2020 中考数学压轴题破解策略专题训练 专题22《直角三角形的存在性》.doc

1、 专题专题 2222直角三角形的存在性直角三角形的存在性 破解策略破解策略 以线段AB为边的直角三角形构造方法如右图所示： AB A B EC F E F A B C 直角三角形的另一个顶点在以A在以AB为直径的圆上，或过A、B且与AB垂直的直线 上（A，B两点除外） 解直角三角形的存在性问题时， 若没有明确指出直角三角形的直角， 就需要进行分类讨 论通常这类问题的解题策略有： （1）几何法：先分类讨论直角，再画出直角三角形，后计算 如图，若ACB90过点A、B作经过点C的直线的垂线，垂足分别为E、F则 AECCFB从而得到线段间的关系式解决问题 （2）代数法：先罗列三边长，再分类讨论直角，根

2、据勾股定理列出方程，然后解方程 并检验 有时候将几何法和代数法相结合可以使得解题又快又好！ 例题讲解例题讲解 例 1 如图，抛物线l：yax 22x3 与 r轴交于A，B（3，0）两点（点A在点B的 左侧）与y轴交于点C（0，3）已知对称轴为x1 （1）求抛物线的表达式； （2）设点P是抛物线l上任意一点，点Q在直线x3 上，问：PBQ能否成为以点P为 直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由 x y C BA O l x y C M N A BO Q l P x y l Q AO N B P M 解：（1）由题意可得点A的坐标为（1，0） 所以抛物线表达式

3、可变为ya（x3）（x1）ax 22ax3a 由点C的坐标可得3a3，a1 所以抛物线的表达式为yx 22x3 （2）如图，过点P作PM垂直于直线l，垂足为M过点B作BN垂直于直线PM垂足 为N 若PBQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形， 无论点P在BQ的上方或下方，由“弦图模型”均可得PQMBPN 所以PMBN 设点P的坐标为（m，H，m 22m3）则 PM|m3|，BN|m 22m3|，所以|m3| |m 22m3|解得 m10，m21，m3 3+ 33 2 ，m4 333 2 所以点P的坐标为（0，3），（1，4），（ 3+ 13 2 ， 33 2 9 ），（ 333 2 ， 3 2

4、+ 39 ） 例 2 如图，一次函数y2x10 的图象与反比例函数y k x （k0）的图象相交于A、B 两点（点A在点B的右侧），分别交x轴y轴于点E，F若点A的坐标为（4，2）问： 反比例函数图象的另一支上是否存在一点P 使PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存 在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由， x y B A F P OE x y O P E B F A 解：将点A（4，2）代入反比例函数表达式，得k8， 所以反比例函数为y 8 x ， 联立方程纽组 8 210 y x yx ， 解得 1 1 4 2 x y ， 2 2 1 8 x y 所以点B的坐标为（1，8

5、） 由题意可得点EF的坐标分剐为（5，0），（0，10）， 以AB为直角迎的直角三角形有两种情况： 如图 1，当PAB90时， 连结OA，则OA 22 422 5 而AE 22 125，OE5，所以OA 2AE2OE2， 即OAAB所以A，O，P三点共线 由O、A两点的坐标可得直线AP的表达式为y 1 2 x 联立方程组 8 1 2 y x yx 解得 1 1 4 2 x y ， 2 2 4 2 x y 所以点P的坐标为（4，2） 如图 2，当PBA90时，记BP与y轴的交点为G 易证FBCFOE，所以 FBFO FGFE ， 而FO10FE 22 5105 5，FB 22 125 可求得FG

6、 5 2 ，所以点G的坐标为（0，15 2 ）由B，G两点的坐标可得直线BP的表达式 为y 1 2 x 15 2 ， 联立方程组 115 22 8 yx y x ， ， 解得 1 1 1 8 x y ， ； 2 2 16 1 2 x y ， . 所以点P的坐标为（16， 1 2 ）； 综上可得，满足条件的点P坐标为（4，2）或（16， 1 2 ） 图2 F G x y A EOP 例例 3 如图，抛物线C1：ya（x2） 25 的顶点为 P，与x轴相交于A，B两点（点A 在点B的左侧），点A的横坐标是1D是x轴负半轴上的一个动点，将抛物线C1绕点D 旋转 180后得到抛物线C2抛物线C2的顶点

7、为Q，与x轴相交于E，F两点（点E在点F 的左侧）当以点P，Q，E为顶点的三角形是直角三角形时，求顶点Q的坐标 C1 BA D O F E Q C2 P x y 解解 由题意可得点A（1，0），P（2，5），B（5，0） 设点D的坐标为（m，0），则点Q的坐标为（2m2，5），E的坐标为（2m5，0）， 所以PQ 2（2m4）2 102，PE2（2m7）252，EQ2325234 PQE为直角三角形有三种情况： 当PQE 90时，有PE 2PQ2 EQ2， 即（2m7） 252（2m4）210234，解得 m19 3 ，所以点Q的坐标为（ 44 3 ， 5）； 当QEP90时，有PQ 2PE2

8、 EQ2， 即（2m4） 2102（2m7）25234，解得 m 2 3 ，所以点Q的坐标为（ 10 3 ， 5）； 当QPE 90时，有EQ 2PE2 PQ2， 即（2m7） 252（2m4）210234，方程无解，所以此种情况不成立， 综上可得，当PQE为直角三角形时，顶点Q的坐标为（ 44 3 ，5）或（10 3 ，5） 例例 4 如图在直角梯形ABCD中，ADBC，B 90，AD2，BC6，AB3E为 BC边上一点，当BE2 时，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的 同侧当正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFG为正方形BEFG，当点E与 点

9、C重合时停止平移 设平移的距离为t， 正方形BEFG的边EF与AC交于点M， 连结BD， BM，DM问：是否存在这样的t，使BDM是直角三角形，若存在，求出t的值；若不存 在，请说明理由 EB M FG C D A B 解 存在满足条件的t理由如下： 如图，过点D作DH BC于点H，过点M作MNDH于点N， 则BHAD2，DHAB3 所以BBHEt，HB|t2|，EC4t 易证MECABC， 可得 ME AB EC BC ，即 3 ME 4 6 t ，所以ME2 1 2 t 在 RtBME中，有BM 2ME2BE21 4 t 22t8 在 RtDHB中，有BD 2DH2BH2t24t13 在

10、RtDMN中，DNDHNH 1 2 t1 则DM 2DN2MN25 4 t 2t1 若DBM90，则DM 2BM2BD2， 即 5 4 t 2t1（1 4 t 22t8）（t24t13）， 解得t1 20 7 ； 若BMD90，则BD 2BM2DM2， 即t 24t13（1 4 t 22t8）（5 4 t 2t1）， 解得t2317，t3317（舍）； 若BDM90，则BM 2BD2DM2， 即 1 4 t 22t8（t24t13）（5 4 t 2t1）， 此方程无解 综上所得，当t 20 7 或317时，BDM是直角三角形 N H B A D C GF M BE 进阶训练进阶训练 1 如图，

11、 在平面直角坐标系xOy中， RtOAB的直角顶点A在x轴上，OA 4，AB3 动 点M从点A出发，以每秒 1 个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；同时点N从点O出发， 以每秒 125 个单位长度的速度，沿OB向终点B移动当两个动点运动了x（0x4）时， 解答下列问题： （1）求点N的坐标（用含x的代数式表示）； （2）在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使OMN是直角三角形？若存在，求 出x的值；若不存在，请说明理由 y xM N A B O 解：（1）N（x， 3 4 x）； （2）当OMN是直角三角形时，x的值为 2 或 64 41 【提示】（1）过点N作NPOA于点P，由PONA

12、OB即可求得； （2）分类讨论，通过OMN和OAB相似即可列出等式求得x的值 P O B A N Mx y 2 如图， 在平面直角坐标xOy中， 直线ykx3 与双曲线y 4 x 的两个交点为A， B 其 中A（1，a）若M为x轴上的一个动点，且AMB为直角三角形，求满足条件的点M的 坐标 A x y B O 解：满足条件的点M的坐标为（5，0），（5，0），（ 341 2 ，0）或（ 341 2 ，0） 【提示】先求出点A，B的坐标，再设点M的坐标，从而用待定字母表示AM 2，BM2，AB2然 后讨论直角，根据勾股定理列方程即可 3如图，抛物线 2 33 3 84 yxx= -+与x轴交于A

13、，B两点（点A在点B的左侧），与y轴 交于点 C （1）求点A，B的坐标； （2）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的一个动点，当以A，B，M为顶点所作的 直角三角形有且只有三个时，求直线l的表达式 O C BA y x D E M3 M2 M1 O C BA y x 解：（1）A（4，0），B（2，0）； （2）直线l的表达式为 3 3 4 yx= -+或 3 3 4 yx=- 【提示提示】（2）若ABM是直角三角形，则点M在以AB为直径的圆上，或过A，B且与AB垂 直的直线上（A，B两点除外）由题意可得直线l与以AB为直径的圆相切（如图），点M1， M2，M 3即为满足条件的三个点，此

14、时直线l： 3 3 4 yx= -+；根据对称性，直线l还可以为 3 3 4 yx=- 4，如图，顶点为P（4，4）的二次函数图象经过原点O（0，0），点A在该图象上， OA 交其对称轴l于点M，点M，N关于点P对称，连结AN，ON （1）求该二次函数的表达式； （2）当点A在对称轴l右侧的二次函数图象上运动时，请回答下列问题： 证明：ANMONM； ANO能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点A的坐标；如果不能，请说 明理由 y xO A M N P D l l D H P N M A Ox y 解：（1） 2 1 2 4 yxx=-；（2）略；ANO 能为直角三角形，符合条件的点

15、A的坐标为 (44 2,4)+ 【提示提示】 （2）过点A作AHl于点H，令l与x轴的交点为 D设点A（m， 2 1 2 4 mm-）， 则直线AO的表达式为 1 (2) 4 ymx=-，从而求得点M的坐标为（4，m8），N的坐标为（4， m），只需证明 tanANHtanOND即可； 分类讨论：当ANO90时，ANMONM45，点N与点P重合，点M与点D重合， 不满足M，N关于点P对称，故此时不存在这样的点A； 当NOA90时，有 1 2 OPMN=，求得满足条件的点A(44 2,4)+； 当NAO90时，有 1 2 APMN=，即 2222 1 (4)(24)(4) 4 mmmm-+-+=

16、-，解得m4， 此时点A，P重合，不满足题意 5抛物线yx 22x3 的顶点为 C，点A的坐标为（1，4），其对称轴l上是否存在 点M，使线段MA绕点M逆时针旋转 90得到线段MB，且点B恰好落在抛物线上？若存在， 求出点M的坐标；若不存在，请说明理由 解：存在，点M的坐标为（1，2）或（1，5） 【提示】如图，连结AC，则ACl，作BDl于点D，则MCABDM，从而MDAC2， BDMC无论点A，B在l同侧还是异侧，设点M（1，m），都可得B（m3，m2），代入 抛物线表达式即可求得m2 或 5，从而点M的坐标为（1，2）或（1，5） B2 M2 M1 D2 D1 O C B1 A ly x