30. 2019年福州市质检理科试卷（教师版）.pdf

1、 试卷第 1 页，总 20 页 2019 年福州市普通高中毕业班质量检年福州市普通高中毕业班质量检测测 理科数学理科数学 第第 卷卷 编辑：华附南海实验高中 李志刚 微信 B中应为 380 人; C是正确的; D中的分段间隔应为 20，故选 C 4等比数列 n a的各项均为正实数，其前n项和为 n S若 326 4,64aa a，则 5 S （ ） A32 B31 C64 D63 解析： 解法一： 设首项为 1 a， 公比为q， 因为0 n a ， 所以0q ， 由条件得 2 1 5 11 4 64 a q a q a q ， 解得 1 1 2 a q ， 所以 5 31S ，故选 B 解法二

2、：设首项为 1 a，公比为q，由 2 264 64a aa，又 3 4a ，2q ，又因为 2 1 4a q所以 1 1a ， 所以 5 31S ，故选 B 5 已知sin 1 62 ，且 0, 2 ，则 3 os c （ ） 试卷第 2 页，总 20 页 A0 B 1 2 C1 D 3 2 解析：解法一：由 1 sin 62 ，且 0, 2 得， 3 ，代入 cos 3 得， cos 3 =cos01，故选 C 解法二：由 1 sin 62 ，且 0, 2 得， 3 cos 62 ， 所以 coscoscoscossinsin1 3666666 ，故选 C 6设抛物线 2 4yx的焦点为F，

3、准线为l，P为该抛物线上一点，PAl，A为垂足若直线AF的 斜率为3，则PAF的面积为（ ） A2 3 B4 3 C8 D8 3 解析：解法一:设准线与x轴交于点Q,因为直线AF的斜率为3， 2FQ ， 60AFQ ， 4FA ，又因为PAPF，所以PAF是边长为 4 的等边三角形， 所以PAF的面积为 2 2 33 4 =4 3 44 FA故选 B 解法二：设准线与x轴交于点Q, )P m n（,因为直线 AF的斜率为3， 2FQ ，60AFQ ， 所以2 3AQ ，所以2 3n ，又因为 2 4nm，所以3m ， 又因为4PAPF， 所以PAF的面积为 11 4 2 3=4 3 22 PA

4、n 故选 B 7 如图， 网格纸上的小正方形的边长为 1， 粗实线画出的是某几何体的三视图， 则该几何体的体积为 （ ） A32 B16 C 32 3 D 80 3 第 7 题 试卷第 3 页，总 20 页 解析：由三视图知,所求几何体的体积为直三棱柱的体积减去三棱锥的体积 32 1180 442= 323 1 2 故 选 D 8已知函数( )2sin()f xx0, 图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ，将函数( )f x 的图象向左平移 3 个单位长度后，得到函数( )g x的图象若函数( )g x为偶函数，则函数( )f x在区间 0, 2 上的值域是（ ） A 1 ,1 2 B( 1,1

5、) C(0,2 D( 1,2 解析：由图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ，所以T ，又因为0，所以 2 ，解得=2 0, 2 ，将函数( )f x的图象向左平移 3 个单位长度后，得到函数 2 ( )2sin 2 3 g xx 的 图象因为函数( )g x为偶函数， 所以 2 , 32 kk Z，由 ，解得 = 6 ，所以( )2sin 2 6 f xx 因为0 2 x ，所以 1 sin 21 26 x ，所以函数( )f x在区间0, 2 上的值域是( 1,2，故选 D 9已知( )g x为偶函数，( )h x为奇函数，且满足( )( )2xg xh x若存在 1,1x ，使得不等式 (

6、)( )0m g xh x有解，则实数m的最大值为（ ） A1 B 3 5 C1 D 3 5 解析：由( )( )2xg xh x，及( )g x为偶函数，( )h x为奇函数，得 2222 ( ), ( ) 22 xxxx g xh x 由 ( )( )0m g xh x 得 22412 1 224141 xxx xxxx m ， 2 1 41 x y 为增函数， max 23 1 415 x ，故选 B 10 如图， 双曲线 22 22 1(0,0) xy Cab ab ：的左、 右焦点分别为 12 ,F F， 过 2 F作线段 2 F P与C交于点Q， 试卷第 4 页，总 20 页 且Q

7、为 2 PF的中点若等腰 12 PFF的底边 2 PF的长等于C的半焦距，则C的离心率为（ ） A 22 15 7 B 2 3 C 22 15 7 D 3 2 解析： 连结 1 QF， 由条件知 12 QFPF， 且 2 2 c QF 由双曲线定义知 1 2 2 c QFa， 在 12 RtFQF中， 22 2 22 22 cc ac ，解得C的离心率 22 15 7 e ，故选 C 11如图，以棱长为 1 的正方体的顶点A为球心，以2为半径做一个球面，则该正方体的表面被球面所 截得的所有弧长之和为（ ） A 3 4 B2 C 3 2 D 9 4 解析：正方体的表面被该球面被所截得的弧长有相等

8、的三部分,例如，与上底面截得的弧长是以 1 A为圆心, 1为半径的圆周长的 1 4 ,所以弧长之和为 23 3 42 故选 C 12 已知数列 n a满足 1 1a ， 2 1 22 (1) 24 n n nn na a anan ，则 8 a （ ） A 64 8 92 B 32 8 92 C 16 8 92 D 7 8 92 解析：因为 2 1 22 (1) 24 n n nn na a anan ，所以 22 2 1 241 (1) nn nn anan ana ， 第 10 题图 第 11 题图 试卷第 5 页，总 20 页 所以 2 22 2 1 241 42 nn nnnn ana

9、nnnn aaaa ， 所 以 2 1 1 22 nn nn aa ， 令2 n n n b a ， 则 2 1nn bb ， 两 边 取 对 数 得 1 lg2lg nn bb ， 又 1 1 1 lglg2lg3b a ，所以数列lg n b是首项为lg3，公比为 2 的等比数列 所以 1 12 lglg3 2lg3 n n n b ，所以 1 2 3 n n b ，即 1 2 32 n n n a ，从而 1 2 32 n n n a ，将8n 代入，选 A 法二、因为 2 1 22 1 24 n n nn na a anan ，所以 22 2 1 241 1 nn nn anan an

10、a ， 所以 2 22 2 1 241 42 nn nnnn anannnn aaaa ， 所以 2 1 1 22 nn nn aa ， 令2 n n n b a ， 则 2 1nn bb ， 因为 1 3b ， 所以 2 2 3b ， 所以 2 24 3 33b ， 所以 2 48 4 33b ，所以 7 264 8 39b 。所以 8 8 8 2b a ，所以 8 a 64 8 92 ，故选 A。 第第卷卷 本卷包括必考题和选考题两部分本卷包括必考题和选考题两部分第第 1321 题为必考题题为必考题，每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答第第 22 、23 题为选考题题为选考题，考生

11、根据要求作答考生根据要求作答 二二、填空题填空题：本大题共本大题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分 13已知两个单位向量, a b ，满足3abb ，则a 与b 的夹角为_ 解析：因为, a b 是单位向量, 3abb ， 222 1 =32cos,22cos,1, cos, 23 2 abaaba bba ba ba b（） ， 14 已知点(0,2)A，动点( , )P x y的坐标满足条件 0x yx ，则PA的最小值是 解析：PA的最小值转化成点A到直线yx的距离 2 2 2 d - =， 15 25 (1) (1)axx的展开式中，所有x的奇数次幂项的系数和为

12、64，则正实数a的值为_ 解析：设 25234567 01234567 (1) (1)axxaa xa xa xa xa xa xa x, 令1x 得 01234567 0aaaaaaaa , 试卷第 6 页，总 20 页 令1x 得 25 01234567 (1) 2aaaaaaaaa, -得： 25 1357 (1) 22(+)aaaaa ，又因为 1357 +64aaaa ， 25 (1) 2128a，解得31aa 或（舍） 16已知函数 2 e ( )ln(2 )e x f xax有且只有一个零点，则实数a的取值范围是_ 解析：解法一：由当 1 2 x 时，显然 1 2 x 不是该函数

13、的零点；当 1 2 x 时，由 2 e ( )ln2e0 x f xax，分离参数得 2 e e ln2 x a x ，令 2 e e ( ) ln2 x p x x ， 函数 2 e ( )ln2e x f xax有且只有一个零点，等价于直线ya与函数 2 e e ( ) ln2 x p x x 有且只有一个零点。 利用导数，可判断并得出( )p x的图象如图所示， 因为直线ya与函数( )p x的图象的交点个数为 1， 由图可知，实数a的取值范围是 (,0) e 解法二：由 2 e ( )ln2e x f xax得 2 e 2 ( )lne e x x f xaa令 2 0 e x tt，

14、 则( )lnetg tata当 1 e t 时， 1 e 1 e0 e g ，所以 1 e t 不是函数( )g t的零点； 当 1 e t 时，令( )lne0 t g tata，分离参数得 e ln1 t a t ， 试卷第 7 页，总 20 页 所以 2 e ( )lne x f xaxaR的零点个数问题，等价于直线ya与函数 e1 ( )0 ln1e t p ttt t 且 的图象的交点个数的问题利用导数，可判断并得出( )p t的图象如图所示， 因为直线ya与函数 e1 ( )0 ln1e t p ttt t 且的图象的交点个数为 1， 由图可知，实数a的取值范围是(,0) e 三

15、三、解答题解答题：解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤 17 （12 分） ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c若角A，B，C成等差数列，且 3 2 b （1）求ABC的外接圆直径； （2）求ac的取值范围 【解析】 （1）由角A、B、C成等差数列， 所以2+BA C， 1 分 又因为+ + =A B C ， 所以 3 B ， 2 分 根据正弦定理得，ABC的外接圆直径 3 2 2 =1 sin sin 3 b R B 4 分 (2)解法一：由（1）知， 3 B ，所以 2 3 AC ，所以 2 0 3 A ， 5 分 试卷第 8 页，总 20 页

16、 由（1）知ABC的外接圆直径为 1，根据正弦定理得， 1 sinsinsin abc ABC ， 6 分 2 sinsinsinsin 3 acACAA 8 分 31 3sincos 22 AA 3sin 6 A 9 分 2 0 3 A ， 5 666 A 1 sin1 26 A ， 11 分 从而 3 3sin3 26 A ， 所以ac的取值范围是 3 , 3 2 12 分 解法二：由（1）知， 3 B ，根据余弦定理得， 222 2cosbacacB 6 分 2 ()3acac 7 分 2 22 1 ()3() 24 ac acac ，(当且仅当ac时，取等号) 9 分 因为 3 2 b

17、 ， 2 ()3ac，即3ac ，10 分 又三角形两边之和大于第三边，所以 3 3 2 ac ，11 分 所以ac的取值范围是 3 , 3 2 12 分 18 （12 分） 试卷第 9 页，总 20 页 如图，四棱锥PABCD，/ABCD，90BCD，224ABBCCD，PAB为等边三角形， 平面PAB 平面ABCD， Q为PB中点 (1) 求证：AQ 平面 PBC； (2)求二面角BPCD的余弦值 (1)证明：因为/ABCD，90BCD， 所以ABBC， 又平面PAB 平面ABCD，且平面PAB平面 ABCDAB， 所以BC平面PAB， 1 分 又AQ 平面PAB，所以BCAQ， 2 分

18、因为Q为PB中点，且PAB为等边三角形，所以PBAQ， 3 分 又PBBCB， 所以AQ 平面 PBC 4 分 (2)解法一：取AB中点为O，连接PO，因为PAB为等边三角形，所以POAB， 由平面PAB平面ABCD，因为PO 平面PAB，所以PO平面ABCD， 5 分 所以POOD，由224ABBCCD，90ABC， 可知/ODBC，所以ODAB 以AB中点O为坐标原点，分别以,OD OB OP所在直线为, ,x y z轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz 6 分 所以(0, 2,0),(2,0,0),AD (2,2,0), (0,0,2 3), (0,2,0)CPB， 则2,2,0

19、,( 2,0,2 3),(0, 2,0)ADDPCD ， 因为Q为PB中点，所以(0,1, 3)Q， 由 (1) 知，平面PBC的一个法向量为(0,3, 3)AQ 7 分 设平面PCD的法向量为( , , )nx y z ，由 0, 0 n CD n DP 得 20 22 30 y xz ，取1z ，则( 3,0,1)n ， 9 分 由 2 31 cos, 4 333 1 AQ n AQ n AQn 11 分 x y z O 第 18 题 试卷第 10 页，总 20 页 因为二面角BPCD为钝角， 所以，二面角BPCD的余弦值为 1 4 12 分 解法二： 取AB中点为O，连接PO，因为PAB

20、为等边三角形，所以POAB， 由平面PAB平面ABCD，所以PO平面ABCD， 5 分 所以POOD，由224ABBCCD，90ABC， 可知/ODBC，所以ODAB 以AB中点O为坐标原点，分别以,OA OD OP所在直线为, ,x y z轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz 6 分 所以(2,0,0),(0,2,0),( 2,2,0),ADC (0,0,2 3),( 2,0,0)PB ， 所以( 2,2,0),(0, 2,2 3),ADDP (2,0,0)CD ， 由(1)知，可以AQ 为平面PBC的法向量， 因为Q为PB的中点， 所以( 1,0, 3)Q ， 由(1)知，平面PBC

21、的一个法向量为( 3,0, 3)AQ ， 7 分 设平面 PCD 的法向量为( , , )nx y z ， 由 0, 0 n CD n DP 得 20 22 30 x yz ， 取1z ，则(0, 3,1)n ， 9 分 所以 2 31 cos, 4 333 1 AQ n AQ n AQ n 11 分 因为二面角BPCD为钝角， 所以，二面角BPCD的余弦值为 1 4 12 分 解法三： 过点B作PC的垂线BH， 交PC于点H， 连结DH 由解法一或二知PO平面ABCD，CD 平面ABCD，所以POCD由条件知ODCD， 又POODO，所以CD平面POD， 又PD平面POD，所以CDPD， 又

22、CDCB，所以RtPDCRtPBC， 所以DHPC，由二面角的定义知，二面角BPCD的平面角为BHD x y z O 第 18 题 H O 试卷第 11 页，总 20 页 7 分 在RtPDC中，4,2PBBC，2 5PC ， 由PB BCBH PC，所以 4 24 5 52 5 PB BC BH PC 8 分 同理可得 4 5 5 DH ， 9 分 又2 2BD 在BHD中， 222 cos 2 BHDHBD BHD BH DH 10 分 22 2 4 54 5 2 2 55 1 4 4 54 5 2 55 所以，二面角BPCD的余弦值为 1 4 12 分 19 （12 分） 最近，中国房地

23、产业协会主办的中国房价行情网调查的一份数据显示，2018 年 7 月，大部分一线城市的房 租租金同比涨幅都在 10%以上某部门研究成果认为，房租支出超过月收入 1 3 的租户“幸福指数”低，房租 支出不超过月收入 1 3 的租户“幸福指数”高为了了解甲、乙两小区租户的幸福指数高低，随机抽取甲、乙 两小区的租户各 100 户进行调查甲小区租户的月收入以0 3，3 6，6 9，9 12，12 15，（单 位：千元）分组的频率分布直方图如下： 月收入月收入/千元千元 0 3 6 9 12 15 0.030 0.060 0.070 0.160 频频率率 组组距距 乙小区租户的月收入（单位：千元）的频数

24、分布表如下： 月收入 0,3) 3,6) 6,9) 9,12) 12,15 试卷第 12 页，总 20 页 户数 38 27 24 9 2 （1）设甲、乙两小区租户的月收入相互独立，记M表示事件“甲小区租户的月收入低于 6 千元，乙小区 租户的月收入不低于 6 千元”把频率视为概率，求M的概率； （2）利用频率分布直方图，求所抽取甲小区 100 户租户的月收入的中位数； （3）若甲、乙两小区每户的月租费分别为 2 千元、1 千元请根据条件完成下面的2 2列联表，并说明 能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为“幸福指数高低与租住的小区”有关 幸福指数低 幸福指数高 总计 甲小区租户

25、乙小区租户 总计 附：临界值表 P(K2k) 0.10 0.010 0.001 k 2.706 6.635 10.828 参考公式： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd 【解析】 （1）记A表示事件“甲小区租户的月收入低于 6 千元”，记B表示事件“乙小区租户的月收入不低 于 6 千元”， 甲小区租户的月收入低于 6 千元的频率为(0.060+0.160) 3=0.66， 故( )P A的估计值为0.66； 1 分 乙小区租户的月收入不低于 6 千元频率为 2492 =0.35 100 ， 故( )P B的估计值为0.35； 2 分 因为甲、乙两小区租户的

26、月收入相互独立， 事件M的概率的估计值为()= ( ) ( )0.66 0.35=0.231P MP A P B 4 分 （2）设甲小区所抽取的 100 户的月收入的中位数为t， 则0.060 3+(3) 0.160=0.5t， 6 分 解得5t 7 分 （3）设 0: H幸福指数高低与租住的小区无关， 幸福指数低 幸福指数高 总计 甲小区租户 66 34 100 乙小区租户 38 62 100 总计 104 96 200 试卷第 13 页，总 20 页 9 分 根据2 2列联表中的数据， 得到 2 K的观测值 2 200(66 6238 34) 15.70510.828 104 96 100

27、 100 k ， 11 分 所以能在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为“幸福指数高低与租住的小区”有关 12 分 20 （12 分） 已知圆O： 222 xyr，椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的短半轴长等于圆O的半径，且过C右焦点的 直线与圆O相切于点 13 , 22 D （1）求椭圆C的方程； （2）若动直线l与圆O相切，且与C相交于,A B两点，求点O到弦AB的垂直平分线距离的最大值 【解析】 （1）解法一：由条件知 2 2 2 13 1 22 r ， 1 分 所以1b 2 分 过点D且与圆O相切的直线方程为： 331 232 yx ， 即320xy 3 分 令0

28、y 得，2x ，由题意知，2c ，从而 222 5abc 4 分 所以椭圆C的方程为： 2 2 1 5 x y 5 分 解法二：由条件知 2 2 2 13 1 22 r ， 1 分 所以1b 2 分 设椭圆右焦点坐标为( ,0)c,过该点与圆O相切于点 13 , 22 D 的直线方程为： 3 31 2 () 1 22 2 yx c ， 化简得：2 32(12 )2 30xc yc， 3 分 圆O到直线的距离等于半径 1，即 22 2 3 1 (2 3)( 2(1 2 ) c c ， 解得2c 从而 222 5abc， 4 分 试卷第 14 页，总 20 页 所以椭圆C的方程为： 2 2 1 5

29、 x y 5 分 解法三：如图，设椭圆的右焦点为F，由于直线l与圆O相切于点 D，所以三角形FOD是以ODF为 直角的直角三角形 1 分 因为切点的坐标为 13 , 22 D ，所以60DOF 2 分 由条件知 2 2 2 13 1 22 r ，所以圆的半径1r 3 分 所以在RtFOD中，2OF 从而 222 5abc 4 分 所以椭圆C的方程为： 2 2 1 5 x y 5 分 （2）解法一：设点O到弦AB的垂直平分线的距离为d， 若直线lx轴， 弦AB的垂直平分线为x轴， 所以0d ； 若直线ly轴， 弦AB的垂直平分线为y轴， 所以0d 6 分 设直线l的方程为(0)ykxm k，因为l与圆O相切， 所以 2 1 1 m k ，即 2 1mk 7 分 由 2 2 1 5 ykxm x y ，消去y得 222 (1 5)10550kxkmxm 设 1122 ( ,),(,)A x yB xy，由韦达定理知： 121212 22 102 ,()2 1 51 5 kmm xxyyk xxm kk 8 分 所以AB中点的坐标为 22 5 , 1 51 5 kmm kk ， 所以弦AB的垂直平分线方程为 22 15 1 51 5 mkm yx kkk ， 试卷第 15 页，总 20 页 即 2 4 0 1 5 km xky k 9 分 所以 2 2