用m表示）； （2）求抛物线的表达式； （3）设Q为抛物线上点P至点B之间的一个动

15、点，连结PQ并延长交BC于点E，连结BQ并 延长交AC于点F，证明：ECACFC的值为定值 答案：（1）点A的坐标为（3m，0）；（2）抛物线的表达式为12 2 xxy（3）略 提示：（3）如图，过点Q作QMAC于点M，过点Q作QNBC于点N，设点Q的坐标为（x， x 22x1），则 QMCN（x1） 2，MCQN3x，因为 m4，所以BCAC4，因为QM CE，所以PQMPEC，从而 PC PM EC QM ，即 2 11 2 x EC x 得EC2 （x1） 因为QNFC 所以BQNBFC， 从而 BC BN FC QN ， 即 4 143 2 x FC x 得FC 1 4 x ，因为AC

16、4，所以 812 1 4 124 1 4 x x x x ECACFC，所以FC（ACEC）的值 为定值 x y E FP D A C B O Q 5、如图，折叠矩形OABC的一边BC，使点C落在OA边的点D处，已知折痕BE55，且 3 4 OE OD ，以O为原点，OA所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，抛物线l： cxxy 2 1 16 1 2 经过点E，且与AB边相交于点F若M是BE的中点，连结MF，求证： MFBD 答案：提示因为 RtABDRtODE设OE3k，则OD4k，CEDE5k，ABOC8;，可得 AD6k，OABCBD10k，于是BE55105 22 kk，解得k1，所以抛物线的 表达式为3 2 1 16 1 2 xxy，因为DF 4 25 4 7 6 2 222 AFAD，BFAB AF8 4 25 4 7 ，BDE90，M是BE的中点（斜边中线的性质），所以MF是线段DB 的中垂线，故MFBD x y M F D E C A B O